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\def\ds{\displaystyle}
\def\eps{{\varepsilon}}
\def\N{\mathbb{N}}
\def\O{\Omega}
\def\om{\omega}
\def\R{\mathbb{R}}
\def\ora{\overrightarrow}
\def\vf{\varphi}


\numberwithin{equation}{equation}
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{teo}{Teorema}[]
\newtheorem{cor}[teo]{Corollario}
\newtheorem{lemma}[teo]{Lemma}
\newtheorem{prop}[teo]{Proposizione}
\newtheorem{deff}[teo]{Definizione}
\newtheorem{ex}[teo]{Esercizio}
\newtheorem{oss}[teo]{Osservazione}
\newtheorem{exam}[teo]{Esempio}


\author{Bozhidar Velichkov}


\title{Mathématiques outils pour les sciences et l'ingénierie 1. Cahier d'exercices }

%\author{Dario Mazzoleni, Susanna Terracini, Bozhidar Velichkov}


%\address {Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK), Universit\'e Joseph Fourier
%\newline \indent
%Tour IRMA, BP 53, 51 rue des Math\'ematiques, 38041 Grenoble Cedex 9 - FRANCE}

%\email{bozhidar.velichkov@imag.fr}


\begin{document}






\noindent {\large Teoremi ed esercizi di Analisi 2} \quad\quad \qquad\qquad\qquad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad{\tt www.velichkov.it} 

\vspace{-0.3cm}
\noindent \hrulefill  



\begin{center}
	\bf \Large Elementi di topologia in $\R^n$
\end{center}

\noindent \hrulefill

%\begin{center}
%	\bf \large Polinomio di Taylor 
%\end{center}
%
\begin{center}
	{\sc\large Lo spazio euclideo $\R^n$}
\end{center}


\bigskip

Useremo la notazione seguente :
\begin{itemize}
\item $\R^n$ è lo spazio euclideo di dimensione $n$:
$$\R^n=\Big\{(x_1,x_2,x_3,\dots,x_n)\ :\ x_k\in \R\quad\text{per ogni}\quad k=1,\dots,n\Big\}.$$
\item $\mathbb Q^n$ è l'insieme dei punti con coordiante razionali in $\R^n$
$$\mathbb Q^n=\Big\{(q_1,q_2,q_3,\dots,q_n)\ :\ q_k\in \mathbb Q\quad\text{per ogni}\quad k=1,\dots,n\Big\}.$$
\item Se $x$ e $y$ sono due punti di $\R^n$ con coordinate 
$$x=(x_1,x_2,\dots,x_n)\qquad\text{e}\qquad y=(y_1,y_2,\dots,y_n),$$
allora $x+y$ e $x-y$ sono i punti con coordinate 
$$x+y=(x_1+y_1,x_2+y_2,\dots,x_n+y_n)\qquad\text{e}\qquad x-y=(x_1-y_1,x_2-y_2,\dots,x_n-y_n).$$
\item Se $x=(x_1,x_2,\dots,x_n)\in\R^n$, allora definiamo la norma Euclidea $|x|$ come 
$$|x|:=\Big(x_1^2+x_2^2+x_3^2+\dots +x_n^2\Big)^{\sfrac12}.$$ 
\item La funzione $d:\R^n\times\R^n\to\R$, definita come 
$$d(x,y)=|x-y|,$$
è una distanza su $\R^n$, ossia valogono le proprietà seguenti:
\begin{enumerate}[\quad (1)]
\item Per ogni $x,y\in \R^n$, si ha che $|x-y|\ge 0$. Inoltre, $|x-y|=0$ se e solo se $x=y$.
\item Per ogni $x,y,z\in \R^n$, vale la disuguaglianza triangolare 
$$|x-y|+|y-z|\ge |x-z|.$$
\end{enumerate}	
\item Per ogni $x\in \R^n$ ed ogni $r>0$, indichiamo con $B_r(x)$ la palla centrata in $x$ di raggio $r$.
$$B_r(x):=\Big\{y\in\R^n\ :\ |x-y|<r\Big\}.$$
\item Diciamo che la successione $(x_k)_{k\in\N}$ converge a $x_\infty\in\R^n$, se 
$$\lim_{n\to\infty}|x_n-x_\infty|=0,$$
ossia se per ogni $\eps>0$ esiste $N\in\N$ tale che
$$|x_k-x_\infty|<\eps\quad\text{per ogni}\quad k\ge N.$$ 
\end{itemize}

