Complementi di Analisi Matematica

V.M. Tortorelli

C.L.S. Informatica, A.A. 2003/04

Appunti dell' ottava lezione: 24 marzo 2004

Moltiplicatori di Lagrange e gradiente tangenziale

Misurabilità alla Peano-Jordan

- Un $n$-rettangolo (cartesiano) in ${\bf R}^n$ è il prodotto cartesiano di $n$ intervalli: $R= I_1 \times \dots I_n$, $I_i$, $1\le i\le n$ intervalli limitati con o senza estremi inclusi in ${\bf R}$.

- La misura elementare di un $n$ rettangolo e il prodotto delle differnze degli estremi dei suoi lati.

Definizione se $A\subset {\bf R}^n$ non vuoto e limitato

Complementi di Analisi Matematica

V.M. Tortorelli

C.L.S. Informatica, A.A. 2003/04

Appunti dell' ottava lezione: 24 marzo 2004

Moltiplicatori di Lagrange e gradiente tangenziale

Misurabilità alla Peano-Jordan

- Un $n$-rettangolo (cartesiano) in ${\bf R}^n$ è il prodotto cartesiano di $n$ intervalli: $R= I_1 \times \dots I_n$, $I_i$, $1\le i\le n$ intervalli limitati con o senza estremi inclusi in ${\bf R}$.

- La misura elementare di un $n$ rettangolo e il prodotto delle differnze degli estremi dei suoi lati.

Definizione se $A\subset {\bf R}^n$ non vuoto e si dice misurabile secondo Peano-Jordan se i seguenti numeri coincidono:

$\sup \sum_{R\in {\cal F}} me(R):~~ \hbox{\rm al variare di }~{\cal F}~ \hbox{ famiglia {\it finita} di rettangoli disgiunti contenuti in }~ A$

(approssimazione interna)

$\inf \sum_{R\in {\cal G}} me(R):~~ \hbox{\rm al variare di }~{\cal G}~ \hbox{ famiglia {\it finita} di rettangoli disgiunti con unione contenente}~ A$

(approssimazione esterna)

Nel caso il comune valore se dice misura ($n$-dimensionale) di Peano-Jordan e si denota con $m(A)$. $m_n (A)$. Si pone inoltre $m(\emptyset)=0$.

$m(R)=me(R)$ se $R$ è rettangolo cartesiano

$m(A\cup B)= m(A)+m(B)$ se $A\cap B=\emptyset$

Integrabilità alla Riemann Una funzione limitata $f$ a valori in ${\bf R}$ si dice Riemann integrabile su un $n$-rettangolo $Q$ (nulla fuori da $Q$) se i seguenti numeri coincidono:

$\sup \sum_{R\in {\cal F}} \inf_R f me(R):~~ \hbox{\rm al variare di }~{\cal F}~... ...amiglia {\it finita} di rettangoli con parti interne disgiunte con unione }~ Q$

(approssimazione inferiore)

$\inf \sum_{R\in {\cal G}}\sup_R f me(R):~~ \hbox{\rm al variare di }~{\cal G}~ ... ...famiglia {\it finita} di rettangoli con parti interne disgiunte con unione}~ Q$

(approssimazione superiore)

In tal caso il comune valore si dice integrale di Riemann di $f$ su $Q$ e si indica con $\int_Q f(x) dx$.

i- $A$ è P.-J. misurabile se e solo se $\delta A$ lo è e $m(\delta A )=0$ se e solo se $\chi_A$ è R.-integrabile.

ii- se $f\geq 0$ allora $f$ è R.-integrabile su $Q$ se e solo se il suo sottografico su $Q$ `eP.J.-misurabile in ${\bf R}^{n+1}$. Nel caso $m_{n+1} (\{ (x,y) : ~x\in Q, ~ 0\le y\le f(x)\})=\int_Q f(x)dx$. (DOMINI NORMALI).

iii- una funzione continua $f$ su un rettangolo $R$ è R.-integrabile.

Grazie al teorema degli zeri e al teorema di Weiestrass si ha che vi è $\xi\in R$ per cui $\frac 1{m(R)}\int_R fdx = f(\xi )$.

iv- se $f$ e $g$ sono R.-integrabili tale è $fg$. Se $g=\chi_A$ l'integrale di questo prodotto si indica con $\int_A f(x) dx$.

Sommabilità.

- Sia $f$ una funzione a valori reali non negativa. Essa si dice sommabile in senso generalizzato se:

- $\forall m\in {\bf N}$ $f\wedge m$ è R.-integrabile su $[-1;1]^m$,

- $\lim_{m\to \infty} \int_{[-1;1]^m}f(x)\wedge m dx \in {\bf R}$.

Tale limite si dirà integrale in senso generalizzato e si indicherà con $\int fdx$.

Una funzione a valori reali si dice sommabile se lo sono la sua parete positiva e la sua parte negativa. Il suo integrale in senso genaralizzato sarà la differenza tra quelli delle sue parti.

