[EB] cap. 8 pagg. 221-223, cap 8 pag 239, cap 9 pagg 234-243, 265-281, 286-287;
[MA1] cap. 5 pagg. 226-228, 248-259;
[BDM] cap. 4 pagg. 161-164, cap. 8 pagg. 297-303, 319-321;
[IRS] cap 2.6 pag 73, cap 2.7.2 pag. 78, cap. 2.7.3-2.7.4 pagg 83-84, cap. 3 pagg.113-124;
[VV] cap.7 pagg. 153-159.
Richiamo sui seguenti argomenti:
- studio di funzioni e riduzione a funzioni di una variabile reale a valori reali (lezz. 19-20-21-22)
- monotonia e convessita' , rapporti incrementali e pendenza delle corde con estremi su un grafico
(lez.4- 7- 21)
-estremo superiore, estremo inferiore, massimo, minimo (lez. 5)
-limiti e punti di accumulazione (lez.24)
-funzioni continue (lez. 24)
Primo capitolo : studio ``al finito'' dell'andamento di una funzione di una variabile reale a valori reali
Consiste:
1- nel determinare in quali intervalli essa e' crescente, e in quali intervalli essa e' decrescente
2- in quali intervalli essa e' convessa, e in quali intervalli essa e' concava
Come osservato questi due punti sono rispettivamente equivalenti a
1-bis in quali intervalli I i rapporti incrementali di centro b in I sono non negativi su I, e in quali intervalli non positivi
2- bis in quali intervalli I i rapporti incrementali di centro b in I sono crescenti su I, e in quali intervalli sono decrescenti
- Ora i rapporti incrementali di coppie edi punti sul grafico di una funzione sono i coefficienti angolari delle corde aventi estremi nei due punti.
Avvicinandosi lungo il grafico questi punti sembrerebbe che tali pendenze debbano converge
alla pendenza dell' eventuale retta tangente al grafico nel punto limite.
- Poiche' il passaggio al limite conserva le diseguaglianze (lez. 24) le risposte ad 1) e 2) dicono
1ter- in che intervalli i coefficienti angolari delle eventuali rette tangenti al grafico sono non negativi, e in che intervalli sono non positivi
2ter- in che intervalli i coefficienti angolari delle eventuali rette tangenti al grafico sono crescienti , e in quali sono decrescenti
- Il punto e' se si risponde ad 1ter e 2ter, sapendo che in ogni punto il grafico ha retta tangente si risponde ad 1, 2?
Per far cio' si considera quest'altro argomento qualitativo che e' l'esemplificazione del Teorema di Lagrange (per curve generiche piuttosto che per grafici che sono date da cammini del tipo t-->(t, f(t)) piuttosto che cammini del tipo generico t-->(g(t), f(t)) ).
Data una curva
i- piana
ii- con tangente in ogni suo punto
iii- fatta ``tutta di un pezzo'' (o meglio ``tutta percorribile con un solo cammino'')
ogni corda con estremi sulla curva ha una tangente alla curva ad essa parallela:
si pensi di traslare parallelamente a se stessa la retta determinata dalla corda in direzione di un pezzo limitato di curva staccato dalla corda: quando la retta lascia questo pezzo di curva si ha tangenza.
(Le tre ipotesi sono necessarie. Se non c'e' la prima ipotesi si pensi alla corda che congiunge i due estremi del profilo di una scala a chiocciola cha bbia fatto un giro, e' verticale
mentre la scala a chiocciola non lo e' mai. Se non c'e' la seconda si pensi ad un angolo ha solo due tangenti e una corda trasversale non e' ad esse parallela. Per la terza ipotesi si pensi ad un angolo senza il vertice, oppure ad un segmento ed ad un punto (qui non c'e' tangente univocamente determinata) non allineato con questo.)