\begin{prop}
L'insieme $\mathbb Q^n$ è denso in $\R^n$ ossia per ogni $x\in\R^n$ ed ogni $\eps>0$ esiste un punto con coordinate razionali $q\in \mathbb Q^n$ tale che $|x-q|<\eps$.	
\end{prop}	

\begin{prop}
Se $x_k\in \R^n$ è una successione che converge a $x_\infty\in\R^n$, allora 
$$\lim_{k\to\infty}|x_k|=|x_\infty|.$$	
\end{prop}	
\newpage

\begin{center}
	{\sc\large La disuguaglianza triangolare in $\R^n$}
\end{center}
\vspace{0.2cm}
\subsection*{Le due nozioni di prodotto in $\R^n$.}
Per ogni $x=(x_1,x_2,\dots,x_n)\in\R^n$ e per ogni numero reale $t\in\R$, definiamo il prodotto $tx\in\R^n$  del vettore $x$ con il numero reale $t$ come  
$$tx=(tx_1,tx_2,\dots,tx_n).$$
Inoltre, per ogni 
$$x=(x_1,x_2,\dots,x_n)\in\R^n\qquad\text{e}\qquad y=(y_1,y_2,\dots,y_n)\in\R^n,$$
definiamo il prodotto scalare tra $x$ e $y$ come 
$$x\cdot y:=\sum_{k=1}^nx_ky_k.$$
\begin{prop}[Proprietà del prodotto scalare]$ $
\begin{enumerate}[(i)]
\item per ogni $x=(x_1,\dots,x_n)\in\R^n$ e $y=(y_1,\dots,y_n)\in\R^n$ si ha 
$$x\cdot y=y\cdot x;$$
\item per ogni $x,y\in\R^n$ e per ogni $t\in\R$ si ha che
$$(tx)\cdot y=x\cdot (ty)=t(x\cdot y);$$
\item per ogni $x=(x_1,\dots,x_n)\in\R^n$, $y=(y_1,\dots,y_n)\in\R^n$ e $z=(z_1,\dots,z_n)\in\R^n$
$$(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z.$$
\item per ogni $x\in\R$ si ha 
$$x\cdot x=|x|^2.$$
\item per ogni $x=(x_1,\dots,x_n)\in\R^n$ e $y=(y_1,\dots,y_n)\in\R^n$ si ha 
$$|x+y|^2=|x|^2+2x\cdot y+|y|^2.$$
\end{enumerate}
\end{prop}
\vspace{0.2cm}
\subsection*{La disuguaglianza di Cauchy-Schwartz}
\begin{teo}
Siano 
$$x=(x_1,x_2,\dots,x_n)\qquad\text{e}\qquad y=(y_1,y_2,\dots,y_n),$$
due punti di $\R^n$. 
Allora vale la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz
$$|x||y|\ge |x\cdot y|.$$
dove $x\cdot y$ è il prodotto scalare tra $x$ e $y$.
\end{teo}	
\noindent{\it Dimostrazione:} \`E sufficiente considerare il caso $x\ne 0$ e $y\neq 0$. 
Considerare la funzione 
$$f:[0,1]\to\R,\qquad f(t)=|x+ty|^2.$$
Calcolare il minimo della funzione su $[0,1]$. Concludere.
\vspace{0.2cm}
\subsection*{Dimostrazione della disuguaglianza triangolare}
\begin{teo}
	Siano 
	$$x=(x_1,x_2,\dots,x_n)\qquad\text{e}\qquad y=(y_1,y_2,\dots,y_n),$$
	due punti di $\R^n$. 
	Allora vale la disuguaglianza triangolare
	$$|x|+|y|\ge |x+ y|.$$
\end{teo}	
\noindent{\it Dimostrazione:} Sviluppare $|x+y|^2$. Usando la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, mostrare che

 $|x+y|^2\le (|x|+|y|)^2$.

