Teoremi ed esercizi di Analisi Matematica II
Elementi di topologia
Lo spazio euclideo.
Prodotto scalare e disuguaglianza di Cauchy-Schwartz.
Distanza euclidea e disuguaglianza triangolare.
Convergenza di successioni e successioni di Cauchy.
Funzioni continue. Composizione di funzioni continue.
Insiemi aperti e insiemi chiusi.
Chiusura, parte interna e frontiera di un insieme.
Insiemi compatti.
Funzioni continue su insiemi compatti.
Teorema di Weierstrass.
Teorema di Cantor.
Insiemi connessi per archi.
Teorema del valore intermedio.
Limiti di funzioni di più variabili
Limiti di funzioni di due e più variabili.
Limiti direzionali. Calcolo di limiti in coordinate polari.
Limsup e liminf di funzioni di due variabili. Calcolo di limsup e liminf in coordinate polari.
o-piccolo e O-grande per funzioni di più variabili. o-piccolo e O-grande in coordinate polari.
Sviluppi di Taylor di funzioni di due variabili.
Limiti, limsup e liminf all'infinito.
Calcolo differenziale e studio di funzioni di più variabili a valori reali
Funzioni derivabili e derivate parziali. Gradiente.
Funzioni differenziabili.
Teorema del differenziale.
Derivabilità lungo cammini. Derivate direzionali.
Derivate parziali di ordine superiore.
Teorema di Schwartz.
Matrice Hessiana.
Formula di Taylor al secondo ordine.
Punti critici.
Massimi e minimi relativi e assoluti.
Punti di sella.
Condizioni necessarie e sufficienti.
Matrici semidefinite positive, semidefinite negative, definite positive, definite negative, indefinite.
Metodi per determinare se una matrice è definita (o semidefinita) positiva/negativa, o indefinita.
Massimi e minimi assoluti su insiemi illimitati.
Massimi e minimi locali sul bordo di un insieme regolare.
Teorema di Dini (detto anche della funzione implicita).
Moltiplicatori di Lagrange.
Massimi e minimi vincolati.
Funzioni differenziabili a valori vettoriali. Differenziale e matrice jacobiana.
Il differenziale di una funzione composta.
Diffeomorfismi.
Teorema della funzione inversa in dimensione due.
Funzioni Lipschitziane. Teorema del punto fisso.
Teorema della funzione inversa e teorema della funzione implicita.
Equazioni differenziali ordinarie
Problema di Cauchy. Teorema di Cauchy-Lipschitz.
Unicità delle soluzioni.
Intervallo massimale di esistenza.
Funzione esponenziale.
Seno, coseno e pi greco. Sistemi di equazioni differenziali in coordinate polari.
Soluzioni periodiche. Teoremi Lyapunov.
Forme differenziali
Applicazioni multilineari alternanti.
Forme differenziali.
Forme chiuse e forme esatte.
Integrazione di 1-forme differenziali su curve.
Integrazione di 1-forme esatte su curve.
Le 1-forme chiuse su rettangoli aperti sono esatte.
Le 1-forme chiuse su aperti stellati sono esatte.
Esempio di una 1-forma chiusa ma non esatta.
Forme differenziali chiuse di grado superiore.
Forme differenziali e diffeomorfismi.
Integrazione
Integrale di Riemann su un dominio rettangolare.
Partizioni e somme di Riemann superiore e inferiore.
Integrale di Riemann superiore e inferiore.
Integrabilità delle funzioni continue su domini rettangolari.
Insiemi misurabili.
Integrale di una funzione su un insieme limitato.
Domini normali.
Integrabilità di una funzione continua su un dominio normale.
Teorema di Fubini.
Formule di Gauss-Green su domini normali.
Teorema della divergenza su domini normali.
Formula di Stokes su domini normali.
Cambiamento delle variabili in dimensione due.
Integrazione in coordinate polari nel piano.
Integrazione su superfici parametriche.
Formula di Stokes per le superfici.
Integrazione di funzioni su superfici.
Teorema del rotore.
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