Quindi lo studio del segno e della monotonia dei limiti dei rapporti incrementali (pendenze delle tangenti), che debbono esistere in tutti i punti dell'intervallo, di definizione sono rispettivamente equivalenti allo studio della monotonia e della convessita' della funzione
Va da se la centralita' della seguente:
Definizione di derivata (anche infinita) in un punto di accumulazione (lez. 24 definizione 2) per e del dominio
- Se esiste il limite del rapporto incrementale Rbf(x) = (f(x) -f(b))/(x-b) per x-->b, x nel dominio
(finito o meno)
si dice derivata prima di f in b, e si indica con f'(b) o Db f o df/dx |b o df(b)/dx
OSSERVAZIONE: non sempre tale limite esiste, in effetti non sempre vi e' tangente ad un grafico:
si pensi alla funzione f(x)=|x| , x reale
si pensi alla funzione f(x)= x sin 1/x per x non 0 , ed f(0)=0
essa si annulla in tutti i punti x= 1/(k pigreco) quindi i rapporti incrementali di centro 0 ed estremo in questi punti son nulli
d'altronde questa funzione in tutti i punti x =1/(2k pigreco + pigreco/2) vale x, quindi i rapporti incrementali di centro 0 ed estemo in tali punti vagono 1
quindi non puo' esistere per x-->0 il limite dei rapporti incrementali
in quanto vi sono almeno due valori distinti che il rapporto incrementale di centro 0 assume comunque si sia vicini a 0.
Si noti che con un minimo sforzo si mostra che z--> R0,f (z) puo' assumere tutti i valori tra -1 ed 1 per z in ogni intervallino bucato [-D,D]\{0}.
Piuttosto che dare nozioni generali di tangenza e far vedere che la retta tangente ha come coefficiente angolare la derivata utilizziamo la derivata per definire la tangenza
Retta tangente al grafico di una funzione derivabile in un punto
- La retta tangente al grafico (x,f(x)), x in I, di f nel punto (b,f(b)) nel caso in cui f'(b) sia finito,
e' la retta che e' grafico della funzione affine r(x)= f'(b) x +f(b) -f'(b)b= f'(b)(x-b) +f(b)
cioe' l'insieme (x, f'(b)(x-b) +f(b)), x in I,
cioe' y=f'(b)(x-b) +f(b) , x in I.
Nel caso infinito la tangente sara' una retta verticale (non grafico).
Se pur elementare vale la pena sottolineare che se una funzione ha ddrivata finita in un punto allora e' continua in quel punto (lezione 24 cap. 5)
Teorema: Sia f derivabile in un punto b ed f'(b) sia finita allora f e' continua in b.
Infatti (f(x) -f(b))/(x-b) --->f' (b) per x--> b cioe'
per ogni E vi e' R per cui se 0<|x-b|< R si ha |f(x)-f(b) - (x-b)f'(b)|/|x-b| < E cioe'
|f(x)-f(b)- (x-b)f'(b)| < E |x-b| per cui
|f(x)-f(b)| < |x-b| |f'(b)| + E |x-b| per cui
in particolare si puo' pensare R<E per cui si ottiene
per ogni E vi e' R per cui se 0<|x-b|< R si ha |f(x)-f(b)| < E ( |f'(b)| + E).
Si enumerano e commentano ora gli enunciati principali riguardo l'uso della derivata per lo studio dell'andamento al finito del grafico i una funzione.
Moltre osservazioni esemplificative sono gia' contenute nel commento iniziale allo studio dell'andamento al finito del grafico di una funzione.
Definizione di funzione derivata su un intervallo
se f e' derivabile in ogni punto x dell'intervallo I la funzione derivata e la funziona che associa ad x il numero f'(x).
Definizione di primitiva
se una funzione g e' la funzione derivata di una funzione f su degli intervalli la funzione f si dice primitiva di g su quegli intervalli
Definizione di derivate successive
se una funzione f ha funzione derivata f' su un intervallo
ed a sua volta f' e' derivabile in un punto b dell'intervallo il numero (f')'(b) si dice derivata seconda di f in b
e si indica con f"(b) o D^2|b f o d^2 f/dx^2 |b o d^2 f(b)/dx^2 .
Se poi f ha derivata seconda in tutti i punti dell'intervallo si definizsc la funzione derivata seconda
x---> f" (x)
analogamente
se una funzione e' derivabile in ogni punto di un intervallo, si definisce la funzione derivata n-esima di f
come funzione derivata della derivata (n-1)-esima
e si indica con f^n o D^n f o d^n f/dx^n .
questa definizione comporta
che f sia derivabile in ogni punto e che la funzione derivata sia derivabile, che la derivata della funzione derivata lo sia ... e questo per n volte
quindi si definisce
la derivata (n+1)-esima di f in un punto b come la derivata in b della derivata n-esima
questa definizione comporta
che f sia derivabile in ogni punto e che la funzione derivata sia derivabile, che la derivata della funzione derivata lo sia ... e questo per n volte e che l'ultima funzione derivata sia solo derivabile in b.
