14-2-06 lezione 1 Richiamo di elementi di analisi di una
variabile: confronto relativo tra grandezze e numeri come riferimento
assoluto, incommensurabilta' e numeri non razionali (processo infinito
di confronto tra lato di un quadrato e diagonale, prova per assurdo che
un numero il cui quadrato e' 2 non puo' essere espresso come frazione),
il sistema dei numeri reali e l'assioma di completezza, significato
geometrico della derivata di una funzione di una variabile, numeri
complessi. Il piano cartesiano e le principali proprieta' astratte da
esso. Punti e spostamenti. Lo spazio delle ennuple di numeri reali.
Matrici simmetriche e prodotti scalari nel piano euclideo. Le
norme p-esime nel piano, lo spazio normatto delle funzioni continue su
un intervallo chiuso.
Notazioni:.
Definizioni: Successioni
di Cauchy e successioni convergenti, spazi vettoriali reali
e complessi, spazi metrici e distanze, spazi normati, forme bilineari,
prodotti scalari, funzioni continue tra spazi metrici, lunghezza di un
cammino in uno spazio metrico, funzioni lineari.
Enunciati: Ogni
successione di Cauchy di numeri reali ha un limite reale,
diseguaglianza triangolare per la norma euclidea nel piano e negli spazi
euclidei a piu' dimensioni (dim.), diseguaglianza di Cauchy-Scharz per
prodotti scalari (dim.), relazione tra prodotto scalare e coseno,
teorema fondamentale dell'algebra, teorema fondamentale dell'algebra
lineare.
16-2-06 lezione 2 Applicazioni lineari e matrici,
interpretazione delle colonne di una matrice, esempi di norme che non
derivano da prodotti scalari (norme p-esime nel piano con p diverso da 2
e p >1, norme infinito), esempi di insiemi in forma parametrica come
immagini di funzioni (varieta' affini, circonferenza, sfera), identificazione grazie al prodotto
scalare euclideo degli spazi euclidei con i loro duali, lo spazio delle
funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato non ha dimensione
finita (es.)
Notazioni: prodotto righe
per colonne
Definizioni: forme
bilineari Hermitiane, combinazioni lineari, generatori,
indipendenza lineare, basi, dimensione, rette, segmenti, k-piani e
k-parallelepipedi in forma parametrica (lineare), duale di
uno spazio vettoriale, funzione trasposta o duale, base duale, isometrie
lineari, matrici ortogonali, rotazioni, riflessioni, spazio metrico
completo, funzioni vettoriali.
Enunciati: Identita' del
parallelogramma e caratterizzazione delle norme che derivano da prodotto
scalare, ogni spazio vettoriale ha una base, se vi e' una base finita
ogni famiglia piu' numerosa e' lienarmente dipendente (cenno dim.), se
vi e' una base finita un sistema linearmente indipendente si puo'
completare ad una base con elementi della data e le basi hanno lo stesso
numero di elementi, una funzione lineare da uno spazio euclideo in se
conserva il prodotto scalare se e solo se e' ortogonale la matrice
associata se e solo se lo e' la sua trasposta (dim.), ogni funzione
lineare continuo a valori
reali su uno spazio vettoriale con prodotto scalare completo si rappresenta con il
prodotto scalare per un elemento dello spazio.
Esercitazione 21-2-06 Esercizi
elementari di geometria affine, rotazioni nello spazio, combinazioni
baricentriche, la norma hilbertiana sullo spazio delle funzioni
continue, incompletezza (cenno all'essenziale incompletezza), la norma
hilbertiana sullo spazio delle successioni a quadrato sommabile,
limitatezza in uno spazio metrico, le succesioni di Cauchy in uno spazio
metrico sono limitate, parte della dimostrazione che lo spazio delle
successioni a quadrato sommabile con la norma hilbertiana e' completo
(convergenza punuale ad un elemento dello spazio stesso), lo spazio
delle successioni limitate con la norma del massimo modulo, norma
di un operatore lineare tra spazi normati, gli operatori lineari con
norma finita sono tutti e soli quelli continui e sono un sottospazio
vettoriale tra gli operatori, in dimensione finita tutti gli operatori
lineari sono continui, vi sono spazi di dimensione infinita con
sottoinsiemi chiusi-limitati senza punti di accumulazione: le
successioni ``coordinate'', calcolo della norma come operatore di una
funzione lineare di due variabili.