\noindent\hrulefill

\newpage 


\begin{center}
	{\sc\large Insiemi aperti}
\end{center}


\begin{deff}[Insieme aperto]
Sia $A$ un sottoinsieme di $\R^d$. Diciamo che $A$ è aperto se vale la proprietà seguente. Per ogni $x\in A$ esiste un raggio $r>0$ tale che $B_r(x)\subset A$. Inoltre, per definizione, l'insieme vuoto $\emptyset$ è un aperto. 
\end{deff}	

\begin{teo}[Unione e intersezione di aperti]\label{t:aperti_unione}$ $
\begin{enumerate}[\quad (i)]
\item L'intersezione di due insiemi aperti à un aperto. 
\item L'unione di una famiglia di insiemi aperti è un aperto. 
\end{enumerate}		
\end{teo}	
\noindent {\it Dimostrazione:} Segue dalla definizione.

\begin{exam}$ $
\begin{enumerate}[\quad (1)]
\item Un intervallo aperto, della forma $(a,b)$, è un aperto di $\R$. 	
\item Gli intervalli della forma $(a,b]$, $[a,b)$ e $[a,b]$ NON sono insiemi aperti in $\R$.
\item Il quadrato $(0,1)\times(0,1)$ è un aperto di $\R^2$. (vedi Proposizione \ref{p:prodotto-di-aperti})
\item L'insieme $[0,1)\times(0,1)$ NON è un aperto di $\R^2$.
\end{enumerate}		
\end{exam}	
\noindent {\it Dimostrazione:} (1), (2) e (3) seguono dalla definizione.

\begin{prop}	
Per ogni $x\in\R^d$ e per ogni $r>0$, la palla $B_r(x)$ è un insieme aperto di $\R^d$.
\end{prop}	
\noindent {\it Dimostrazione:} Vedi il lemma sotto.

\begin{lemma}
Siano $x\in\R^d$, $r>0$ e $y\in \R^d$ tali che $y\in B_r(x)$. Allora 
$$B_\eps(y)\subset B_r(x)\qquad\text{per ogni}\qquad 0<\eps\le r-|x-y|.$$
\end{lemma}	
\noindent{\it Soluzione:} Usare la disuguaglianza triangolare.

\begin{prop}$ $	
\begin{enumerate}[\quad (i)]	
\item L'unione di una famiglia qualsiasi di palle aperte $\Big\{B_{r_i}(x_i)\Big\}_{i\in \mathcal I}$ è un aperto.	
\item Ogni insieme aperto $A\subset\R^d$ è unione di palle aperte. 
\item Ogni insieme aperto $A\subset\R^d$ è unione di una famiglia di palle $\Big\{B_{r_i}(q_i)\Big\}_{i\in \mathcal I}$  con raggi razionali ($r_i\in \mathbb Q$, $r_i>0$) e centri con coordinate razionali ($q_i\in \mathbb Q^n$). 
\end{enumerate}
\end{prop}	
\noindent {\it Dimostrazione:} (i) segue da Teorema \ref{t:aperti_unione}. (ii) segue dalla definizione. Per dimostrare (iii) usare il lemma sopra. 


\begin{prop}[esercizio]\label{p:prodotto-di-aperti}
Se $A_1$, $A_2,\dots, A_d$ sono insiemi aperti di $\R$, allora l'insieme prodotto $A_1\times A_2\times \dots\times A_d$ è un aperto di $\R^d$.
\end{prop}	
\noindent {\it Dimostrazione:} Prima dimostrare che ogni cubo $(-\eps+x_1,\eps+x_1)\times (-\eps+x_2,\eps+x_2)\times \dots\times (-\eps+x_d,\eps+x_d)$ contiene una palla di raggio $\eps$. Poi usare questo risultato per concludere.


\begin{prop}[esercizio]
Sia $f:\R\to\R$ una funzione continua. Dimostrare che l'insieme
$$A=\Big\{(x,y)\in\R^2\ :\ y<f(x)\Big\}$$
è un aperto in $\R^2$.
\end{prop}	
\noindent {\it Soluzione:} Usare la definizione di funzione continua. 

\noindent\hrulefill


\begin{center}
	{\sc\large Insiemi chiusi}
\end{center}

\begin{deff}
Diciamo che un insieme $C\subset \R^d$ è chiuso, se il suo complementare $\R^d\setminus C$ è un aperto. 	
\end{deff}	


\begin{teo}[Unione e intersezione di chiusi]$ $
	\begin{enumerate}[\quad (i)]
		\item L'unione di due insiemi chiusi à un chiuso. 
		\item L'intersezione di una qualsiasi famiglia di insiemi chiusi è un chiuso. 
	\end{enumerate}		
\end{teo}	

