Matematica, Anno Accademico 2003-2004, Scienze Geologiche

P. Acquistapace, V.M. Tortorelli

II foglio di esercizi: V.M. Tortorelli

dal 14 ottobre 2003 al 16 ottobre 2003

Programma e materiale relativo al corso essere reperito in rete selezionando nella Pagina del Dipartimento la voce Materiale Didattico (http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html) e quindi selezionando ALTRI CORSI DI LAUREA e Corso di laurea *****

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ESERCIZIO n. 1 a- Traslando il grafico di $x\mapsto x^2$ con uno spostamento di $(4,0)$ di quale funzione si ottiene il grafico?

b- Traslando il grafico di $x\mapsto x^3$ con uno spostamento di $(-1,0)$ di quale funzione si ottiene il grafico?

c- Traslando il grafico di $x\mapsto \vert x\vert$ con uno spostamento di $(-1,2)$ di quale funzione si ottiene il grafico?

d- Il simmetrico rispetto all'asse verticale del grafico di $x\mapsto (x-1)^2+ \sin (x-\sqrt{3})$ di che funzione è grafico?

e- Il simmetrico rispetto all'asse verticale del grafico di $x\mapsto x^3 -6x -\cos x$ di che funzione è grafico?

f- Il simmetrico del grafico di $x\mapsto (x-2)^3+1$ rispetto alla bisettrice degli assi di che funzione è grafico?

g- Che dire della stessa simmetria per il grafico di $x\mapsto x^2$?

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ESERCIZIO n. 2 Si disegnino in modo o approssimativo i grafici delle funzioni:

a- $x\mapsto \vert x\vert$, $x\mapsto x^2$, $x\mapsto x^3$ $x\mapsto x^5$, $x\mapsto x^4$, $x\mapsto \vert x\vert^7$;

b- $x\mapsto \sqrt{ x}$, $x\mapsto\sqrt[3]{ x}$, $x\mapsto\sqrt[4]{ \vert x\vert}$;

c- $x\mapsto \sqrt[15]{x+5} -3$, $x\mapsto -\sqrt{2-x}$, $x\mapsto \sqrt[3]{ 3x -3}$.

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ESERCIZIO n. 3 Mostrare con metodi elementari che il raggio del cerchio inscritto in un triangolo è dato dall'area del triangolo diviso metà della lunghezza del perimetro dello stesso.

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ESERCIZIO n. 4 Trovare le coordinate del baricentro (definito come punto di incontro delle mediane) di un triangolo conoscendo le coordinate dei suoi tre vertici.

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ESERCIZIO n. 5 Si scrivano le rette tangenti al cerchio $\{ (x,y)\in {\bf R}^2 :  (x-5)^2 +(y-3)^2 = 4\}$ e passanti per l'origine.

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ESERCIZIO n. 6 Trovare l'estermo superiore dei coefficienti angolari delle rette passanti per l'origine che intersecano la regione del piano $\{ (x,y): (3x-y)(x-\frac y2)=1\}$.

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FORMULARIO

$\sin^2\alpha + \cos^2 \alpha =1,$

$\sin (\alpha + \beta) =\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta,$ $\cos (\alpha + \beta) =\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta,$

Per $0 <\alpha < \frac{\pi}2$:   $\sin \alpha < \alpha$,   $\cos \alpha \le \frac{\sin \alpha}{\alpha} \le 1 ,$

$\sin \alpha \cos \beta = \frac{\sin (\alpha + \beta) + \sin(\alpha -\beta)}2, \sin \alpha \sin \beta = \frac{-\cos (\alpha + \beta) + \cos(\alpha -\beta)}2$,  $\cos \alpha \cos \beta = \frac{\cos (\alpha + \beta) + \cos(\alpha -\beta)}2,$

$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \left( \frac{\alpha + \beta}2 \right) \cos \... ...left( \frac{\alpha + \beta}2 \right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta}2 \right)$

$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \left( \frac{\alpha + \beta}2 \right) \sin ... ...eft( \frac{\alpha + \beta}2 \right) \sin \left( \frac{\alpha - \beta}2 \right)$