Teoremi su derivate e monotonia e convessita'
Lo strumento per provare questi asserti e' il teorema di LAGRANGE (interpretazione e ``argomentazione'' geometrica sono state date nella parte introduttiva) insieme alla proprieta' seguente dei limiti
Monotonia del passaggio al limite:
se i valori di due funzioni sono sempre nello stesso ordine in un intorno bucato allora la stesso ordine rimane per gli eventuali valori limite
se
F --> A , G--> B per x-->p ed F(x) >o= G(x) in un intorno bucato di p
allora A >o= B
DIM.: per mostrare A >o= B basta mostrare A-B >o= 0 e quindi basta mostrare che
per ogni E >0 si ha A-B >o= -E
Poiche' A-B= A-F(x) + F(x)-G(x) -(B-G(x))
siccome dato E >0, per ipotesi di convergenza, vi e' un intorno U bucato ove vale
-E < A-F(x), B-G(x) < E
si ottiene per x in U\{p}
A-B >o= -2E + F(x)-G(x)
d'altra parte, per l'ipotesi F >o= G, vi e' un intorno V bucato ove F-G >o=0
quindi A-B >o= -2E essendo E arbitrario per la proprieta' di Archimede
si ha quando desiderato .
Ha interesse in se un enunciato ```complementare''
Permanenza del segno (``stretto'') nei limiti
se F --> A > 0 per x-->p allora esiste un intorno bucato di p ove F > 0.
DIM.: dato E >0, per ipotesi di convergenza, vi e' un intorno U bucato ove vale
E > F(x) - A >- E
Prendendo E= A/2 >0 si ottiene in particolare per x in U\{p} F(x)> A-E= A/2 > 0.
Teorema 1. Se f e' crescente su un intervallo I , esiste f '(p), p in I allora f ' (p) >o= 0.
DIM.:
si usa la monotonia del limite con F(x)=(f(x)-f(p))/(x-p) >o= 0 poiche' f e' crescente e G=0.
OSSERVAZIONE: - Potrebbe essere f strettamente crescente ma f ' (p)=0
e.g. f(x)=x^3 poiche' x^3-z^3 =(x-z)(x^2 +xz+z^2) e il secondo fattore ha uno dei due discriminanti negativo per x non z
f e' strettamente crescente. Inoltre ( x^3-0^3)/(x-0) =x^2 ---> 0 per x-->0, quindi f '(0)=0.
Teorema 2 (di Lagrange)
Se
f e' derivabile in (a;b)
f-->f(a) per x-->a, f-->f(b) per x-->b (cioe' f e' continua anche agli estremi)
allora
vi e' c : a< c < b e (f(b)- f(a))/(b-a) = f ' (c)
(aperta parentesi
Come detto nella parte introduttiva questo teorema di Lagrange e' un caso particolare della situazione seguente:
se l'immagine della funzione t--->(g(t),f(t)) e' un cammino (in cui non si ha mai velocita' nulla) che descrive la curva a cui si sta pensando, si deve avere che il vettore determinato dalla corda per due punti(g(b), f(b)) - (g(a), f(a)) dev'essere linearmente dipendente da qualche vettore tangente che sara' del tipo
(g ' (c), f '(c)) cioe' si deve annullare il determinante
(g(b) -g(a)) f ' (c) - (f(b) -f(a)) g '(c)
Il teorema di Lagrange rientra in questo schema intuitivo pensando come curva il grafico
(t, f(t)). L'enunciato piu' generale puo' essere quindi
Teorema di Cauchy: Se f e g soddisfano le stesse ipotesi del teorema di Lagrange
e g(a) e' diverso da g(b) allora per qualche punto intermedio c diverso da a e b si ha:
(f(b) -f(a))/(g(b)-g(a)) = f '(c)/ g ' (c)
Un enunciato che partcolarizza il teorema di Lagrange e' piuttosto il seguente
Teorema di Rolle: nelle solite ipotesi se f(a)=f(b) allora vi e' c intermedio e diverso da a e b per cui f '(c)=0
OSSERVAZIONE : Usualmente si dimostra il caso particolare (Rolle) usando la continuita' e il teorema di Weierstrass, quindi Lagrange e quindi Cauchy.
chiusa parentesi)
Teorema 2 bis: Se f e' derivabile su un intervallo I ed f ' >o=0 allora f e' crescente su I.
