Matematica, Anno Accademico 2003-2004, Scienze Geologiche

V.M. Tortorelli

IV foglio di esercizi: P.Acquistapace, V.M. Tortorelli

dal 28 ottobre 2003 al 30 ottobre 2003

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ESERCIZIO n. 1 Scrivere in fissate coordinate cartesiane (e come funzione delle coordinate $(x,y)$ del punto da trasformare) le seguenti trasformazioni affini dal piano in se:

- simmetria rispetto al punto $(1,2)$

- simmetria rispetto alla generica retta passante per l'origine

- simmetria rispetto alla retta passante per $(2,3)$ e parallela a $(3,4)$

- rotazione di un ottavo di `angolo giro' attorno al punto $(4,5)$

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ESERCIZIO n. 2 Scrivere in fissate coordinate cartesiane (e come funzione delle coordinate $(x,y)$ del punto da trasformare) le seguenti trasformazioni affini dal piano in se:

- la dilatazione di centro $(1,1)$ e fattore di scala $\frac 12$;

- la dilatazione anisotropa di centro $(1,1)$ e fattore di scala $\frac 12$ nella direzione $(1,2)$ e fattore $2$ nella direzione $(2,1)$.

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ESERCIZIO n. 3 A che trasformazioni del piano corrsipondono le seguenti funzioni

- $(x,y)\mapsto (-y ,x)$

- $(x,y)\mapsto (\frac 35 x+ \frac 45 y +1,\frac 45 x + \frac 35 y-1)$

- $(x,y)\mapsto (x-y ,x+ y)$

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ESERCIZIO n. 4 Date due rette nel piano che trasformazione si ottiene facendo prima la simmetria rispetto ad una di esse e quindi la simmetria rispetto la seconda?

- Scambiando l'ordine di queste simmetrie quando si ottiene lo stesso risultato?

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ESERCIZIO n. 5 Riconoscere che tipo di coniche definiscono rispettivamente i seguenti luoghi di zeri:

$x^2+y^2 +2xy =0$, $xy=1$, $(x-y)^2=(x+y)^2$, $x^2 +y^2 -6 xy -x +4=0$, $xy -23y +8y -1=0$, $3x^2 +2y^2 -3xy +x+y -100=0$.

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ESERCIZIO n. 6 Verificare che:

- un ellisse è il luogo dei punti con somma delle distanze da due punti fissi costante;

- un iperbole è il luogo dei punti con differenza delle distanze da due punti fissi costante;

- una parabola è il luogo dei punti equidistanti da una retta fissa e da un punto fisso.

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Osservazione: si può verificare dando la nozione di tangenza che se una retta interseca una conica non degenere in un sol punto è ad essa tangente in quel punto.

Definizione: Si dice cammino di riflessione rispetto ad una retta per un suo punto l'unione di due semirette (lati) con origine nel punto e simmetriche rispetto all'asse perpendicolare alla retta nel punto.

- Un cammino di riflessione rispetto ad un insieme in un suo punto è un cammino di riflessione rispetto all'eventuale retta tangente all'insieme dato in questo suo punto.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 7 Verificare che:

- i cammini di riflessione rispetto ad una parabola con un lato parallelo all'asse della stessa hanno l'altro che passa per il fuoco della parabola;

- i cammini di riflessione rispetto ad un'elisse che hanno un lato che passa per un fuoco hanno il secondo lato che passa per l'altro fuoco;

- i cammini di riflessione rispetto ad un iperbole che hanno un lato passante per un fuoco hanno prolungamento del secondo lato passante per l'altro fuoco.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 8 Una trasformazione che manda ogni retta in un'altra retta parallela alla prima e non lascia nessun punto fisso del piano è una traslazione.

- Una trasformazione che manda ogni retta in un'altra retta parallela alla prima e lascia un punto del piano fisso è una dilatazione rispetto adun punto.

-Dati due segmenti paralleli quante sono le traslazioni e le dilatazioni che trasformano uno nell'altro?

-Dati quattro punti $a\not= b$, $\alpha\not= \beta$ mostrare che vi è un'unica traslazione o dilatazione che trasforma $a$ in $\alpha$ e $b$ in $\beta$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 9 Quali sono tutte e sole le trasformazioni lineari che trasformano $x^2+y^2=1$ in se?

-Quali sono tutte e sole le trasformazioni lineari che trasformano $\vert x\vert +\vert y\vert =1$ in se?

-Quali sono tutte e sole le trasformazioni lineari che trasformano $x^2+4y^2 +4xy +x+y+1=0$ in se?

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 10$^{\bf **}$ Si identifichi il piano con ${\bf R}^2$. Le trasformazioni $T$ bigettive del piano che mandano rette in rette sono tutte e sole le trasformazioni affini ( $T(x,y) -T(0,0)$ è lineare) e bigettive.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 11$^{\bf **}$ Le trasformazioni del piano che conservano le distanze sono affini e la loro parte lineare è data da matrici con colonne ortogonali di norma $1$, che rappresentano rotazioni e riflessioni.

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ESERCIZIO n. 12 Si trovi la distanza del punto $(1,1,1)$ dal piano $x+y+z=0$.

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ESERCIZIO n. 13 Quali regioni dello spazio vengono trasformate in se stesse solamente da tutte rotazioni rispetto ad una retta passante per l'origine?

- Quali regioni dello spazione vengono trasformate in se stesse da tutte le simmetrie rispetto ai piani coordinati?