Complementi di Analisi Matematica

I lezione 17-2-05, h: 11-13: Struttura lineare  di R^N, spazi vettoriali, dipendenza lineare e dimensione. Enunciato teorema fondamentale dell'algebra lineare. m-parallelepipedi. Distanza euclidea: spazi metrici e normati, norme L^p in R^N e sulle funzioni continue in un intervallo. Prodotto scaare euclideo.

II lezione 18-2-05, h: 9-11: Dimostrazione diseguaglianza di cauchy-Schwarz, formula del prodotto scalare, matrici orogonali e basi ortonormali. Forme quadratiche e forme bilineari in spazi vettoriali. Enunciato della caratterizzazione delle norme Hilbertiane. Definizione della misura di Peano-Jordan
 enunciato delle proprieta' che la caratterizzano.Dimostrazione  della formula dell'area per m-parallelepipedi in R^N.
Determinante e k-forma lineari alternanti.

III lezione 24-2-05, h: 11-13: Convessi e caratterizzazione delle funzioni convesse, cambiamenti di coordinate e forme lineari. k-forme lineari alternanti e dimostrazione della formula di Cauchy. Luoghi di zeri di funzioni delle coordinate: iperpiani, semispazi, elenco dei tipi delle coniche e delle quadriche. Enunciato formula di Grassmann.
                             
IV  lezione 25-2-05, h: 9-11:
Definizione di limite in spazi metrici. Aperti, chiusi, frontiera e punti di accumulazione. Esempi in spazi euclidei, diseguaglianza tra coordinate e norma.
Continuita' in spazi metrici e continuita' sequanziale, caratterizzazione con aperti e chiusi, continuita' di operatori lineari in spazi normati: esempi operatore derivata e funzionale integrale, esempi in spazi euclidei.Continuita' delle operazioni di spazio vetoriali, delle proiezioni, della composizione. Varie caratterizzazioni della compattezza. Dimostrazione dei teoremi di Weistrasse Bolzano-Weistrass in piu' variabili. Controesempi alla compattezza in spazi di successioni. Completezza e totale limitatezza. Connessi, connessi per archi, connessi per poligonali.
                                 

3-3-05 , h11-13;
ESERCITAZIONE: ccordinate polari sferiche e cilindriche, limiti in piu' variabili,separata continuita', esercizio 1 (limiti e continuita') del II foglio di esercizi AA 2003-04

V  lezione 4-3-05, h 9-11 : Definizione di differnziabilita' per mappe tra spazi normati, derivate parziali e direzionali, esempi per mappe e funzioni tra spazi euclidei, differenziabilita' e continuita' , funzione differenziale, tangente al grafico, all'immagine alla preimmagine, vettore gradiente e sua interpretazione, matrice Jacobiana, controesempi, Teorema del differenziale totale e sua dimostrazone per
funzioni di due variabili, Regola della catena  per il differenziale di funzioni composte


                     
VI  lezione 10-3-05, h 12-13:
Uniforme continuita', oscillazione, caratterizzazione con successioni, U.C. di funzioni continue su compatti (Dim.), unicita' estensione  continua di funzione U.C.
10-3-05 , h11-13;
ESERCITAZIONE:
II foglio 2, 3, III foglio 6, 8, 11.


VII lezione 11-3-05, h 10-11:
Differenziale di forme quadratiche, norme di operatori lineari continui.
Sistema di riferimento radiale e relazione con coordinate polari, direzione di massima crescita:
11-3-05 , h 9-10;
ESERCITAZIONE:
III foglio es. 1, 2, 3

VIII lezione  17-3-05,  h 11-13:  Equivalenza metrica di norme in dimensione finita e controesempio. I punti interni di estremo relativo sono critici. Su un aerto connesso una funzione continua con derivate par. nulle e' costante. Derivate parziali seconde, differenziale secondo: il differenziale secondo definisce una forma simmetrica (Enunciato) , se vi e' una derivata seconda mista continua allora esiste eguale quella  con derivazioni invertite (Teo. Schwarz Enunciato). Sviluppo di Taylor in piu' variabili al secondo ordine (Dimostrazione). Segno della forma Hessiana in punti interni di estremo locale.

IX lezione   18-3-05, h 9-10:
Condizioni sufficienti per punti di estremo locale. Caratterizzazioni della convessita'  mediante il differenziale e la forma Hessiana.
Segno di una forma quadratica e segno degli autovalori dell'operatore simmetrico associato.
Coefficienti del polinomio caratteristico di un operatore lineare (Enunciato).
18-3-05 , h 10-11;
ESERCITAZIONE:
Segno della forma Hessiana per funzioni di due variabili.
III foglio es. 7
Enunciato ed esemplificazioni del criterio dei moltiplicatori di Lagrange per luogo di zeri di funzione a valori  reali.

X lezione   24-3-05,h 11-13:
Dimostrazione del teorema dei moltiplicatori di Lagrange sue interpretazioni ed esempi. Enunciati dei teoremi: invertibilita' locale  funzioni implicite in punctiis, del rango semplice per spazi di Banach. Esemplificazione dei teoremi indicati nel caso di coordinate in spazi di dimensione finita, uso della regola di Kramer per calcolare  le derivate parziali della funzione implicita, derivate successive. Spazi tangenti a luoghi di zeri, ad immagini. Esempi.

25/29-3-05     vacanza 30/31-3/4-4-05 sospens.