\begin{exam}$ $
	\begin{enumerate}[\quad (1)]
		\item $\R^d$ e l'insieme vuoto $\emptyset$ sono entrambi insiemi chiusi. (usare la definizione)
		\item Gli intervalli della forma $[a,b]$ sono insiemi chiusi in $\R$. (usare la definizione)
		\item Il quadrato $[0,1]\times[0,1]$ è un chiuso di $\R^2$. (Usare il Corollario \ref{cor:chiuso})
		\item L'intervallo $(a,b)$ NON è un chiuso di $\R$. (Usare il teorema \ref{t:chiuso})
		\item Ogni punto $x\in\R^d$ è un insieme chiuso di $\R^d$ (l'insieme che ha come unico elemento il punto $x$ si indica con $\{x\}$). 
	\end{enumerate}		
\end{exam}	

\begin{teo}\label{t:chiuso}
Sia $C$ un sottoinsieme non-vuoto di $\R^d$. Allora sono equivalenti:
\begin{enumerate}[\qquad (a)]
\item $C$ è chiuso (nel senso che il suo complementare $\R^d\setminus C$ è aperto).
\item Se $x_n\in C$ è una successione che converge a $x_\infty\in\R^n$, allora $x_\infty\in C$.
\end{enumerate}
\end{teo}	

\begin{cor}\label{cor:chiuso}
Se $C_1$, $C_2,\dots, C_d$ sono insiemi chiusi di $\R$, allora l'insieme prodotto $C_1\times C_2\times \dots\times C_d$ è un chiuso di $\R^d$.
\end{cor}	

\begin{prop}[esercizio]
	Sia $f:\R\to\R$ una funzione continua. Allora:
	\begin{enumerate}[\qquad (i)] 
		\item l'insieme
	$$C=\Big\{(x,y)\in\R^2\ :\ y\le f(x)\Big\}$$
	è un chiuso in $\R^2$;
	\item il grafico di $f$
	$$\Gamma=\Big\{(x,y)\in\R^2\ :\ y=f(x)\Big\}$$
	è un chiuso in $\R^2$.
	\end{enumerate}
\end{prop}	

\begin{prop}[esercizio]
Sia $x_n$ una successione in $\R^d$ che converge a $x_\infty\in\R^d$. Dimostrare che l'insieme 
$$C=\{x_\infty\}\cup\bigcup_{n\in\N}\{x_n\}$$
è un chiuso di $\R^d$. 	
\end{prop}	

\noindent\hrulefill

\newpage

\begin{center}
	{\sc\large Chiusura, parte interna e bordo}
\end{center}

\begin{deff}
Sia $\Omega$ un sottoinsieme di $\R^d$. Definiamo: 
\begin{itemize}
\item $\mathring\Omega$ (la parte interna di $\Omega$) come il più grande insieme aperto conenuto in $\Omega$, ossia l'unione di tutti gli aperti contenuti in $\Omega$;
\item $\overline\Omega$ (la chiusura di $\Omega$) come il più piccolo insieme chiuso che contiene $\Omega$, ossia l'intersezione di tutti i chiusi che contengono $\Omega$;
\item $\partial\Omega$ (il bordo di $\Omega$) come l'insieme
$$\partial\Omega=\overline\Omega\setminus \mathring\Omega.$$
\end{itemize}		
\end{deff}	

\begin{teo}
Sia $\Omega$ un sottoinsieme di $\R^d$. Allora: 
$$\overline\Omega=\Big\{x\in\R^d\ :\ \text{esiste una successione di punti $x_n\in C$ tale che}\ \lim_{n\to\infty}x_n=x \Big\}\ ;$$	
$$\mathring\Omega=\Big\{x\in\Omega\ :\ \text{esiste un raggio $r>0$ tale che}\ B_r(x)\subset\Omega\Big\}\ ;$$	
$$\partial\Omega=\Big\{x\in\Omega\ :\ \text{per ogni raggio $r>0$ si ha che}\ B_r(x)\cap\Omega\neq\emptyset\ \text{e}\  B_r(x)\cap(\R^d\setminus \Omega)\neq\emptyset\Big\}\ .$$	
\end{teo}
 

\begin{ex}[esercizio]
Sia $\Omega$ un sottoinsieme di $\R^d$. Si mostri che $\partial\Omega$ è un insieme chiuso. 
\end{ex}


\begin{ex}[esercizio]
	Sia $\Omega$ un sottoinsieme di $\R^d$. Si mostri che $\partial\Omega=\partial(\R^d\setminus\Omega)$. 
\end{ex} 