DIM.: Infatti ogni rapporto incrementale essendo un valore di derivata sarebbe non negativo.
OSSERVAZIONE : l'ipotesi che tutto debba avvenire su un intervallo ( in quanto insieme fatto ``tutto di un pezzo'') e' basilare. Come al solito una funzione che in (0;1) vale 1 e in (1;2) vale 0 ha derivata nulla, quindi non negativa, ma non e' crescente, anzi nel caso e' decrescente.
OSSERVAZIONE: -non basta che la funzione si a derivabile in un intervallo , con derivata positiva solo in un punto per dire che in un intervallino contenente quel punto la funzione e' crescente:
vi sono funzioni f per cui f '(p) >0 (diseguaglianza stretta) ma in nessun intorno di p la funzione e' monotona crescente
e.g. si tracci un grafico di una qualsiasi funzione f derivabile per x>o = 0 in modo che
i- sia compreso tra quelli y= x^2+x e y=x (quindi f(0)=0)
ii- oscilli infinite volte, toccandoli, tra i due grafici, in un intorno di 0,
iii- in modo che la corda tra i due punti di contatto con l'uno e con l'altro abbia pendenza negativa (almeno per i contatti di ascisssa abbastanza vicina a 0).
Per iii- il grafico disegnato non puo' quindi essere crescente in nessun intorno di 0.
Inoltre poiche' x+1= (x^2+x - (0^2 +0))/(x-0) >o= f(x)/x >o= x-0/x-0 =1 esiste f ' (0)=1>0.
Volendo un'espressione analitica di una funzione con questo tipo di grafico si puo' considerare
f(x) = x^2/2 ( 1+sin 4/x + 2/x) per x>0 ed f(0)=0
*************************************************************************
Cio' si puo' verificare anche senza uso dei teoremi sulle derivate enunciati appena di seguito:
in effetti poiche' il seno e' minore eguale di 1 e maggiore eguale di -1 la funzione e' minore eguale di x^2 +x e maggiore eguale di x
Quindi x+1>o= f(x)/x >o= 1 per cui esiste f ' (0)=1.
Inoltre quando il seno e' eguale ad 1 la funzione e' eguale a x^2 +x
mentre quando il seno e eguale a -1 la funzione e' eguale a x.
Ma ogni x per cui il seno e' eguale a -1 e' del tipo 4/(3pig/2 +2pig n) n in N
e l'ascissa appena precedente per cui il seno e' eguale a 1 e' 4/(pig/2 +2pig (n+1)).
Il segno della pendenza della corda tra i punti del grafico corrispondenti e' quello di
segno [1/(3pig/2 +pig 2n) - 1/(pig/2 +pig 2(n+1)) (1+4/(pig/2 +pig 2(n+1) ) ]=
segno [ (pig/2 +pig 2(n+1))^2 - (4+ pig/2 +pig 2(n+1))(3pig/2 +pig 2n)] =
segno[ (pig/2 +pig 2(n+1))^2 - (4+ pig/2 +pig 2(n+1))(pig/2 +pig 2(n+1) - pig)] =
segno[ -4 (pig/2 +pig 2(n+1))+ 4 pig +pig (pig/2 +pig 2(n+1) )] =
segno[ (-4 + pig )(pig/2 +pig 2(n+1))+ 4 pig ] < 0 per ogni n in N essendo 4 - pig>17/20.
Certo con le derivate si semplifica molto. Provare per esercizio.
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ATTENZIONE: L'espressione analitica ( x^2/2(1+sin 1/x +2/x))
e' in realta' crescente e quindi non verifica iii-, pur facendo infinite oscillazioni tra la parabola e la retta tangente.