23-2-06 lezione 3 Luoghi
di zeri di funzioni lineari-affini in coordinate, sistemi di condizioni
di ortogonalita' e dimensione dello spazio delle soluzioni, nucleo e
immagine di un operatore lineare, forme quadratiche e matrici
simmetriche, sottolivelli di funzioni convesse, contiuita' di funzioni
lineari e norme in dimensione finita.
Notazioni:
polare e antipolare, somma diretta
Definizioni:
chiuso (per successioni), polare, sommadiretta in dimensione finita,
base duale, sommadiretta in spazi normati di dimensione inifnita,
continuita' di mappe tra spazi metrici, uniforme continuta', limitato in
spazi metrici.
Enunciati: un operatore lineare tra
normati e' continuo se e solo se e' limitato (dim.), un funzionale
lineare su un normato e' continuo se e solo se il nucleo e'
chiuso, formula dim Ker+ dim Im =dim Dom (dim.), dimensione del duale
eguale alla dimensione dello spazio in dimensione finita, identita' di
polarizzazione tra un operatore e il suo trasposto in dimensione finita
(dim.), dimensione del polare di A complemento della dimensione di A,
dimensione dell'immagine di un operatore e del suo trasposto:
rango per righe eguale rango per colonne (dim.), metodo della matrice
orlata per il rango (dim.), caratterizzazione continuita' ed uniforme
continuita' per successioni, teoremi di Weierstrass e di Bolzano
Weierstrass in spazi euclidei (dim.), equivalenza delle norme in
dimensione finita (dim.), ogni sottospazio di dimensione finita di un
normato e' chiuso (dim.), in uno spazio normato di dimensione inifinita
vi sono successioni limitate metricamente che non sono di Cauchy
(cenno dim in Hilbert) .
27-2-06 ripetizione
lezione 3
28-2-06 lezione 4 Spazi
vettoriali complessi, il prodotto canonico su C^n per ottenere una norma non
e' bilineare, matrice trasposta e matrice aggiunta associate
all'operatore trasposto coniugato con l'isomorfismo di Riesz per il
prodotto scalare canonico, moltiplicazione per un numero complesso come
operatore R-lineare su R^2 e sua diagonalizzazione in C^2 , operatori di ``shift''.
Notazioni:
complessificato di uno spazio e di un operatore lineare.
Definizioni:
funzionali semi/anti-lineari, forme sesquilineari, forme Hermitiane,
prodotti scalari complessi, operatore duale (o
aggiunto) relativamente ad un prodotto scalare (risp. Hermitiano) di uno
spazio di Hilbert e relazione con l'operatore trasposto, operatori
simmetrici ed operatori autoaggiunti rispetto ad un prodotto scalare
(Hermitiano), autovettori e autovalori, molteplicita' algebrica e
geometrica, ordine di una autovalore, operatori algebrici
Enunciati: teorema di
rappresentazione di Riesz nel caso complesso, per un operatore lineare
che annulla un polinomio (operatore algebrico) i nuclei
delle potenze sono definitivamente stazionari (dim.), forma di Jordan
complessa, decomposizione dello spazio in autospazi generalizzati
(nuclei delle potenze dei polinomi di primo grado nell'operatore), forma
di Jordan reale, decomposizione dello spazio con potenze dei nuclei dei
polinomi di secondo grado irriducibili.
2-3-06 lezione 5 osservazioni
conclusive sulla forma di Jordan e la decomposizione dello spazio
in somma diretta di
Ker (z Id -A)^n per un operatore algebrico, corrispondenza
lineare bigettiva tra forme bilineari ed operatori lineari a valori
operatori lineari, una matrice simmetrica non
corripsondead un operatore simmetrico rispetto ad un qualsiasi prodotto
scalre in R^n ,
diagonalizzazione di operatori autoagginti, esempio in dimensione
infinita della derivata seconda sullo spazio delle funzioni periodiche
con derivata periodica.
