Matematica, Anno Accademico 2003-2004, Scienze Geologiche

V.M. Tortorelli

VI foglio di esercizi: P.Acquistapace, V.M. Tortorelli

dal 18 novembre 2003 al 27 novembre 2003

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------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 1 Usando la definizione di limite si mostri che quando $n\to \infty$ si ha $\frac 1n \to 0,~ n^4\to \infty,~ \log n\to \infty$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 2 Si calcolino per $n\to \infty$ i limiti delle seguenti successioni al variare dei parametri $a\in{\bf R}$: $\frac {2^n}{n^3},~ \frac {\log n}{\sqrt{n}},~ \frac {n!}{a^n}, ~ \frac {n!}{n^a},~ \frac {n!}{n^n}, \frac {n!}{2^{n^2}}$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 3 ${\bf *}$ a- Si provi che $^n\!\sqrt{n} \le \frac 2{\sqrt n} + 1 -\frac 2n$ (diseguaglianza tra media aritmetica e media geometrica).

b- Si provi che per $n\to \infty$ si ha $^n\!\sqrt{n}\to 1$.

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ESERCIZIO n. 4 a- ${\bf *}$ Si provi che se $b_n\to a$ allora la media geometrica e la media aritmetica dei primi $n$ termini tendono ad $a$ per $n\to \infty$.

b- Si provi che se $^n\!\sqrt{a_n}\to a\geq 0$ allora $a_n$ tende a $0$ se $a<1$ a $+\infty$ se $a>1$.

c- Si mostri con diversi esempi che se $a=1$ la successione $a_n$ può: convergere a $0$, a $+\infty$, ad un numero diverso da $0$, o non convergere affatto.

d- Si provi che se $\frac {a_{n+1}}{a_n}\to a$ allora $^n\!\sqrt{a_n}\to a$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 5 Calcolare per $n\to \infty$ i limiti di: ${2n \choose n},~ \left(\frac {n^n (2n)!}{4^n (n-1)! n!(n+1)!}\right)^{\frac1n},~ \left( \frac {n!}{n^n}\right)^{\frac 1n}$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 6 Calcolare per $n\to \infty$ i limiti di:

$^n\!\sqrt{\log n} ,~ ^n\!\sqrt{ 2^n +3^n},~ ^{n^3}\!\sqrt{ 2^n +3^n}, ~^n\!\sqrt{ 2^n + (-1)^{n+1}}, ~^n\!\sqrt{(-2)^n +3^n},~ ^n\!\sqrt{n!}$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 7 Calcolare per $n\to \infty$ i limiti di:

$\sqrt{n+1} -\sqrt{n}, 3^{n+1} -3^{\sqrt {n^2 +1}}, ~ ^3\!\sqrt{n+2} ^3\!\sqrt... ...n+1)}{\log n}, ~\frac {2^n -10 n^{100}+\log n} {20 n + 2^{\sqrt{n}}- \log n^10}$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 8 Calcolare per $n\to \infty$ i limiti di: $\frac{\sin 2^n}{\sqrt{n}}, ~ \left(1 +\frac 1n\right)^{n}\left(1 -\frac {1}{\sqrt{n}}\right)^{n}$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 9 Calcolare per $n\to \infty$ i limiti di:

$n\sin\frac 1n ,~ n^2(1-\cos\frac 1n ), ~n(e^{\frac 1n} -1),~ n\tan\frac 1n ,~ ... ...2+n}\sin\tan\frac 1n ,~ n^2(1-\cos^2\frac 1n ),~ \left(\cos \frac 1n\right)^n,$

$n\log (1+\frac 1n ),~ \left( 1+\frac 1n\right)^n, \frac{ {\rm arsin}\frac 1n \cdot \sin \frac 1n}{\cos^3 \frac 1n -1}$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 10 Studiare la convergenza delle serie: $\sum \sin \frac 1n,~ \sum \cos \frac 1n -1,~ \sum \frac{\log n}{n^3}, ~\sum \frac 1{\left(\log n\right)^{\log n}}$

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 11 Studiare la convergenza delle serie:

$\sum \frac {n^{n+1} n! (n+2)!}{(3n-1)!}, ~\sum \frac {3n\cdot n^{n-3} n!(n-2)!} {(3n+1)!}, ~ \sum \frac{n^n n!(2n -2)!}{(4n+1)!}, ~ \sum \frac {n^n}{(n!)^2}$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 12 Studiare la convergenza delle serie: $\sum \frac {(-1)^n}{40^{\frac 1n}}, ~\sum \frac {(-1)^n}{\log n}, ~\sum 2^{-\log n}\cos\pi n, ~$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 13 ${\bf *}$ Si provi che $\sum \sin n$ non converge.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 14 a- Si provi $\frac {n!}{ (n+k)!}= \frac 1{k-1}\left( \frac {n!}{ (n+k-1 )!} -\frac {(n+1)!}{ (n+k )!}\right)$ per $n\geq 1, k\geq 2$.