OSSERVAZIONE: se f'(p)>0, ed f e' derivabile in un intervallino contenente p e in piu' la funzione derivata prima e' continua in p allora si in un intervallo magari piu' piccolo attorno a p f e' crescente:
infatti se f'(x)--> f(p) >0 (continuita' ) per permanenza del segn segno in un intervallo attorno a p sara'
f'(x) >0 e ci si e' ricondotti al teorema.
Usando il teorema di Lagrange e la monotonia dei rapporti incrementali come equivalente della convessita' si prova
Teorema 3 f e' convessa e derivabile su un intervallo se e solo se
f ' e' crescente se e solo se
il grafico di f sta sopra ogni sua tangente cioe'
per ogni x e p nell'intervallo f(x) >o= f ' (p) (x-p) + f(p)
Teorema3 bis
f e' convessa e due volte derivabile su un intervallo I se e solo esiste f '' non negativa su I
DIM.: Si usa il teorema 3 e quindi i teoremi 1 e 2bis per f ' invece che per f.
Secondo capitolo valori estremali e valori estremi di una funzione.
Valori di massimo e minimo di una funzione su un dominio.
quelli dell'immagine della funzione sul dominio.
Valori di estremo superiore e inferiore di una funzione su un dominio:
quelli dell'immagine della funzione sul dominio
(lezz. 4-5-6)
Per comodita' riportiamo le definizioni precise
- Un sottoinsieme A di uno spazio metrico, in partricolare di R^n, si dice limitato se e' contenuto in qualche palla
cioe' esiste r>0 per cui se p e' in A allora la sua distanza dall'origine || p|| < r
e.g. per n=2 deve esistere r per cui se (x,y) e' in A allora (x-a)^2+ (y-b)^2 <r^2
per n= 1 deve esistere r per cui se x e' in A allora -r < x<r
- un insieme A e' limitato superiormente (inferiormente) in R se esiste C per cui A e' contenuto nella semiretta (-oo, C] (risp. [C,+oo))
cioe' se x e' in A allora x <C.
- Una funzione f si dice limitata su B se lo e' la sua immagine su B cioe':
se esiste r per cui per ogni x in B si ha ||f(x)||< r
- Una funzione f si dice limitata superiormente (inferiormente) su B
se lo e' la sua immagine su B.
- M si dice massimo ( minimo) di un sottoinsieme A di R se:
1- M in A
2- p.o x in A si ha M >o= x ( M <o= x)
cioe' il piu' grande (piccolo) tra gli elementi di A
- M si dice valore massimo ( valore minimo) di una funzione f su B se lo e' per l'immagine di f su B, cioe':
1- esiste x in B per cui M = f (x) [M dev'essere un valore di f su B]
2- p.o x in B si ha M >o= f(x) ( M <o= f(x))
cioe' il piu' grande (piccolo) tra i valori assunti elementi da f su B.
- Notazioni: max A, min A, max_B f , min_B f
Un fatto rilevante da osservare e' che insiemi e funzioni limitati non e' detto che abbiano massimo o abbiano minimo:
- si pensi a f(n) = 1/n , n in N i valori di tale funzioni sono maggiori di 0
ma 0 non e' un suo valore, pur avicinandosi i suoi valori arbitrariamente ad esso.
-similmente artan x < pig/2 e artan x = pig /2 non ha soluzioni
purtuttavia preer x sempre piu' grande artan x si avvicina sempre piu' a pig /2.
I concetti per trattare tali situazioni sono quelli di estremo superiore ed estermo inferiore
- L si dice estremo superiore ( inferiore ) di un sottoinsieme A di R se:
1- esiste una successione x_n in A x_n ---> L per n--->+oo
[puo' non esser un elemento di A ma deve essere approssimabile con elementi di A]
2- p.o x in A si ha L >o= x ( L <o= x )
[comunque dev'esser piu'grande di tutti gli elementi di A]
- L si dice estremo superiore ( inferiore) di una funzione f su B se lo e' per l'immagine di f su B, cioe':
1- esiste una successione x_n in B f( x_n) ---> L per n--->+oo M
[puo' non essere un valore di f su B ma dev'essere approssimabile con valori di f su B]
2- p.o x in B si ha L >o= f(x) ( L <o= f(x))
[comunque dev'esser piu'grande di tutti i valori di f su B]
- Notazioni: sup A, inf A, sup_B f , inf_B f
NOTA queste sopra scritte sono nozioni che si possono dare per funzioni a valori reali definita su un qualsiasi insieme
Si ricordano i teoremi principali a proposito
Teorema il fatto che ogni insieme limitato non vuoto abbia estremo superiore ed inferiore e' equivalente alla completezza per successioni e alla proprieta' di Archimede.
