Elementi di Analisi Matematica II, Anno Accademico 2002-2003, Matematica

G. Albert, A. Briani, V.M. Tortorelli

V foglio di esercizi: V.M. Tortorelli

dal 29 aprile 2003, 30 aprile 2003

http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html $\longrightarrow$El. di An. Mat. I e II A.A. 2002/03

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ESERCIZIO n. 1 Si trovi il rettangolo con lati paralleli agli assi cartesiani, interamente contenuto in $\{ (x, y):~ x^2 \le y \le 1 ~\}$ di area massima.

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ESERCIZIO n. 2

a - Si provi $${ D^n (f\cdot g)=\sum_{k=0}^n {n\choose k} D^k f D^{n-k}g}.$$

b^* - Si determini una relazione di ricorrenza per i termini della successione numerica data dalle derivate successive calcolate in 0 della funzione $x\mapsto {\rm arsin} ~x$.

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ESERCIZIO n. 3 Sia f una funzione reale definita e continua in [x₀ ; x₀ +a[, $x_0\in {\bf R}$, a>0. Se f è derivabile in ]x₀ ; x₀ +a[ e $\exists\lim_{x\to x_0} f^\prime (x)=\lambda$ allora $\exists f^\prime (x_0 )=\lambda$.

Si mostri con un esempio che non è vero il viceversa.

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ESERCIZIO n. 4 Sia f derivabile in un intorno di $x_0\in {\bf R}$.

a - Se $\exists f^{\prime\prime} (x_0)$ allora $${\exists\lim_{h\to 0}\frac {f(x_0+h)+f(x_0-h)-2f(x_0)} {h^2} ~=~f^{\prime\prime} (x_0)}$$.

b - Si mostri che se vi è tale limite non è detto che vi sia la derivata seconda nel punto x₀.

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ESERCIZIO n. 5^* Si provi che le funzioni che sono derivate su tutto un intervallo hanno la proprietà del valore intermedio, ossia: se $g(x)= f^\prime (x)$, a<x<b allora per ogni $\eta \in ]\inf g , \sup g[$ esiste $\xi \in ]a, b[$ per cui $\eta =g(\xi )$.

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ESERCIZIO n. 6 Sia $${ f(x) =\cases{e^{-\frac 1{x^2}} & ~$x\not=0$\cr ~& \cr 0 &~$x=0$\cr}}$$.     a - Si provi che f è continua su ${\bf R}$.

b - Si provi che le derivate di f in ${\bf R}\setminus\{ 0\}$ sono del tipo funzione razionale moltiplicato f.

c - Si provi che f è derivabile infinite volte in x=0.

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ESERCIZIO n. 7

a^* - Sia $f:[a;b]\to {\bf R}$ continua, non costante, nulla agli estremi e derivabile in ]a;b[. Allora

$$\exists \xi\in]a;b[ : \vert f^\prime (\xi )\vert > \frac 4{(b-a)^2}\int_a^b \vert f(x)\vert \, dx$$

b - Se $g\in C^1 ([a;b])$, $g^\prime (0)=g^\prime (1) =g(0)=0 ,~ g(1)=1$, e $\forall x\in ]0;1[\exists g^{\prime\prime} (x),$ allora

$\exists \xi\in ]0;1[ ~\vert g^{\prime\prime} (\xi )\vert >4$.