\begin{ex}[fatto a lezione]
Sia $B_r(x)$ una palla in $\R^d$. Dimostrare che: 
\begin{enumerate}[\qquad(a)]
\item $\overline{B_r(x)}=\Big\{y\in\R^d\ :\ |x-y|\le r\Big\}$;
\item $\partial B_r(x)=\Big\{y\in\R^d\ :\ |x-y|=r\Big\}$.
\end{enumerate}
\end{ex}	
		
\begin{ex}[esercizio]
	Sia $f:\R\to\R$ una funzione continua e siano 
	$$A=\Big\{(x,y)\in\R^2\ :\ y< f(x)\Big\},\qquad C=\Big\{(x,y)\in\R^2\ :\ y\le f(x)\Big\}.$$
$$\Gamma=\Big\{(x,y)\in\R^2\ :\ y=f(x)\Big\}.$$
Si mostri che :
	\begin{enumerate}[\qquad (i)] 
	\item $\Gamma=\partial A=\partial C$;
	\item $\overline A=C$ and $\mathring C=A$.
	\end{enumerate}
\end{ex}	

\noindent\hrulefill


\begin{center}
	{\sc\large Esercizi sulla chiusura, parte interna e bordo (dalla lezione di 1/4/20)}
\end{center}


\begin{ex}
Trovare un insieme $\Omega\subset\R^d$ tale che: 
\begin{enumerate}[\qquad (1)]
\item $\mathring \Omega=\emptyset$ e $\Omega\neq\emptyset$.
\item $\partial\Omega=B_1(0)$ e $\mathring\Omega=\emptyset$.
\item $\partial\Omega=\R^d$ e $\mathring\Omega=\emptyset$.
\item $\partial\Omega=\emptyset$ e $\Omega\neq\emptyset$.
\item $\overline\Omega=\R^d$ e $\mathring\Omega=\emptyset$.	
\end{enumerate}		
\end{ex}	

\begin{ex}$ $
	\begin{enumerate}[\qquad (1)]
		\item Dire se è vero che $\partial\Omega=\partial\overline\Omega$ per ogni $\Omega\subset\R^d$.
			\item Dire se è vero che $\partial\Omega=\partial\mathring\Omega$ per ogni $\Omega\subset\R^d$.
	\end{enumerate}		
\end{ex}	


\begin{ex}$ $
Trovare un controesempiuo all'affermazione seguente. 

\noindent Per ogni coppia di insiemi aperti disgiunti $\Omega_1\subset\R^d$ e $\Omega_2\subset\R^d$ vale una delle proprietà seguenti. 	
	\begin{enumerate}[\qquad (a)]
		\item $\partial\Omega_1=\partial\Omega_1\cap\partial\Omega_2$ e $\partial\Omega_2=\partial\Omega_1\cap\partial\Omega_2$.
		\item esistono due punti $x_1$ e $x_2$ tali che $x_1\in \partial\Omega_1\setminus\partial\Omega_2$ e $x_2\in \partial\Omega_2\setminus\partial\Omega_1$.
	\end{enumerate}		
\end{ex}



\newpage

\begin{center}
	{\sc\large Insiemi compatti in $\R^d$}
\end{center}

\begin{deff}
Sia $K$ un sottoinsieme di $\R^d$ e sia $\{A_i\}_{i\in\mathcal I}$ una famiglia di sottoinsiemi di $\R^d$. Diciamo che la famiglia $\{A_i\}_{i\in\mathcal I}$ è un {\bf ricoprimento} di $K$ se 
$$K\subset \bigcup_{i\in\mathcal I}A_i.$$
Diciamo inioltre che $\{A_i\}_{i\in\mathcal I}$ è un {\bf ricoprimento aperto} se tutti gli insiemi $A_i$ sono aperti. Diciamo che il ricoprimento è {\bf finito} se il numero degli insiemi $A_i$ è finito. 
\end{deff}	

\begin{deff}
Diciamo che $\{A_j\}_{i\in\mathcal J}$ è un {\bf sottoricoprimento} di $\{A_i\}_{i\in\mathcal I}$, se ogni insieme $A_j$ della famiglia $\{A_j\ :\ j\in\mathcal J\}$ appartiene anche  alla famiglia $\{A_i\ :\ j\in\mathcal I\}$.
\end{deff}
	
	
\begin{deff}
Diciamo che un insieme $K\subset \R^d$ è {\bf compatto} se ogni suo ricoprimento aperto ammette un sottoricoprimento finito. 
\end{deff}