Proprietà principali

1- le funzioni sommabili formano uno spazio vettoriale e l'integrale è un funzionale lineare;

2- il minimo e il massimo tra due funzioni sommabili sono anch'essi sommabili (reticolo),

- se $f\geq g$ allora $\int f\geq \int g$ (monotonia dell'integrale),

3- $\left\vert \int f\right\vert \le \int\vert f\vert$ (diseguaglianza triangolare),

4 - se $A$ e $B$ sono misurabili in senso generalizzato tali sono $A\cup B$, $A\cap B$, $A\setminus B$ (proprietà di semialgebra),

- se $f$ è sommabile sull'unione allora $\int_{A\cup B} f=\int_A f+ \int_B f -\int_{A\cap B} f$ (additività).

5- $\int f(x+v) dx = \int f(x) dx$ (invarianza per traslazioni).

6- TEOREMA DI FUBINI-TONELLI Posto $x= (x^\prime , x^{\prime\prime}) \in {\bf R}^n$, con $x^\prime \in {\bf R}^k$, $x^{\prime\prime}\in{\bf R}^{n-k}$ se:

- $x\mapsto f(x)$ è sommabile in ${\bf R}^n$

- e per ogni $x^{\prime\prime}\in{\bf R}^{n-k}$ la $x^\prime\mapsto f(x^\prime, x^{\prime\prime})$ è sommabile in ${\bf R}^{k}$

allora

- $x^{\prime\prime}\mapsto \int f(x^\prime, x^{\prime\prime}) dx^\prime$ è sommabile in ${\bf R}^{n-k}$ e $\int_{{\bf R}^n} f(x) dx = \int_{{\bf R}^{n-k}}\left(\int_{{\bf R}^k} f(x^\prime, x^{\prime\prime} )d x^\prime\right) dx^{\prime\prime}$.

NOTA: per avere un teorema più soddisfaciente è necessario estendere la nozione di sommabilità ad una classe più ampia di funzioni. In particolare con le nozioni qui date è falso che se

- per ogni $x^{\prime\prime}\in{\bf R}^{n-k}$ la $x^\prime\mapsto f(x^\prime, x^{\prime\prime})$ è sommabile in ${\bf R}^{k}$

- $x^{\prime\prime}\mapsto \int f(x^\prime, x^{\prime\prime}) dx^\prime$ è sommabile in ${\bf R}^{n-k}$

ne segua che $x\mapsto f(x)$ sia sommabile in ${\bf R}^n$:

si consideri una funzione non Riemann integrabile di una variabile $x^{\prime\prime}\mapsto \varphi (x^{\prime\prime} )$ per esempio la funzione che vale $1$ sui razionali in $[0;1]$ e $0$ altrove, e la funzione $x^\prime \chi_{[-2; 2]} (x^\prime )$. Si consideri $f(x^\prime , x^{\prime\prime} )= \chi_{[-2; 2]} ( x^\prime - \varphi (x^{\prime\prime}))$: la funzione non è R.-integrabile poichè in ogni rettangolo contenuto in $[-2; 3]\times [0; 1]$ ha estermo superiore $1$ ed estremo inferiore $0$. Ma la funzione $x^\prime\mapsto \chi_{[-2; 2]} ( x^\prime - \varphi (x^{\prime\prime}))$ è R.-integrabile per ogni $x^{\prime\prime}$ e il suo integrale non dipende da $x^{\prime\prime}\in [0;1]$ essendo sempre la lunghezza dell'intervallo $[-2;2]$ o del suo traslato $[-1;3]$, cioè $4$. In particolare è una funzione costante di $x^{\prime\prime}$ in $[0;1]$ e quindi R.-integrabile.

7- TEOREMA DI CAMBIAMENTO DI VARIABILE: Sia $\Phi :y\in A\mapsto x=\Phi (y)\in \Phi (A)$ iniettiva, differenziabile con continuità, $A$ e $\Phi (A)$ siano aperti misurabili di ${\bf R}^n$ e $d\Phi_y$ sia sempre invertibile. Allora se $x\mapsto f(x)$ è sommabile su $\Phi (A)$:

- $y\mapsto f(\Phi (y)) \vert det \nabla\Phi(y)\vert$ è sommabile su $A$

- $\int_{\Phi (A)} f(x) dx =\int_A f(\Phi (y)) \vert det \nabla\Phi(y)\vert dy$.

Si noti che per il teorema di invertibilità locale l'inversa di $\Phi$ è anch'essa differenziabile con continuità. Invadendo $A$ con compatti misurabili ci si riduce al caso in cui $\infty>C\geq \vert det \nabla\Phi(y)\vert\geq c>0$, e $\Phi$ è interscambiabile con $\Phi^{-1}$.

Lunghezza di un cammino Definizione ed enunciato della dimostrazione del teorema di rettificabilità. Elemento di lunghezza ed integrali di funzioni su cammini.

$k$-Volume di $k$-superficie parametrica regolare semplice Integrazione di funzioni su superficie parametrica. Indipendenza dalla parametrizzazione (esercizio). Formule di Guldino.