Notazioni:
Definizioni:base
di Hilbert, serie di Fourier.
Enunciati: diseguaglianza
di Cauchy-Schwarz per forme sesquilineari semidefinite positive (dim.),
corrispondenza tra operatori lineari (continui) in uno
spazio di Hilbert una forma sesquilineare (continua) (dim.),
caratterizzazione della loro iniettivita' nel caso semidefinito positivo
(dim) , procedimento di ortogonalizzazione in dimensione finita: ogni
spazio di Hilbert di dimensione finita si identifica con C^n -R^n (dim),
gli autovalori di un operatore lineare autoaggiunto sono reali e
autospazi relativio ad autovalori diversi sono ortogonali (dim) , ogni
operatore lineare autoaggiunto in uno spazio di Hilbert di dimensione
finita si diagonalizza coniugandolo con un operatore ortogonale in
una matrice diagonale reale (dim Bolzano-Weiestrass),
caratterizzazione con min-max sulla sfera unitaria degli
autovalori enumerati con ripetizione.
In uno spazio di Hilbert di dimensione infinita per un operatore
A: lineare, continuo, autoaggiunto, che trasforma successioni limitate
in successioni con sottosuccessioni convergenti si ha:
dim Ker (r I- A) e' finita se r e' non nullo;
A agisce sull'ortogonale a Ker A;
vi e' una successione di autovettori m_1 ...m_n ... ortonormali
per cui ogni elemento v si scrive in modo unico come somma di un
elemento di Ker A e del limite (rispetto alla norma del prodotto
scalare) di a_1 m_1 + ... a_n m_n appunto a_i = <v: m_i>;
gli autovalori non nulli formano una successione infinitesima;
per ogni r non autovalore rI -A e' bigettivo con inversa continua.
6-3-06 ripetizione
lezione 5
7-3-06 lezione 6 i
non misurabilta' alla peano Jordan dei razionali, cenno a come
modificare l'insieme di Cantor per mostrare che la misura di
Peano-Jordan da una distanza integrale essenzialmente incompleta
Notazioni: parte interna, chiusura, frontiera
Definizioni:
aperto, chiuso, intorno, frontiera, punto isolato, punto di
accumulazione, parte interna e chiusura, misurabilita' alla Peano
Jordan, misura di Peano-Jordan in senso generalizzato per insienmi non
limitati, misura esterna di Lebesgue, insieme di Cantor, compatti,
proprieta' dell'intersezione finita, totalmente limitato
Enunciati: in uno
spazio metrico i chiusi sono tutti e soli i chiusi per successioni
(dim.), intersezione di una arbitraria famigli di chiusi
e' chiusa e unione arbitraria di aperti e' aperta (dim.), una
funzione continua su un compatto e' uniformemente continua (dim.), in
uno spazio metrico i compatti sono tutti e soli i compatti per
successioni, caratterizzazioone di compattazza con la proprieta'
dell'intersezione finita, caratterizzazione di compattezza di
sottoinsiemi di spazi metrici con completezza e totale
limitatezza; additivita' , monotonia, invarianza per traslazioni e
omogeneita' della misura di Peano-Jordan, unicita' della misura di
Peano-Jordan, un insieme ha misura di Pean-Jordan se e solo se la sua
frontiera ha misura nulla (cenno dim.), i grafici di funzioni
continue su un rettangolo cartesiano chiuso e nulle al di fuori hanno
misura di Peano Jordan nulla (dim.)
9-3-06 lezione
7 introduzione
ingenua del determinante come ``misura orientata'' di un
parallelogramma, interpretazione geometrica dei determinanti di minori,
invarianza del detreminante per cambiamenti di coordinate
Definizioni.
forme k lineari, forme k lineari alternanti, determinante, orientazione
(relativa), base indotta delle k forme lineari alternanti,prodotto
vettore nello spazio a tre dimensioni.