	
\noindent\hrulefill

\newpage


\begin{center}
	{\sc\large Intermezzo. Insiemi numerabili}
\end{center}

\begin{deff}
Diciamo che un insieme $\mathcal I$ è numerabile, se esiste una funzione {\bf surgettiva} 
$$\varphi:\N\to \mathcal I.$$
\end{deff}

\begin{prop}[dim. a lezione]$ $
\begin{enumerate}[(1)]	
\item $\mathcal N$ è numerabile;
\item ogni sottoinsieme di un insieme numerabile è numerabile;
\item $\mathcal Z$ è numerabile; 
\item se $\mathcal I$ e $\mathcal J$ sono numerabili, allora il prodotto $\mathcal I\times \mathcal J$ è numerabile;
\item $\mathbb Q$ è un insieme numerabile; 
\item $\mathbb Q^d$ è un insieme numerabile;
\item Sia $\mathcal I$ l'insieme di tutte le palle $B_r(x)$ in $\R^d$ con centro $x\in\mathbb Q^d$ e raggio $r\in\mathbb Q$.\\ Allora $\mathcal I$ è numerabile.
\end{enumerate}
\end{prop}	

\begin{prop}[dim. a lezione]
Sia $\mathcal K\subset\R^d$ e sia $\{A_i\}_{i\in\mathcal I}$ un ricoprimento di $\mathcal K$ con insiemi aperti $A_i\subset\R^d$:
$$\mathcal K\subset \bigcup_{i\in\mathcal I} A_i.$$
Allora esiste un sottoricoprimento numerabile di $\mathcal K$, ossia esiste una successione di aperi $A_n$ tale che  
$$\mathcal K\subset \bigcup_{n\in\N} A_n\qquad\text{e}\qquad A_n\in \{A_i\ :\ i\in\mathcal I\}\quad\text{per ogni}\quad n\in\N.$$
\end{prop}	

Il prossimo teorema è una propreità notevole dei numeri reali.
\begin{teo}[esercizio]
L'insieme dei numeri reali $\R$ non è numerabile. 	
\end{teo}	
	
\noindent\hrulefill	

\newpage

\begin{center}
	{\sc\large Insiemi compatti in $\R^d$ \rm (continua)}
\end{center}

\begin{teo}
Sia $K$ un sottoinsieme di $\R^d$. Allora sono equivalenti le affermazioni seguenti.
\begin{enumerate}[\ (i)]
\item $K$ è compatto;
\item $K$ è chiuso e limitato;
\item ogni successione $x_n\in K$ ammette una sottosuccessione $(x_{n_k})_{k\in\N}$ convergente ad un limite  in $K$.	
\end{enumerate}		
\end{teo}	

\noindent\hrulefill	

\newpage

\begin{center}
	{\sc\large Topologia indotta e funzioni continue}
\end{center}

\begin{deff}
Sia $X$ un sottoinsieme di $\R^d$. Diciamo che l'insieme $A\subset X$ è relativamente aperto in $X$ se esiste un aperto $\widetilde A$ in $\R^d$ such that $A=X\cap \widetilde A$.
\end{deff}

\begin{prop}
Siano $X$ un sottoinsieme di $\R^d$ ed $A$ un sottoinsieme di $X$. Allora $A$ è relativamente aperto in $X$, se e solo se per ogni $x\in A$ esiste un raggio $r>0$ tale che  $B_r(x)\cap X=B_r(x)\cap A.$
\end{prop}	

\begin{deff}
Sia $X$ un sottoinsieme di $\R^n$ e sia $f:X\to\R^m$ una funzione data. Diciamo che $f$ è continua su $X$, se vale l'implicazione seguente. Se $A\subset \R^m$ è aperto, allora $f^{-1}(A)$ è relativamente aperto in $X$.
\end{deff}	

\begin{prop}
Sia $X$ un sottoinsieme di $\R^n$ e sia $f:X\to\R^m$ una funzione data. Allora sono equivalenti:
\begin{enumerate}[\ (i)]
\item $f$ è continua;
\item se $x_n\in X$ è una successione che converge ad un certo $x_\infty\in X$, allora
$$\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x_\infty).$$
\item per ogni $\eps>0$ esiste $\delta>0$ tale che se $y\in B_\delta(x)\cap X$, allora $f(y)\in B_\eps\big(f(x)\big)$.
\end{enumerate}	
\end{prop}	

