Corso di Matematica per Scienze geologiche - anno 2003-04

Secondo compitino - 17 dicembre 2003 - Tema n.2

Esercizio 1 Determinare il comportamento della serie $${\sum_{n=1}^{\infty} \left( \cos \frac{1}{\sqrt{n}} -1 \right)^2}$$.


Esercizio 2 Per quali $x\in {\mathbb{R}}$ la serie $${ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3x)^n}{n}}$$ è convergente?


Esercizio 3 Calcolare, se esiste, $${\lim_{x\to -\infty} 10^{-x^2-2x}}$$.


Esercizio 4 Quante soluzioni reali ha l'equazione $e^{-99x}-x^{99}=0$?


Esercizio 5 Posto $f(x)=x^3 - 3^{-x}$, verificare che $f$ è bigettiva su ${\mathbb{R}}$, con inversa derivabile, e scrivere $(f^{-1})'(-1)$.


Esercizio 6 Stabilire se la funzione $${f(x)=\ln (e^x+\sin x)}$$ ha un asintoto obliquo per $x\to +\infty$, oppure no.


Esercizio 7 Determinare, se esistono, i massimi e i minimi relativi della funzione $f(x)=\ln (2\cos x + \vert x\vert +2)$.


Esercizio 8 Determinare $a,b\in {\mathbb{R}}$ in modo che la funzione

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \arctan x & \textrm{se } x\le -1 \\ \pi a + b e^{-x} & \textrm{se } x>-1 \end{array}\right.$$

sia derivabile con derivata continua su ${\mathbb{R}}$.


Esercizio 9 In quali intervalli di ${\mathbb{R}}$ la funzione $f(x)=\vert x^2+x-2\vert$ è decrescente e convessa?


Esercizio 10 Calcolare l'integrale $${\int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\cos t +1}{\cos t -1} \, \sin t\, dt}$$.