Corso di Matematica per Scienze geologiche - anno 2003-04

Primo compitino - 6 novembre 2003 - Tema n.1

Esercizio 1 Determinare i numeri $x\in {\mathbb R}$ tali che

$$\left\{ \begin{array}{l} 3x-2 > -5x+ \frac{3}{2} \vspace{2mm}\\ 2x-\frac{1}{3} \ge 5x-4. \end{array}\right.$$

Esercizio 2 Trovare le soluzioni $x\in {\mathbb R}$ dell'equazione

|x²-1| - |x²-5| =3.

Esercizio 3 Determinare l'estremo superiore e l'estremo inferiore, stabilendo se si tratti di massimo o di minimo, dell'insieme

$$A = \left\{ \frac{n^2+3n+3}{n^3+1}: n\in {\mathbb N}\right\}.$$

Esercizio 4 Dimostrare che se $a\in ]0,1[$ allora, posto

$$x_0=a; \quad x_{n+1}=x_n-x_n^3 \ \ \forall n\in {\mathbb N},$$

risulta $x_n\in \, ]0,1[$ per ogni $n\in {\mathbb N}$.

Esercizio 5 La funzione

$$f(x)= - \frac{x^2}{x^2+1}\, , \qquad x\in {\mathbb R},$$

è iniettiva? Qual'è la sua immagine Y? Provare che la restrizione di f alla semiretta $[0,\infty[$ è iniettiva e scriverne l'inversa $f^{-1}:Y\to [0,\infty[$.

Esercizio 6 Verificare che

$$\frac{1}{4} < \frac{{2n \choose n}}{{2n+2 \choose n+1}} < \f... ...\left(1 + \frac{1}{n}\right) \qquad \forall n\in {\mathbb N}^+.$$

Esercizio 7 Determinare l'immagine della retta $r \subset {\mathbb R}^2$ di equazione 3x-y+1=0 rispetto alla rotazione di $\frac{\pi}{4}$ attorno all'origine.

Esercizio 8 Calcolare l'area del triangolo di vertici (1,1), (2,5) e (-1,4).

Esercizio 9 Determinare la retta $r\subset {\mathbb R}^3$ passante per (1,0,-1) e perpendicolare al piano $\pi$ di equazione 3x+2y+z=6.

Esercizio 10 Data l'iperbole di equazione x²-4y²=16, se ne trovino i fuochi e le eventuali intersezioni con gli assi.