Elementi di Analisi Matematica II, Anno Accademico 2002-2003, Matematica

G. Albert, A. Briani, V.M. Tortorelli

II foglio di esercizi: V.M. Tortorelli

dal 25 febbraio 2003 al 4 Marzo 2003

http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html $\longrightarrow$El. di An. Mat. I e II A.A. 2002/03

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ESERCIZIO n. 1  Risolvere o provare:

$n^n\geq n!\geq 2^n,~2^n-2\geq n^2,~n\geq 5;~3^n \geq n2^n ,~n\geq 2;~$

$\sum_{k=1}^n 2k =n(n+1);~ \sum_{k=1}^n k^2=?;~ \sum_{k=1}^n k^3= ?= \left(\sum_{k=1}^n k^2\right)^2 ;~\sum_{k=1}^n 2k-1 =n^2;$

$\sum_{k=1}^n (2k-1)^2 = \frac{n(4n^2-1)}3;~ (1+a)^n\geq 1+na + \frac {n(n-1)}2 a^2,~ a\geq 0; ~ (1+a)^n\geq 1+na, ~ a\geq -1;$

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ESERCIZIO n. 2 Calcolare estremo superiore, inferiore, e specificare se sono valori massimi o minimi dei seguenti sottoinsiemi di ${\bf R}$:

$${ ]0;1],~[1;4[\cap (]0;2[\cup ]3;5]),~\bigcup_{n\in{\bf N}}\left[ ... ...\bigcup_{m\in {\bf N}}\bigcap_{n\in{\bf N}}\left]\frac 1{n+m} ; m+n\right[, ~ }$$

$\{ x:~\vert x^2+1\vert<\vert x-3\vert-1\},~ \{ x:~ \vert x^6-1\vert\le -x^3 +1\} ,~\{ x:~ \frac{x+1}{\vert x-2\vert} -2x>0\},~$

$\{ x:~ \frac{x+1}{\vert x-2\vert} -2\vert x\vert >0\},~\{ x:~ \log x^2 \geq\log (2x -1)\}\cap {\bf Q},~ \{ x:~\log_x (2x -1) \geq 2\}$

$${\bigcap_{y\in{\bf R}}\{ x:~ \vert x+y\vert +y \le 2\};~\bigcup_{y\in{\bf R}}\{ x:~ \vert x+y\vert +y \le 2\} };$$

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ESERCIZIO n. 3 Calcolare estremo superiore, inferiore, e specificare se sono valori massimi o minimi delle seguenti funzioni e successioni a valori in ${\bf R}$:

$7n^3-n^4,~ n\in {\bf N};~ 7n^6-n^8,~ n\in {\bf N};~7x^6-x^8,~ x\in {\bf R};~\sin \frac1n ,~n\in{\bf N};~ \sqrt{n} -[\sqrt{n}] ,~n\in{\bf N} ;$

$${\frac{x^6+x^4 +1}{x^4+2x^2-3},~x^4+2x^2-3\not=0;~ \frac{n^6+n^4 +... ...^4+2n^2-3},~n\in{\bf N} ~n^4+2n^2-3\not=0; ~(x^2+1)e^{-(x^2-1)},~ x\in{\bf R};}$$

$${\frac{n+1}{n},~n\in {\bf N};~~\frac{2m}{m^2+1},~ m\in{\bf Z};~~(-... ...n{\bf N};~~n+\frac{1001}n,~n\in{\bf N};~~x^2+\frac{1001}{x^2 +1},~x\in{\bf R} }$$

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ESERCIZIO n. 4 Calcolare estremo superiore, inferiore, e specificare se sono valori massimi o minimi delle seguenti funzioni e successioni a valori in ${\bf R}$:

$${n\cos m\pi -\frac 3{2+n},~m,~n\in {\bf N};~ \frac {n^2 -m^2}{m^2+... ...\frac {(x^2+y^2)^2}{x^2y^2},~xy>0; ~\frac {(x^2+y^2+z^2)^3}{x^2y^2z^2},~xyz>0 }$$

$${\left\vert\frac{\vert z\vert-1}{z-1}\right\vert,~ z\in{\bf C}~ z\... ...\vert , ~z\in{\bf C}~{\rm e}~ \left\vert e^{z+2}-\frac12\right\vert\le\frac12 }$$