Enunciati: vi e' un'unica n-forma
lineare alternante in R^n che
vale 1 sulla base canonica (dim.), sviluppo per colonne del determinante
e di forme k-lineari alternanti (dim.), determinante del prodotto (dim.
unicita'), determinante nullo caratterizza la dipendenza
lineare (dim.), determinante della matrice trasposta (dim.), formula per
l'inversa di una matrice e formula risolutiva per un sistema lienare
(dim.), formula del seno per il determinante, la misura di Peano-Jordan
di un n-parallelepipedo in R^n
e' eguale al modulo del determinante della matrice delle coordinate
(dim. cenno), la misura del trasformato di un un insieme mediante un
operatore lineare e' il modulo del determinante dell'operatore per la
misura dell'insieme, somma dei quadratie dei minori di
dimensione k eguale al determinante della trasposta per la matrice
con n righe e k colonne (dim.), formula di Cauchy-Pitagora
il k-volume di un k-parellepipedo in R^n
e' la radice quadrata della somma dei k-volumi delle proiezioni
ortogonali sui k-piani coordinati (dim.)
14-3-06 lezione
8 Cenno
alla nozione di spazio topologico ed esempio di spazi topologici non di
Hausdorff a differenza degli spazi metrici, limiti di successioni e
funzioni in spazi metrici ed esemplificazione con esempi di funzioni di
due variabili, sostituzione nei limiti, limiti e intorni, insieme dei
punti di continuita' e continuita' di una funzione su un insieme,
continuita' di funzioni a valori in spazi euclidei, immagini continue di
aperti, o chiusi, non e' detto siano aperte, rispettivamente chiuse, una
funzione continua bigettiva puo' non avere inversa continua (esempio
proiezione/argomento),
Notazioni:
limite di successioni in uno spazio metrico, limite di funzioni tra
spazi metrici, limiti all'infinito
Definizioni:
intorno, denso, spazio topologico, spazio di Hausdorff, aperti e chiusi
relativi, limite di una successione in uno spazio metrico, limite di una
funzione, continuita' di una funzione in un punto, continuita' di una
funzione, coordinate polari nel piano, coordinate sferiche nello spazio
Enunciati: versione qualitativa del
teorema di Stone-Weiestrass per funzioni reali continue su un
intervallo, caratterizzazione della continuita' con intorni (dim.),
caratterizzazione continuita' con preimmagini di chiusi ed aperti
(dim.), una funzione reale continua trasforma intervalli in intervalli
se iniettiva su un intervallo e' monotona e con inversa continua,
continuita' per successioni (dim)
Esercizi: scrivere in coordinate
sferiche un punto di R^n .
16-3-06 lezione
9 principali
teoremi sulle funzioni continue ed uniformemente continue,
esemplificazioni in dimensione finita ed infinita, confronto con il caso
di funzioni reali di una variabile.
Definizioni:uniforme
continuita', lipschitzianita', holderianita', connesso, connesso per
archi, convergenza uniforme, algebra, limitatezza in spazi
metrici, funzioni continue e limitate, compattezza e sequenziale
compattezza, connessione e connessione per archi.
Enunciati: le funzioni uniformemente
continue trasformano successioni di Cauchy in successioni di Cauchy
caratterizzazione di uniforme continuita' (dim.), funzioni continue su
un compatto sono uniformemente continue (dim.), i compatti di uno
spazio metrico (o di Hausdorff) sono chiusi e i chiusi di un
compatto sono compatti (dim.), l'immagine continua di un compatto e' un
compatto e teorema di Weiestrass (dim.), l'inversa
di una funzione continua su un compatto e' continua (dim.),
una funzione uniformemente
continua a valori in uno spazio completo si estende con continuita' alla
chiusura in modo unico (dim.), composizione di continue e' continua
(dim.), il prodotto e' continuo (dim.), immagine continua di un connesso
o connesso per archi e' connessa rispettivamente connessa per archi, un
aperto connesso in uno spazio normato e' connesso per archi, lo
spazio delle funzioni continue limitate a valori in uno spazio metrico
con l'estremo superiore delle distanze dei valori e' uno spazio metrico
(dim.), lo spazio delle funzioni continue
limitate a valori in uno spazio completo con la norma uniforme e'
completo (cenno dim.), dimostrazione del teorema di Stone-Weiestrass con
i polinomi di Berstein (dim), un'algebra di funzioni complesse continue
chiusa per coniugio che contiene le costanti e separi i punti e' densa
nelle funzioni continue complesse,
Esercitazione16-3-06
esempio di funzione continua in ogni direzione ma non continua, esempi
di funzioni lineari non continue,
esempio di funzione continua con inversa non continua, l'integrale del
quadrato non e' una funzione continua rispetto alla norma dell'integrale
del modulo, esempio di connesso non connesso per archi, studio della
continuita' di una funzione di due variabili, derivate direzionali.