Teorema
L' estremo superiore di f su B e' il piu' piccolo tra i numeri piu' grandi di tutti i valori di f su B
cioe' sup_B f = min { y : y >o= f(x) , per ogni x in B}
Un valore di massimo (minimo) e' estremo superiore (inferiore).
Chiaramente non sempre e' vero il viceversa (per questo si e' introdotto il concetto).
Quando esistono massimo e minimo di una funzione?
Per rispondere a tali domande niente di meglio che le funzioni continue.
Teorema 8 (Weierstrass: massimi minimi)
Una funzione continua f definita su un intervallo chiuso (con gli estremi) e limitato
(estremi finiti) [a, b] cioe' un segmento con estremi
(ma basta un'unione finita di segmenti chiusi)
e' limitata su [a,b] anzi assume valore massimo e valore minimo su [a,b].
DIM (cenno)
sia L =sup f,
sia y_n in im_[a,b] f tale che y_n --> L
sia x_n in [a,b] per cui f(x_n )= y_n
si consideri z_0 = x_0 si divida a meta' [a,b] e si consideri una meta' in cui per infiniti n>0 x_n stia in quella meta'
si consideri z_1= al primo x_n nella meta' scelta= x_m_1, si ridivida a meta' e si scelga una in cui per infiniti n>m_1 x_n ci sta
si itera il procedimento infinite volte e si ottine una successione z_n = x_m_n
- e' una restrizione di x_n in particolare f(z_n) = y_m_n converge ancora ad L
ma z_n e' anche di Cauchy quindi per assioma z_n ---> z
ma [a,b] e' chiuso quindi z sta in [a,b]
ma f e' continua in [a,b] quindi f(z_n) ---> f(z)
quindi per unicita' del limite f(z)=L
quindi essendo f a valori reali L e' finito
quindi essendo L=f(x) e' il valore massimo.
OSSERVAZIONE:
qui il punto non e' che il dominio sia un'unione finita di intervalli ma che questi siano limitati e
con gli estremi : la proprieta' del domino necessaria, che si puo' dedurre dalle ipotesi perche' una funzione continua su di esso assuma massimo e minimo, e' che ogni successione di elementi del dominio abbia una restrizione che converga a qualche elemento del dominio (metodo di bisezione e completezza per successioni dei numeri reali).
Ebben se ci si pensa un attimo si capisce che un enunciato piu' astratto del teorema e' il seguente:
le funzioni continue trasformano un insieme in cui ogni successione di suoi elementi abbia una restrizione che converge a qualche elemento dell'insieme stesso in un insieme con la stessa proprieta'.
Se togliamo l'ipotesi di continuita' della funzione il teorema e' falso si pensi alla funzione 1/x
per x in (0,1] e nulla per x=0, quindi definita su tutto [0,1] ma non continua in 0. Non e' limitata.
Se il dominio non fosse chiuso lo stesso esempio mostra che il teorema non sussisterebbe: 1/x e' illimitata ma continua su (0,1].
Se poi il dominio non e' limitato la funzione (x^2-1)/x^2+1) ovvero artan x su R sarebbero altri semplici controesempi.