\begin{prop}
Siano $K$ un sottoinsieme compatto di $\R^n$ e $f:X\to\R^m$ una funzione continua. Allora, l'insieme $f(K)$ è compatto. 
\end{prop}	

\begin{cor}
Siano $K$ un sottoinsieme compatto di $\R^n$ e $f:X\to\R$ una funzione continua. Allora, $f$ ammette un massimo ed un minimo su $K$.
\end{cor}	

\begin{prop}
La composizione di due funzioni continue è continua.	
\end{prop}	

\begin{prop}
Se $f:X\to\R^m$ è continua e $Y\subset X$, allora $f:Y\to\R^m$ è continua.	
\end{prop}

\noindent\hrulefill	

\newpage

\begin{center}
	{\sc\large Insiemi connessi}
\end{center}

\begin{deff}
Diciamo che l'insieme $X\subset \R^d$ è {\bf connesso} se \underline{non esistono} due aperti $A_1$ e $A_2$ in $\R^d$ tali che:
\begin{itemize}
\item $A_1\cap X\neq\emptyset$ e $A_2\cap X\neq \emptyset$;
\item $A_1$ e $A_2$ sono disgiunti: $A_1\cap A_2\neq\emptyset$;
\item $X\subset A_1\cup A_2$. 
\end{itemize}	
\end{deff}	

\begin{exam}$ $
\begin{itemize}
\item L'insieme $\{x\}$ è connesso, per ogni $x\in\R^n$.
\item L'insieme $\{x\}\cup\{y\}$ è sconnesso, per ogni $x,y\in\R^n$ tali che $x\neq y$.
\item Siano $x,y\in\R^n$ due punti a distanza almeno $3$. Allora, l'insieme $\overline B_1(x)\cup \overline B_1(y)$ è sconnesso.
\item Gli intervalli $[a,b]$, $[a,b)$, $(a,b)$ e $(a,b]$ sono connessi in $\R$ (ragionare per assurdo).
\end{itemize}		
\end{exam}	

\begin{ex}
Sia $X\subset \R$ un insieme. Allora, $X$ è connesso se e solo se $X$ è un intervallo. 
\end{ex}	
\noindent{\it Soluzione:} Ormai sappiamo che tutti gli intervalli sono insiemmi connessi. Ci rimane da dimostrare che se $X$ è un insieme connesso, allora $X$ è necessariamente un intervallo. \begin{enumerate}
\item Mostrare che se $x,y\in X$, $x<y$, allora l'intervallo $[x,y]\subset X$.
\item Come conseguenza dal punto precedente, dimostrare che se $\inf X<t<\sup X$, allora $t\in X$. 
\end{enumerate}	

\begin{deff}
Diciamo che un insieme $X\subset \R^d$ è {\bf connesso per archi (c.p.a.)} se per ogni coppia di punti $x,y\in\R^d$, esiste una funzione (un arco) continua $\gamma:[0,1]\to\R^d$ tale che 
$$\gamma(0)=x,\qquad \gamma(1)=y,\qquad \gamma(t)\in X\quad\text{per ogni}\quad t\in[0,1].$$
\end{deff}	

\begin{prop}[c.p.a. $\Rightarrow$ connesso]
Sia $X\subset\R^d$. Dimostrare che se $X$ è connesso per archi, allora è anche connesso. 	
\end{prop}	

\begin{prop}
Sia $A\subset\R^d$ un insieme aperto. Dimostrare che $A$ è connesso se e solo se è connesso per archi.
\end{prop}	
\noindent{\it Soluzione:} Sia $x_0\in A$. Consideriamo la famiglia di tutti gli insiemi 
\begin{itemize}
\item aperti,
\item contenuti in $A$,
\item connessi per archi,
\item che contengono $x_0$.
\end{itemize}	
Dimostrare che l'unione $A_1$ di tutti questi insiemi è un aperto connesso per archi e contenuto in $A$. Supponiamo che $A\neq A_1$.
Mostrare che per ogni $x\in A\setminus A_1$, esiste $B_r(x)\subset A$ tale che $B_r(x)\cap A_1=\emptyset$. Sia $A_2$ l'unione di tutte queste palle aperte. Mostrare che la coppia $A_1$, $A_2$ sconnette $A$.
\end{document}