21-3-06 lezione
10 precisazioni
relative alle precedenti lezioni:
un sottoinsime totalmente limitato con chiusura completa e'
relativamente compatto, un sottoinsieme relativamente compatto e'
totalmente limitato, il polinomio di Berstein di x^2 e' x^2+1/n
e dimostrazione algebrica di Stone Weiestrass con stima dell'errore.
I criteri di relativa compattezza nello spazio delle funzioni continue,
i teoremi delle contrazioni, convergenza puntuale versus convergenza
nelle varie norme. Completezza negli spazi con la norma uniforme e negli
spazi di successioni
Definizioni:distanza
uniforme tra le funzioni limitate a valori in uno spazio metrico,
norma uniforme, equilimitato. equicontinuo, equiuniformemente continuo,
contrazione
Enunciati: Ascoli Arzela' astratto:
una famiglia di funzioni continue da uno spazio metrico
compatto ad uno spazio metrico completo e' relativamente compatta se e
solo se e' equiuniformemente continua, e l'insieme dei valori delle
funzioni della famiglia in un punto sono un relativamente compatto nello
spazio di arrivo, l'equilimitatezza e' una conseguenza di tali ipotesi
(esercizio),
Acoli Arzela: una famiglia di funzioni da [0;1] in R
che sia equicontinua ed equilimitata e' relativamente compatta rispetto
alla distanza sup{|f(x)-g(x)|: x tra 0 ed 1} (cenno dimostrazione con
suddivisione diadica e principio di estensione di uniformemente
continue), lemma delle contarzioni con stima dell'errore e stima di
stabilita' per una contrazione che oera su uno spazio metrico (dim),
teorema di punto fisso per contrazione su spazio metrcico completo
(dim), teorema delle contrazioni con dipendenza continua da un parametro
(dim), le successioni a quadrato sommabile sono uno spazio vettoriale
(dim) con un prodotto scalare Hermitiano (dim), sono uno spazio di
Hilbert (completo) (dim), enunciati equivalenti per le successioni
limitate o per le successioni con potenza p^a (p maggiroeguale ad 1)
della norma sommabile, completezza delle funzioni limitate a
valori in uno spazio metrico completo con la distanza uniforme (dim), le
funzioni limitate a valori in uno spazio di Banach sono uno spazio
di Banach con la norma uniforme (dim), il sottoinsieme delle
funzioni continue e limitate sono un chiuso con la distanza uniforme r
quindi sono un metrico completo (dim)
Esercitazione21-3-06
esempi di successioni di funzioni
convergenti puntualmente ma non convergenti rispetto alle norme
integrali alle norme della serie delle potenze dei moduli o alla
norma uniforme
Esercitazione28-3-06
esercizi su convergenza uniforme,
puntuale e totale.
