Matematica, Anno Accademico 2003-2004, Scienze Geologiche

V.M. Tortorelli

VII foglio di esercizi: V.M. Tortorelli

dal 2 dicembre 2003 al 4 dicembre 2003

Programma e materiale relativo al corso essere reperito in rete selezionando nella Pagina del Dipartimento la voce Materiale Didattico (http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html) e quindi selezionando ALTRI CORSI DI LAUREA e Corso di laurea *****

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 1 Un punto si muove su una retta in modo che la distanza dal punto iniziale è proporzionale al quadrato del tempo percorso. In due minuti percorre dodici metri. Si trovi la velocità media: a- nei primi cinque minuti, b- tra il quarto minuto e il settimo.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 2 a- Calcolare le derivate delle seguenti funzioni

$\sin (100\cdot x),~ e^{x^{100}},~ \log \frac {x^2+1}{x^2+x+1},~ \tan x^2 + \tan^2 x,~\frac {x^2+x-1}{x^3+1}, ~ ^3\!\sqrt\frac 1{1=x^2}, ~ \sin^2\cos 3x^3,$

$\frac {\rm arsin~x}{\rm arcos ~x},~ x^x ,~ (x\log x)^{\sin \sqrt x}, ~\log_x (2^x-x^2)$

b- Calcolare $f^\prime (x^2)$ se $f(x)=x^3$, e se $g(x)=f(x^2)$ calcolare $g^\prime (x)$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 3 a- Si trovi la tangente nel punto $(1,1)$ dell'insieme di punti del piano definito da $x^7+y^7 -2=0$

b- Si trovino le tangenti nel punto $(0,0)$ dell'insieme del piano definito da $(x^2+y^2)^2=2(x^2-y^2)$.

c- Si trovi l'angolo di incidenza in $(1,1)$ tra le due curve $y=x$, $y=\frac {\sqrt 3} 2 x^2$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 4 a- Si provino le relazioni ${\rm arsin}~ x+{\rm arcos}~ x= \frac {\pi}2$, $\vert {\rm artan}x +{\rm artan}\frac 1x\vert= \frac {\pi}2$.

b- Si provi che per $x\geq 0$ si ha ${\rm artan}~x \geq \frac x{1+x}$, $2x{\rm artan}~ x \geq \log (1+x^2)$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 5 Si studino i grafici delle seguenti funzioni

$\vert x^3 -1\vert +3,~ \vert \vert x\vert -3\vert +1,~ x\vert x^2 -1\vert,~ (x... ...), ~\frac {1+3e^x}{\sqrt{4 +5e^{2x}}},~{\bf (*)}~{\rm arsin} \frac {2x}{1+x^2}$. ------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 6 a- Si studi la derivabilità della funzione definita da $x\sin \frac 1x$ se $x\not=0$, e nulla per $x=0$.

b- Si studi la derivabilità della funzione definita da $x^2\sin \frac 1x$ se $x\not=0$, e nulla per $x=0$.

* c- Sia $f(x)=\frac x2 +x^2\sin \frac 1x$ se $x\not=0$, $f(0)=0$. Si provi che esiste $f^\prime (0)$ ed è strettamente positiva, ma la funzione non è crescente in nessun intervallo contenente $0$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 7 a- Tra i triangoli rettangoli di ipotenusa di lunghezza assegnata quali hanno area massima?

b- Si trovi il rettangolo con lati paralleli agli assi cartesiani, interamente contenuto in

$\{ (x, y):~ x^2 \le y \le 1 ~\}$ di area massima.

c- Tra i prismi regolari a base triangolare di volume assegnato $V$ quali rendono minima l'area superficiale?

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 8 Si calcolino se esistono i seguenti limiti:

$\frac{{\rm arsin}~ x -x}{x-{\rm artan ~}x} ~x\to 0,~ \frac{\sqrt 2- \sin x - \... ...~ (\tan x)(\log \sin x) ~x\to 0,~ \frac 1 {x^2} - \frac 1{\tan^2 x} ~ x\to 0,~$

$\frac{\log (1+x) -\tan x}{x\log(1+x)}~x\to 0,~\frac{ \log (1+2e^x )}{\sqrt{ 1 +x+x^2}} ~x\to +\infty ,~ \frac {e^{\sqrt{\log x}}}{\sqrt x} ~ x\to +\infty,$

