Corso di Matematica per Scienze geologiche - anno 2003-04

Secondo compitino - 17 dicembre 2003 - Tema n.1

Esercizio 1 Determinare il comportamento della serie $${\sum_{n=1}^{\infty} \left( \cos \frac{1}{\sqrt{n}} -1 \right)}$$.


Esercizio 2 Per quali $x\in {\mathbb{R}}$ la serie $${ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n+2^n}}$$ è convergente?


Esercizio 3 Calcolare, se esiste, $${\lim_{x\to +\infty} \ln (3^{4/x}+1)}$$.


Esercizio 4 Quante soluzioni reali ha l'equazione $e^{67x}+x^{67}=0$?


Esercizio 5 Posto $f(x)=2^x +x^3$, verificare che $f$ è bigettiva su ${\mathbb{R}}$, con inversa derivabile, e scrivere $(f^{-1})'(1)$.


Esercizio 6 Stabilire se la funzione $${f(x)=\frac{\sqrt{1+x^2}}{x+3}}$$ ha un asintoto obliquo per $x\to -\infty$, oppure no.


Esercizio 7 Determinare, se esistono, i massimi e i minimi relativi della funzione $f(x)=e^{2\cos x - \vert x\vert}$.


Esercizio 8 Determinare $a,b\in {\mathbb{R}}$ in modo che la funzione

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \arctan x & \textrm{se } x\l... ...\cos \pi x + b \sin \pi x & \textrm{se } x>1 \end{array}\right.$$

sia derivabile con derivata continua su ${\mathbb{R}}$.


Esercizio 9 In quali intervalli di ${\mathbb{R}}$ la funzione $f(x)=\vert x^2-x-2\vert$ è crescente e convessa?


Esercizio 10 Calcolare l'integrale $${\int_{-\pi/6}^{\pi/3} \frac{\cos t -1}{\cos t +1} \, \sin t\, dt}$$.