$\cos^2 \frac x2 =\frac {1+\cos x}2, \sin^2\frac x2 =\frac{1-\cos x}2$

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ $\arcsin x = \alpha , x \in [-1,1] \Leftrightarrow \sin \alpha = x \alpha \in [-\pi/2, \pi/2] ,$

$\arccos x = \alpha , x \in [-1,1] \Leftrightarrow \cos \alpha = x \alpha \in [0, \pi] ,$

$\arctan x = \alpha , x \in (-\infty,\infty) \Leftrightarrow \tan \alpha = x \alpha \in [-\pi/2, \pi/2] ,$

$\sin x = \sin x_0 \Leftrightarrow x = x_0 + 2k\pi , \pi - x_0 + 2k\pi, \cos x = \cos x_0 \Leftrightarrow x = \pm x_0 + 2k\pi ,$

$\tan x = \tan x_0 \Leftrightarrow x = x_0 + k\pi$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 7 Calcolare $\cos \frac{\pi}{12}$, $\sin \frac{5\pi}{12}$ ,  $\sin\frac{7\pi}8$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 8 Verificare le seguenti relazioni ed interpretarle geometricamente:

$\cos (x+\pi )= \cos (x-\pi)= -\cos x ,   \sin (x+\pi )= \sin (x-\pi)= -\sin x$;

$\cos (x+\frac{\pi}2 )= -\sin x ,  \sin (x+\frac{\pi}2 )=\cos x,  \vert \sin x... ...ert x\vert \le \vert \tan x \vert  ( {\rm se}  \vert x \vert \le \frac{\pi}2$

$\vert \cos x -\cos y\vert \le \vert x - y\vert,  \vert \sin x -\sin y\vert \le \vert x - y\vert$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 9 Trovare l'intersezione $A \bigcap B$ dove

$A = \{ x \in {\bf R} : x^4 + \vert x-3\vert = \sin \left(x \frac{\pi}2 \right) \}$ e $B = \{ x \in {\bf R} :\vert x\vert \leq 2 \}.$

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 10 Risolvere le seguenti equazioni: $3\sin x -\sqrt{3}\cos x=0$, $\sin x +3\vert \sin x\vert =2$, $-\cos^6 x + \sin^3 x \cos^3 x + \sin^6 x =0$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 11 Trovare tutti gli $x$ per cui rispettivamente: $\sin x < \frac 12$, $4\sin x\tan x> \frac 3{\cos x}$, $\frac{1+ \cos^2 x}{1+\sin x} > 2.$

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 12 Calcolare l'estremo superiore ed inferiore dell'insieme:

$\{ \sin \frac {n-1}{2n} \pi :  n\in {\bf N} \}$.

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ESERCIZIO n. 13 Disegnare i grafici delle funzioni: $x\mapsto -\sin x$, $x\mapsto \sin 3x$, $x\mapsto \cos \frac x2$, $x\mapsto 3\sin x$, $x\mapsto \tan (x -\frac{\pi}2 )$, $x\mapsto \vert \sin x\vert$,  $x\mapsto \sin^2 x$.

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ESERCIZIO n. 14 Dire se le seguenti funzioni sono periodiche ed indicarne il periodo: $x\mapsto \sin (\pi^2 -\pi x)$, $x\mapsto \vert \sin x\vert + \vert \cos x \vert$, $x\mapsto \sin (x^2)$, $x\mapsto 3\sin^2 x + \sin \frac x2$, $x\mapsto \sin^5 x +3\cos^7 2x + 1$.

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ESERCIZIO n. 15 Mostrare che $\frac 12 + \cos x = \frac{\sin \frac 32 x}{2 \sin (x/2)}.$

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ESERCIZIO n. 16 Provare le seguenti formule:   $\sin x = \frac{2\tan\frac{x}2}{1+\tan^2 \frac{x}2},  \cos x = \frac{1-\tan^2 \frac{x}2}{1+\tan^2 \frac{x}2}$,