$\sup\{ \vert u(x)-u(0)\vert ;x\in [0;1]\}$, al  variare di u tra le funzioni per cui $${\sup\left\{ \left\vert \frac {du}{dx}(x)\right\vert ;x\in [0;1]\right\}= 1}$$

$${\int_0^1 \vert u(x)\vert dx}$$ al  variare di u tra  le funzioni per cui $\sup\{ \vert u(x)\vert ;x\in [0;1]\}<1$

NOTAZIONE:

$A+B=\{ x\in{\bf R}: ~\exists a\in A, ~b\in B ~ x=a+b\}$, $\lambda A=\{ x\in{\bf R}: ~\exists a\in A ~x=\lambda a\}$.

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ESERCIZIO n. 5 Provare che:

a - se $A\subseteq B$ allora $\sup A\le \sup B$ e $\inf B\le \inf A$;

b - $\sup A\cup B =\max\{ \sup A ,\sup B\}$, $\inf A\cup B =\min\{ \inf A ,\inf B\}$, $${\sup \bigcup_{i\in I} A_i =\sup_{i\in I}\sup A_i}$$;

c - $\sup A+B =\sup A+ \sup B$, $\sup -A =-\inf A$, $\sup \gamma^2 A= \gamma^2 \sup A$;

d - se $f:I\rightarrow {\bf R}$, $g:I\rightarrow {\bf R}$ allora: $${\sup_{x, y\in I} f(x) +g(y) = \sup_{x\in I} f(x) + \sup_{x\in I} g(x) \geq \sup_{x\in I} f(x) +g(x)}$$.

Si provi che la diseguaglianza è necessaria, e si trovi e provi un analogo enunciato per l'estremo inferiore;

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ESERCIZIO n. 6

a - Se $0\le x$ e $\forall \varepsilon> 0 x\le \varepsilon$ allora x=0.

b - Ogni sottogruppo additivo G di ${\bf R}$ o è un sottoinsieme denso o ha un minimo elemento positivo g₀>0, e tale g₀ genera G, cioè $G=g_0{\bf Z}$.

c - Due numeri reali a, b hanno rapporto irrazionale se e solo se $a{\bf Z}+ b{\bf Z}$ è un sottogruppo denso di ${\bf R}$.

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ESERCIZIO n. 7 PRINCIPIO DI INDUZIONE Partendo dagli assiomi di ${\bf R}$ ed da quello dell'esistenza di intersezioni infinite si identifica l'insieme dei numeri naturali come segue: $${{\bf N}= \bigcap \{ A\subseteq {\bf R}:~ 1\in A,~ x\in A\Rightarrow x+1\in A\}}$$.

a - Si provi con questa definizione di ${\bf N}$ che se $A\subseteq {\bf N}$, $1\in A$, $x\in A\Rightarrow x+1\in A$ allora $A={\bf N}$.

b- Si dimostri che ogni sottoinsieme di ${\bf N}$ ha minimo.

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ESERCIZIO n. 8

a - Si provi che per ogni $n\in {\bf N}$ la funzione $x\mapsto x^n$, $x\geq 0$ è bigettiva da ${\bf R}^+$ in se.

b - Detta $y\mapsto y^{\frac 1n}$ la sua inversa che $(y^m)^{\frac 1n}=(y^{\frac 1n})^m$. Il comune valore è indicato con $y^{\frac mn}$.

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ESERCIZIO n. 9 Dato $n\in {\bf N}$ e considerati $a_1 ,\ldots a_n$ numeri reali non negativi si consideri la diseguaglianza:

$$\frac{a_1 + \ldots + a_n}{n}~\geq ~ ^n\!\!\sqrt{a_1\ldots a_n}$$

a - Si provi che se vale per n vale per 2n, che se vale per n vale per tutti i suoi predecessori e si concluda provando che è vera per ogni $n\in {\bf N}$.

b - Fissato n per quali $a_1 ,\ldots a_n$ vi è eguaglianza.

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ESERCIZIO n. 10 Fissato $x\in {\bf R}$, si provi (eventualmente considerando i risultati dei due precedenti esercizi) che la successione $${\left( 1+\frac xn \right)^n}$$è crescente per $n\geq x$, che $${\left( 1+\frac 1n \right)^{n+1}}$$ è decrescente, e quindi che la prima è limitata superiormente.