30-3-06 lezione
12
ripetizione dei criteri per limiti di serie con dimostrazione e
enunciato per limiti di integrali, derivate di integrali, derivate di
limiti, serie di potenze
Notazioni:
Definizioni: equinconvergenza
di successioni di serie, equisommabilita' di successioni di serie,
sommabilita' dominata di successioni di serie e di
integrali, serie di potenze, raggio di convergenza, somma per parti
Enunciati:
criterio di equiconvergenza per ``passare il limite nella
serie'' (dim), criterio di convergenza dominate per serie (dim),
criterio di convergenza monotona per serie a termini positivi (dim),
criterio di convergenza dominata per integrali, criterio di convergenza
monotona per integrande positive, criterio di convergenza uniforme su
limitati per integrali (dim), derivata di un integrale con uniforme
derivabilta' (dim) e corollario nel caso di derivata continua, derivata
dominata e derivata dell'integrale,
convergenza totale delle serie di potenze nelle palle di raggio strettamente
minore del limsup della radice n-sima del modulo del coeff. n-simo
(dim), non convergenza all'esterno di palle di raggio strettamente
maggiore (dim), raggio di convergenza, convergenza delle derivate e
convergenza puntuale delle funzioni (dim), derivabilita' delle
serie di potenze nel dominio di convergenza (dim), enunciato somma per
parti.
Esercitazione
30-3-06 esercizi su convergenza totale ed
uniforme, convergenza di integrali, convergenza di serie, deivate di
integrali e derivabilita' di serie e serie di potenze, criterio di somma
per parti per la serie ``somme cos nx /n'', una funzione infinite volte
derivabile che non e' esprimible come serie di potenze
27-4-06 lezione
13
ripetizione dei criteri per la derivata di un limite di funzioni con
dimostrazione; tangenza, approssimazione lineare e differenziabilita'
Notazioni: derivate direzionali e
parziali
Definizioni: derivate direzionali e
parziali, differenziabilita' di una funzione in punto in dimensione
finita e in dimensione infinita
Enunciati:
una funzione con derivate parziali nulle in un aperto connesso e'
costante (dim), il grafico dell'approssimazione lineare e' tangente al
grafico della funzione differenziabile, le funzioni differenziabili in
un punto sono continue nel punto
(dim), teorema del differnziale totale in dimensione finita (dim in
dimensione due), teoremadel differenziale totale in dimensione infinita
e diseguaglianza del valor medio.
Vi sono funzioni continue con tutte le derivate direzionali nulle in un
punto ma senza piano tangente al grafico.
2-5-06 lezione
14
sunto della precedente lezione, tangente ad una curva, differenziale,
matrice Jacobiana, direzione di massima crescita, e regole di
differenziazione.
Notazioni: differenziale, gradiente,
matrice Jacobiana
Definizioni: differenziale,
gradiente, matrice Jacobiana
Enunciati:
unicita' del differnziale (dim), teorema del
differenziale totale in dimensione infinita, relazione tra una norma e
norma duale, diseguaglianza del valor medio (dim in spazi normati
e in spazi con prodotto scalare), il gradiente da la direzione di
massima pendenza (dim.), differenziale di forme bilineari continue
(dim.), differenziale di una funzione composta e regola della catena, il
gradiente non nullo e' ortogonale alle direzioni tangenti ad un luogo di
zeri (dim.).
4-5-06 lezione 15
Inversa del differenziale, derivate di ordine due, tangenza a immagini e
a insiemi di livello, invertibilita' locale.
Notazioni: funzione differenziale,
derivate direzionali e parziali seconde, differenziale secondo,
sottomatrici Jacobiane, differenziale di restrizioni a sottospazi affini.
Definizioni: funzione
differenziale, differenziale secondo in un punto, matrice Hessiana,
derivate seconde,
Enunciati:
differenziale dell'inversa (dim), simmetria del differenzaile secondo e
della matrice Hessiana, forma forte del teorema di Scwharz, teorema del
rango semplice in dimensione finita per funzioni C1 ed
esemplificazioni, teorema del Dini in dimensione finita per
funzioni C1 ed esemplificazioni, teorema delle
funzioni implicite per funzioni C1 in
dimensione finita ed esemplificazioni, teorema di invertibilita'
globale in spazi di Banach per
funzioni C1 ed esemplificazioni, controesempio, un' ipotesi
per il teorema di invertibilta' locale con differnziabilita' solo
in un punto.
