Complementi di Analisi Matematica

Anno Accademico 2003-2004

Laurea specialistica in Informatica

R.Stasi, V.M. Tortorelli

IV foglio di esercizi

dal 17 marzo 2004 al 24 marzo

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 1 Trovare i punti di massimo o di minimo relativo e calcolare i valori di massimo relativo e minimo relativo, delle seguenti funzioni sui domini rispettivi:

$$\begin{array}{ll} &f(x,y)=\frac{x^4 +2x^3y}{x^4 +y^4}~, ~~y-x... ...-y-z+w)^2 + (x-y-z-w)^2=1&\\ \end{array}\right.\\ \end{array}$$

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 2

a) - Se $u\in C^2 ({\bf R}^n )$ e $\triangle u =\sum_{i=1}^n \frac {\partial^2 u}{\partial x_i^2} >0$ allora $u$ non ha punti di massimo locale.

- ($*$) Se $u\in C^2 (\Omega )\cap C(\overline{\Omega})$, $\Omega$ aperto limitato, se $\triangle u \geq 0$ allora $\max_{\overline{\Omega}} u=\max_{\partial\Omega}u$.

(Si consideri $x_0$ punto di massimo su $\bar \Omega$ di $u$, $\max_{{\Omega}} u -\delta \geq\max_{\partial\Omega}u$, $\varepsilon$ per cui $\varepsilon dist (x_0, \partial\Omega)^2 =\varepsilon\min_{\partial\Omega}\vert x_0 -x\vert^2 \le \delta$ e quindi e $v(x)=u(x) +\varepsilon \vert x-x_0\vert^2$. Si applichi il precedente punto a $v$.)

- Si deduca che se $\triangle u \geq 0$ allora $u$ non ha punti di massimo locale stretto.

b) - Si provi che se $\Omega$ é un aperto limitato, $f\in C({\bf R}^n )$, $g\in C({\bf R}^n )$ allora vi é al piú una funzione $u$ definita su $\overline{\Omega }$ che risolve:

$$\left\{\begin{array}{ll} \triangle u(x) ~=~f(x)& ~~x\in\Omega... ...overline{\Omega })\cap C^2 (\Omega ) & ~~\\ \end{array}\right.$$

- ($*$) Si provi che per l' eventuale soluzione si ha: $\max_{\overline{\Omega}} \vert u\vert~\le ~\max_{\partial{\Omega}} \vert g\vert ~+~\frac {({\rm diam}\Omega )^2}{2n} \max_{\overline{\Omega}} \vert f\vert.$

-------------------------------------------------------------

ESERCIZIO n. 3 Utilizzando l'unicità della soluzione provata nel precedente esercizio si trovino tutte le soluzioni delle equazioni:

$$\left\{\begin{array}{ll} \triangle u(x,y) ~=~0& ~x^2 +y^2 <1\... ... \max\{\vert x\vert,\vert y\vert\} <\pi\}\\ \end{array}\right.$$

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 4

a) Sia $f:\Omega\subset{\bf R}^n\to {\bf R}$ una funzione strettamente convessa, ove $\Omega$ è un aperto convesso. Si dimostri che $f$ ha al più un estremale interno a $\Omega$. Nel caso si tratterebbe di un massimo o di un minimo?

b) Utilizzando il fatto che una funzione convessa a valori reali, definita su un chiuso $C$ limitato convesso è continua si provi che se $C=\bar\Omega$, con $\Omega$ aperto convesso, allora il massimo di $f$ è assunto su $\partial\Omega$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 5 Si disegnino sommariamente e si descrivano come cammini parametrici gli insiemi definiti dalle seguenti condizioni: $x^2 -y=0$, $x^2 +y^2 -4=0$, $x^2 -y^3=0$, $dist((x,y),(1,0))dist((x,y)(-1,0))=1$ ,

$(*)~x^3 +y^3 -3xy=0$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 6 Si descriva l'immagine dei seguenti cammini: $(t\cos t, t \sin t )$, $t\mapsto (t\cos\frac 1t , t\sin\frac 1t )$, $t\mapsto(\cos t, \sin t , t)$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n.7 Si esprimano come immagini di superficie parametriche i seguenti insiemi $\{ (x,y,z)\in {\bf R}^3:~ x^2+2y^2+3z^2 =1\}$, $\{ (x,y,z)\in {\bf R}^3:~ x^2+y^2-3z^2 =1\}$, $\{ (x,y,z,w)\in {\bf R}^4: ~ x^2 +y^2 =1,~ z^2+ w^2 =1\}$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n.8 Si descriva in forma parametrica la superficie di rivoluzione attorno all'asse delle $z$ di una cmmino nel semipiano $y=0,~x>0$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n.9 a) Trovare il massimo volume di un parallelepipedo rettangolo inscritto nell'elissoide ${x^2}/{a^2}+{y^2}/{b^2}+{z^2}/{c^2}=1$.

b) Trovare l'elissoide