b- Si provi che $\sum_n \frac {n!}{ (n+k)!} = \frac 1{(k-1)(k-1)!}$, per $k\geq2$.

c- $\sum_n { n+k\choose n}^{-1} = 1+\frac 1{k-1}, ~k\geq 2$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 15 Per quali $x\in {\bf R}$ convergono rispettivamente le serie:

$\sum (-2)^n e^{-nx}, \sum \frac n{n+1}(x-1)^n, ~ \sum \frac {(n!)^3 x^n}{n (3n)!}, \sum \frac {n}{x^2 +n^x}$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 16 Si considerino le successioni $a_0 =0, ~a_{n+1}= a_n^2 +\frac 14$, e $b_0=\alpha>0,~ b_{n+1}=\frac {b_n}{b_n +1}$. Si provi che sono monotone, se ne calcolino i limiti $a$ e $b$ e si studino le serie $\sum (a-a_n)^2$, $\sum (b-b_n)$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 17 Si calcolino i seguenti limiti di funzione:

$\frac {\sin x}x~ (x\to 0),~ \frac {1-\cos x}{x^2} ~ (x\to 0),~ \frac {\sin x}{1+\cos x}~ (x\to \pi), \frac {e^x -1}x ~ (x\to 0), ~x\log x^2 ~ (x\to 0),~$

$\frac {\sqrt {1-x+x^2}-1}{x}~ (x\to 0),~ \frac {\sqrt {1+ x+x^2}-1}{x}~ (x\to 0),~\frac {1-\cos 3x}{x^2} ~ (x\to 0),~ \frac {\log (1+x^2)}{ 1-\cos x}~ (x\to 0),$

$(x-1)^{-1}{\rm arsin} [(x-1)(x+2)^{-1}]~ (x\to 1),~ \frac {\cos\pi -\cos (x+\pi)}{x^2+x^3}~ (x\to 0), ~\frac {\log^2(-x+1)}{\sin^2x }~ (x\to 0)$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 18 Si calcolino i limiti delle seguenti funzioni:

$\frac {\log x}{ \sqrt{x}} ~ (x\to +\infty),~ \frac {2^x+ \log^2 x} { \sqrt{1+ 4... ...x+1}} - e^{\sqrt x} ~ (x\to +\infty), ~ \frac {\sin x}{\log x} ~ (x\to +\infty)$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 19 ${\bf *}$ Si calcoli usando la definizione $\lim_{x\to\infty}\sum_n \frac 1{n^2+x^2}$.

------------------------------------------------------------- Definizione - Una funzione $f$ si dice Lipschitziana se esiste una costante $L$ per cui

$\vert f(x) - f(y)\vert \le L\vert x-y\vert$. Ovvero i rapporti incrementali sono limitati.

- Dato $a\in]0;1[$, una funzione $f$ si dice $a$-Hölderiana se esiste una costante $C$ per cui

$\vert f(x) - f(y)\vert \le C\vert x-y\vert^a$.

- Una funzione si dice uniformemente continua se $\lim_{\delta\to 0} \sup_{\vert x-y\vert\le \delta}\vert f(x)-f(y)\vert =0$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 21 ${\bf *}$ a- Una funzione è uniformemente continua se e solo se per ogni coppia di successioni $x_n$, $y_n$ se $x_n -y_n\to 0$ allora anche $\vert f(x_n) -f(y_n)\vert\to 0$. (Si noti che non si richiede che le successioni convergano)

b- Teorema Una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato è uniformemente cont.

c- Una funzione continua che ha limite all'infinito è uniformemente continua.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 22 a - Le funzioni Hölderiane e Lipschitziane sono uniformemente continue.

b- Il grafico di una funzione Lipschitziana si trova sempre compreso tra due rette di pendenza $L$ e $-L$ centrate in un qualsiasi punto del grafico stesso.

c- Si mostri che $x\mapsto \sqrt \vert x\vert$ è $\frac12$-Hölderiana ma non Lipschitziana.

d- Si mostri che $x\mapsto x+\sin x$ è Lipschitziana, ma $x\mapsto \sin x^2$ non lo è.

e- Si trovino funzioni Lipschitziane ma non Hölderiane. Su quali intervalli una funzione Lipschitziana è anche Hölderiana?

f-${\bf *}$ Si trovi una funzione uniformemente continua ma non Hölderiana.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 23 Si provi che la funzione $x\mapsto \sum_n \frac 1{n^2+x^2}$ ha massimo su ${\bf R}$ ma non ha minimo.