Elementi di Analisi Matematica II, Anno Accademico 2002-2003, Matematica

G. Albert, A. Briani, V.M. Tortorelli

IV foglio di esercizi: V.M. Tortorelli

dal 3 aprile 2003 al 10 aprile 2003

http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html $\longrightarrow$El. di An. Mat. I e II A.A. 2002/03

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ESERCIZIO n. 1

a - Si mostri che vi sono funzioni, da ${\bf R}$ in ${\bf R}$, che trasformano ogni intervallo in un intervallo ma non sono continue.

b $^{\bf *}$ - Si mostri che vi sono funzioni, da ${\bf R}$ in ${\bf R}$, che trasformano ogni intervallo in un intervallo e non sono continue in alcun punto.

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ESERCIZIO n. 2

a - Si provi che una funzione monotona definita su un intervallo ha solo discontinuità di tipo salto.

b - Si provi che una funzione monotona definita su un intervallo ha al più un insiem numerabile di punti in cui non è continua.

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ESERCIZIO n. 3 Si provi che $f:{\bf R}\to {\bf R}$ limitata è continua se e solo se $x_n\to x\in {\bf R}$ e $f(x_n)\to y\in {\bf R}$ allora y=f(x). Si mostri che ciò non è vero se f non è limitata.

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ESERCIZIO n. 4$^{\bf *}$ Si provi che f da ${\bf R}$ in se è continua e non decrescente se e solo se per ogni successione limitata x_n si ha ${\rm maxlim}_{n\to \infty} f(x_n ) = f({\rm maxlim }_{n\to \infty} x_n )$  [ ${\rm maxlim}_{n\to \infty } y_n =\inf_n\sup_{k\geq n} y_k= \lim_{n\to \infty} \sup_{k\geq n} y_k$].

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DEFINIZIONE f si dice uniformemente continua su I se e solo se

$\forall\varepsilon >0~\exists\delta >0 ~\forall x,~y\in I ~(\vert x-y\vert\le \delta \Rightarrow \vert f(x)-f(y)\vert \le \varepsilon)$

ovvero

$${\lim_{\delta\to 0} \sup_{{x,y\in I}\atop{\vert x-y\vert\le \delta}} \vert f(x) -f(y)\vert =0}$$.

TEOREMA:

Una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato è ivi uniformemente continua.

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ESERCIZIO n. 5

a - Si provi che $x\mapsto \sqrt{x}$ è $\frac 12$-hölderiana su $[0;+\infty[$ ma non lipschitziana.

b - Si provi che $x\mapsto x^2$ e $x\mapsto sin (x^2)$ non sono uniformemente continue su ${\bf R}$ e sono lipscitziane sugli intervalli limitati.

c - Si provi che $x\mapsto \frac 1{(\log \vert x\vert )^2}$, $x\not= 0$, è uniformemente continua ma non è hölderiana.

d - Si provi che le funzioni hölderiane e lipschitziane sono uniformemente continue.

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ESERCIZIO n. 6

a - $f:I\to {\bf R}$ è continua se e solo se per ogni successione $x_n\to x\in I$ di elementi di I si ha $f(x_n)\to f(x)$.

b - $f:I\to {\bf R}$ se e solo se date due successioni di elementi di Iper cui $x_n -y_n\to 0$ si ha anche $f(x_n)-f(y_n )\to 0$.

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ESERCIZIO n. 7 Una funzione continua da ${\bf R}$ in se con limiti all'infinito è uniformemente continua.

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ESERCIZIO n. 8 Al variare di $a, ~b\in {\bf R}$ si studi l'hölerianità di $x^a \sin (x^b )$ su $[1; +\infty [$.

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ESERCIZIO n. 9 Una funzione f uniformemente continua da ${\bf R}$ in se è a crescita lineare ( $f(x)\le A +B\vert x\vert$).

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