Prima prova in itinere
7-04-05

8-4-05 , h 9-10:
CORREZIONE TEMI DEL  LA PRIMA PROVA

XI lezione 14-4-05, h: Integrali di Riemann e misura di Peano-Jordan. Sommabilita' in senz\so generalizzato per l'integrale di Riemann, principale proprieta' di reticolo, spazio vettoriale ed additivita'. Enuncitao Fubini-Tonelli, enunciato cambiamento di variabili e sua esemplificazione. k-superficie parametriche, k-varieta' senza bordo, cammini e curvIntegrazione non orientata su k-varieta', elemento di k-volume.
(Formule di Guldino esercitazione successiva).

15-4-05, h 9-11:
ESERCITAZIONE; formule per volumi e aree di rotazione. Esercizi vari su integrali in piu' variabili.

XII lezione 21-4-05,h 11-13: i-Indipendenza dalla parametrizzazione, lunghezza metrica di curve, sua eguaglianza con 1-integrali (Enunciato).
ii-  Concentrazione per funzioni sommabili, sommabilita' e convergenza uniforme, definizione di famiglia uniformemente sommabile e criterio per pasaggio al limite sotto segno di integrale.
iii-  Enunciato e cenno di dimostrazione di una diseguaglianza tipo Tchebychev per intgrali di Riemann, condizione necessaria e sufficiente per funzioni non negative con integrale nullo. Definizione di insieme di misura nulla a la Lebesgue, enunciato criterio di Riemann integrabilita'. Traccia di una costruzione ricorsiva per un controesempio alla completezza dello spazio normato delle funzioni sommabili alla Riemann definite a meno di insiemi Lebesgue nulli.

XIII lez. 22-4-05, h 9-11:
i- Riassunto dei punti ii- e iii-
della precedente lezione per gli studenti assenti.
ii- Continuita' e derivabilita' di integrali dipendenti da parametro.
iii- Enunciato dei teoremi di Beppo-Levi e Lebesgue per funzioni sommabili alla Riemanne generalizzazione dei criteri di continuita' ed integrabilita'  di integrali.
iv- Formula di Gauss-Green elementare per integrali non orientati su domini normali.

28-4-05,h11-13: ESERCITAZIONE:
integrali multipli e dipendenti da parametri.

29-4-05,h9-11: ESERCITAZIONE:
integrali multipli e dipendenti da parametri.


XIV lez. 5-5-05, h 11-13:
TENUTA DAL DOTT.R. STASI: premessa all'integrazione orientata, 1-forme differenziali e campi, k-forme differenziali (DEF.). Integrazione di 1-forme e di campi, lavoro. Forme chiuse, esatte esempie econtroesempi. Caratterizzazione delle forme esatte, Lemme di Poincare (enununciati).


XVezione 6-5-05, h 9-11:
riassunto della precedente lezione. Coefficienti continui
forme localmente esatte. Dimostrazioni del Lemma di Poincare. Definizione di omotopia ad estremi fissati. Invarianza del lavoro di una 1-forma per omotopia: dimostrazione nel caso regolare.
Versione orientata del teorema di Gauss-Green nel piano.

XVIlezione 12-5-05,h11-12:
k-varieta con bordo, n-1 varieta' orientabili, orientazione indotta,  richiamo sul prodotto vettore, normale ad una superficie paramentrica, rotore di un campo nello spazio tridimensionale, dimostrazione del teorema di  Stokes per superficie nello spazio.
 
12-5-05, h 12-13:
ESERCITAZIONE: esercizi su integrazione di 1-forme.

13-5-05, h 9-10:
ESERCITAZIONE: esercizi su integrazione di 1-forme, la 1-forma per l'area nel piano.

XVII lez. 13-5-05,h10-11:
Base canonica per le k-forme in n-dimensioni, prodotto esterno e prodotto vettore nelllo spazio, identificazione di 2-forme e vettori nello spazio, differenziale esterno, interpretazione in termini del differnziale esterno di rotore e divergenza, punto di vista unitario per i teoremi di Stokes e della divergenza.
 
XVIII lez. 19-5-05, h 11-13:
Enunciato dd=0, dimostrazione per 0-forme, divrot=0, integrazione per parti e laplaciano, enunciato sua caratterizzazione. Dimostrazione completezza della convergenza uniforme, criteri pe rla derivata di un limite. Serie di potenze dimostrazione della condizione di convergenza, derivabilita' , enunciato del teorema di convergenza e raggio di convergenza: serie x^n/n, somma per parte e serie cos nx/n:

 lXX lez.  20-5-05, h 9-11:
Serie di potenze: osservazione su serie trigonometriche, derivata in senso complesso e sua caratterizzazione in senso reale (equazioni di Cauchy-Riemann e definizione di funzione armonica).
Esempi di equazioni differenziali: pendolo, linearizzazione pendolo problema ai dati iniziali sua risoluzione e dim. unicita' nel caso particolare; modello preda predatore; equazione logistica; deduzione dell'equazione di laplace dal problema di minimo. Vocabolario e nozione di soluzione di un sistema di equazioni diffrenziali generale, forma normale per sistemi ordinari relazione con il teorema del Dini.
Equazioni a quadratura semplice.
Equazioni a variabili separabili:
dy/dt =y^2, y, radice y, sin y unicita' e soluzioni costanti.

XX lez.  26-5-05, h 11-13:
Equazioni lineari del primo odrine deduzione formula risolutiva semigruppo, sistemi lineari del primo ordine enunciato esistenza ed unicita per il pb. ai dati iniziali, esemplificazione nel caso bidimensionale; derivata del determinante, spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo e sue basi; dimostrazione di esistenza ed unicita' per i sistemi a coeff. costanti con la formula del semigruppo ed esponenziale di una matrice; risolvente di un sistema; riduzioni di equazioni a sistemi; equazioni linearei del secondo ordine soluzioni fondamentali reali e complesse.

Secondaprova in itinere
27-05-05