Esercitazione
4-5-06 esercizi di calcolo differenziale in
piu' variabili foglio IV
Esercitazione
9-5-06 esercizi di calcolo differenziale in
piu' variabili foglio IV
RECUPERO
Esercitazione 10-5-06 esercizi
di calcolo differenziale in piu' variabili foglio IV
Esercitazione
11-5-06 esercizi di calcolo differenziale in
piu' variabili foglio IV; cambiamenti di coordinate non lineari:
vettori come velocita' e come derivazioni, espressione di
operatori differenziali nelle nuove coordinate.
Esercitazione
16-5-06 esercizi di calcolo differenziale:
luoghi di zeri.
RECUPERO
Esercitazione 17-5-06 esercizi
di calcolo differenziale in piu' variabili foglio IV, studio del luogo
x^y-y^x=0:
(per x>1: y- xlog_x y=0)
18-5-06 Giro
d'Italia?
23-5-06 lezione 16
Differenziale secondo e condizioni per punti di massimo o minimo relativi
Notazioni: funzione differenziale,
derivate direzionali e parziali seconde, differenziale secondo, forme
bilineari continue e operatori lineari a vaolri operatori lineari:
associazione naturale, differenziali di ordine maggiore, punto critico
Definizioni: funzione
differenziale, differenziale secondo in un punto, matrice Hessiana,
derivate direzionali seconde, resto di Lagrange con differenziale
secondo, sviluppo di Taylor al secondo ordine, punti di massimo o minimo
relativi,
Enunciati:
il resto del differenziale secondo e' infinitesimo nella norma degli
operatori lineari (uniformita' nelle direzioni), simmetria
dell'operatore bilineare associato al differenziale secondo,
teorema di Schwarz: se vi e' una derivata direzionale seconda mista e
continua in un punto in esso vi 'e la derivata direzionale seconda fatta
nell'ortdine inverso e sono eguali, resto di Lagrange al primo ordine
(dim.), sviluppo di Taylor al secondo ordine (dim. nel caso d funzioni a
valori scalari, cenno nel caso di valori in spazi di Banach), condizioni
necessarie per essere un punto di massimo o minimo relativo interno (dim.) , condizioni
sufficienti, in dimensione finita, perche' un punto critico sia massimo
o minimo relativo (dim.), criterio dell'alternanza dei segni dei
coefficienti di un polinomio monico pwer stabilire la positivita' delle
radici, caso particolare di polinomi di secondo grado e di
funzioni di due variabili: segno del determinante e della traccia della
matrice Hedssiana.
24-5-06 RECUPERO
lezione 17
Parziale ripetizione lezione precedente, moltiplicatori di Lagrange e
funzioni convesse.
Definizioni:
Differenziale tangenziale, Lagrangiana, operatore monotono
Enunciati: criteri sufficienti per
punti di estrmo relativo (libero) in dimensione infinita con
coercivita' del differenziale secondo (dim.), controesempio in spazio di
Hilbert per punto non di minimo in cui il differenziale secondo ha segno
definito positivo
( |x|^2=somma x_n^2 finita, F(x)= somma su n x_n^2/n -x_n^4, d^2
_0 F [v,v]>0, F(0, ..., (1/2n)^{1/2}, 0 ...)<0),
criterio dei moltiplicatori di Lagrange in spazi euclidei, criterio dei
moltiplicatori di Lagrange in spazi di Banach (dim.); funzioni convesse
e differenziale: caratterizzazione f(x)>_= f(p) + d_p f[x-p] (cenno
dim), caratterizzazione differnziale monotono; funzioni convesse
caratterizzazione con differnziale secondo definito non negativo (cenno
dim.).
25-5-06 lezione 18
Funzioni convesse:
Enunciati:
una funzione convessa limitata superiormente e' localmente
lipschitziana nella parte interna, una funzione convessa se assume
massimo o e' costante o i punti di massimo non sono interni (cenno
dim.), una funzione convessa su un poligono assume massimo nei vertici
Esercitazione
25-5-06 esercizi su massimi e minimi vincolati,
studio della natura dei punti critici con segno del massimo e minimo di
polinomi omogenei sulla sfera.
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foglio V, 9/11-5-06: DVI PDF