$\left(\frac {\pi}2-{\rm artan~}x\right)\tan \left( \frac{\pi}2 - \frac 1x\right) ~ x\to +\infty$

-------------------------------------------------------------

ESERCIZIO n. 9 Sia $${ f(x) =\cases{e^{-\frac 1{x^2}} & ~$x\not=0$\cr ~& \cr 0 &~$x=0$\cr}}$$.    a - Si provi che $f$ è continua su ${\bf R}$.

b - Si provi che le derivate di $f$ in ${\bf R}\setminus\{ 0\}$ sono del tipo funzione razionale moltiplicato $f$.

c - Si provi che $f$ è derivabile infinite volte in $x=0$.

-------------------------------------------------------------

ESERCIZIO n. 10 a- Si provi che la derivata del prodotto di $n$ funzioni è la somma dei prodotti delle derivate di ognuna delle funzioni per le rimanenti funzioni:

$D(f_1 \cdot \dots f_n) = Df_1 \cdot f_2 \dots f_n +~ f_1 \cdot Df_2 \cdot \dots f_n + \dots$

a - Si provi $${ D^n (f\cdot g)=\sum_{k=0}^n {n\choose k} D^k f D^{n-k}g}.$$

b- Si supponga che la funzione $g$ abbia $n$ derivate nel punto $a$ e che la funzione $f$ abbia $n$ derivate in $g(a)$. Si provi che la funzione composta $x\mapsto f(g(x))$ ha $n$ derivate nel punto $a$.

-------------------------------------------------------------

ESERCIZIO n. 11 a- Sapendo che $f$ è una funzione con la derivata prima e seconda continue e sapendo che $\left( 1+\frac {f(x)}x\right)^{\frac 1x}\to e^3$ quando $x\to 0$ si calcolino $f(0)$, $f^\prime (0)$, $f^{\prime\prime} (0)$.

* b- Si provi che se $g=f^\prime$ su un intervallo $[a;b]$ allora $g$ assume tutti valori compresi tra il suo estremo superiore e il suo estremo inferiore sull'intervallo $[a;b]$. In particolare la funzione $g$ non potrà avere discontinuità di tipo ``salto''. (Si consideri un'opportuna funzione che abbia come valori i coefficienti angolari delle corde sul grafico di $f$ ed un estremo nei punti $(a, f(a))$ nella prima metà dell'intervallo $[a,b]$, ed un estremo in $(b, f(b))$ nella seconda parte).

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 12 a- Si disegni la curva $2y^2-x(x-1)^2=0$.

b- Si disegni a curva $(x^2+y^2)^2=2(x^2-y^2)$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 13 Sia $f(x)= x^7 +x+1$. Soprovi che la funzione è bigettiva da ${\bf R}$ in se. Detta $g$ la sua inversa si calcoli $\lim_{y\to +\infty} g\left(\frac {8y}{y+4}\right)$.

-------------------------------------------------------------

ESERCIZIO n. 14 a- Sia $f(x)=x +\log x$. Si provi che è bigettiva da $[0; +\infty[$ in se.

b- Detta $g$ l'inversa di $f$ si provi che $\frac {\log g(a)}{g(a)}\to 0$ quando $a\to +\infty$.

* c- si determini esplicitamente una funzione $h$ per cui $g(a)- h(a)\to 0$ quando $a\to +\infty$. (Si provi $\log (1+ \frac{\log g(a)}{g(a)}) = \log a +g(a) -a$).

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 15 Si scriva $\sin^2 x$ come differenza di due funzioni convesse.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 16 Si consideri l'equazione $f(x)= 2x{\rm artan}~ x=1$. Si provi che ha una sola soluzione positiva $\alpha$. Si provi che $\alpha\le 1$. Si provi che $\frac 2{\pi}\le \alpha$. Usando la convessità di $f$ si provi inoltre che $\alpha\le \frac 4{2+\pi}$.

------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 17 Si mostri che le uniche funzioni $f$ per cui $f^\prime (x)= f(x)$ sono le funzioni $x\mapsto \alpha e^x$.

-------------------------------------------------------------

ESERCIZIO n. 18

-------------------------------------------------------------

ESERCIZIO n. 19

-------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------

ESERCIZIO n. 21

-------------------------------------------------------------

ESERCIZIO n. 22

-------------------------------------------------------------

ESERCIZIO n. 23