Corso di Matematica per Scienze geologiche - anno 2003-04

Primo compitino - 6 novembre 2003 - Tema n.2

Esercizio 1 Determinare i numeri $x\in {\mathbb R}$ tali che

$$\left\{ \begin{array}{l} x-2 \le 2x \vspace{2mm}\\ 2x < -\frac{1}{2}\, x - \frac{5}{2}\, . \end{array}\right.$$

Esercizio 2 Trovare le soluzioni $x\in {\mathbb R}$ dell'equazione

|x+1| - 2(|x|-3) =0.

Esercizio 3 Determinare l'estremo superiore e l'estremo inferiore, stabilendo se si tratti di massimo o di minimo, dell'insieme

$$A = \{x+y: \ x,y\in {\mathbb R},\ x^2+y^2<1\}.$$

Esercizio 4 Dimostrare che il numero d_n delle diagonali di un poligono regolare di n lati è

$$d_n = \frac{n(n-3)}{2} \, .$$

Esercizio 5 La funzione

$$f(x)= - \sqrt{x^2+1}, \qquad x\in {\mathbb R},$$

è iniettiva? Qual'è la sua immagine Y? Provare che la restrizione di f alla semiretta $[0,\infty[$ è iniettiva e scriverne l'inversa $f^{-1}:Y\to [0,\infty[$.

Esercizio 6 Verificare che

$$2^n < {2n \choose n} < 4^n \qquad \forall n\in {\mathbb N}^+,\ n\ge 2.$$

Esercizio 7 Determinare la simmetrica della retta $r \subset {\mathbb R}^2$ di equazione x-y+1=0 rispetto alla retta di equazione $x-\sqrt{3}y=0$.

Esercizio 8 Calcolare l'area del parallelogramma generato dai vettori OP e OQ, ove O=(0,0), P=(4,2) e Q=(-1,5).

Esercizio 9 Determinare il piano $\pi\subset {\mathbb R}^3$ passante per (10,1,-10) e perpendicolare alla retta di equazioni parametriche

$$x=2, \quad y=1+t, \quad z=2+2t, \qquad t\in {\mathbb R}.$$

Esercizio 10 Data l'ellisse di equazione 4x²+9y²=1, se ne trovino i fuochi e le intersezioni con gli assi.