Mettendo insieme questo teorema e il teorema del valore intermedio con un po di fantasia si ottiene
Corollario se f e' continua su un intervallo (a, b) anche non limitato e
inf f < A, B< sup f (diseguaglianze strette)
f--> A per x--> a f---> B per x--> b
allora
f assume massimo e minimo su (a,b) e
im_(a,b) f = [ min_(a,b) f , max_(a,b) f ]
Capitolo terzo punti di estremo relativo
- Un punto p del dominio, sottoinsieme di uno spazio metrico, della funzione f si dice punto di massimo relativo alla nozione di distanza che si considera
se vi e' un intorno di p per cui f(p) = max_{U intersezione dom f} f;
esiste R per cui se dist(x,r)<R e x in dom f allora f(P) >o= f(x)
quando dom f e' sottoinsieme di R si ha
p e' punto di massimo relativo se
esiste R>0 per cui f(x) <o= f(p) se p -R< x< p+R, e x in dom f
cio' e' equivalente
esiste R per cui Rpf(x) >o= 0 per x in [p -R, p[ int dom f
Rpf(x) <o= 0 per x in ]p , p+R] int dom f
Teorema 4 Se p e' un punto di massimo o minimo relativo di f interno ad un intervallo I
ove f e' definita allora se esiste f ' (p) deve essere f '(p)=0
DIM.: per qualche s>0 (p-s; p+s) e' contenuto in I
per un 0<r <s f(p) > o = f(x) cioe' f(p)- f(x) >o= 0, per tutti gli x in (p-r; p+r)
ma allora per questi x
(f(p) - f(x))/(p-x) >o= 0 se x <p e (f(p) - f(x))/(p-x) <o= 0 se x >p
per monotonia del passaggio al limite f ' (p) e' sia maggiore eguale che minore eguale a 0
in quanto entrambe le condizioni sono effettivamente verificate essendo p interno.
Quindi e' nulla.
OSSERVAZIONE: se il punto di massimo relativo non e' interno la derivata puo' benissimo essere positiva: f(x)=x su [0;1].
OSSERVAZIONE: non e' vero che se p e' un punto di massimo relativo allora in un piccolo intervallo
[p-a, p[ prima di p la funzione cresca e in un piccolo intervallo ]p, p+b] dopo p la funzione decresca
Esempio simile al precedente: si disegni una parabola concava e la sua tangente orizzontale
poi si faccino infinite oscillazione tra di essa e la tangente prima del punto di tangenza, per simmetria dopo .
Volendo precisare il controesempio: grafico di -( 1+ x^2(1+sin 1/x)) per x non 0 e -1 per x=0
funzione minor eguale di -1
con infinite oscillazioni vicino a 0 quindi mai crescente ne decrescente a destra o a sinistra di 0
``compresso'' tra i grafici -y= 1+ 2x^2 (parabola) e y=-1 (retta orizzontale)
In effetti essendo derivabile ovunque con derivata cos1/x -2x(1+sin 1/x) per x non 0 e derivata nulla in 0
si osserva che per x>0 nei punti x_n = 1/( pig 2n) tale derivata vale 1-1/pig n >0
nei punti z_n =1/(pig (2n+1)) vale -1- 1/pig n<0
quindi per i teoremi esposti nella presente non puo' essere ne crescente ne decrescente il
alcun intervallo (0, E), poiche' comunque si fissi E>0 si trova un n in N per cui 0< x_n, z_n <E.
Il viceversa e' vero ed e' quanto si usa generalmente nella pratica!
PROBLEMA DELLA DETERMINAZIONE DEI PUNTI DI MASSIMO E MINIMO LOCALE
SU UN INTERVALLO di una funzione derivabile tranne al piu' una successione di punti
In pratica si studiano gli intervalli dove il segno della derivata e' sempre non negativo o sempre non positivo, i punti di passaggio da uno di quelli ad uno di questi sara' di massimo relativo. Viceversa i punti di passaggio da questi a quelli saranno di minimo relativo.
Inoltre gli eventuali estermi finiti di un intervallo potrebbero essere di estremo relativo.
Teorema 4 bis I punti di massimo e minimo relativo di una funzione sono da cercarsi:
1- agli estremi degli intervalli
2- nei punti ove la funzione non ha derivata
3- nei punti ove la derivata e' nulla
OSSERVAZIONE: chiaramente ci possono essere punti ove la derivata e' nulla che non sono ne di massimo ne di minimo relativo per esempoi per f(x)=x^3, -1<x < 1, e p=0.
Teorema 4 ter Sia f definita su un intervallo
f e' ivi costante se e solo se esiste f ' ed e' sempre nulla
DIM.: se f e' costante i rapporti incrementali sono nulli quindi convergono a 0.
Viceversa dato p nell'intervallo poiche' la derivata e' finita si ha
[f(x) - f(b) - f'(p) (x-p)] / (x-p) --->0 per x-->p e in particolare f(x)---> f(p) per x --> p
quindi si uo' applicare il teorema di Lagrange er due qualsiasi punti a e b dell'intervallo
ottenendo f(b) -f(a) = (b-a) f ' (c) =(b-a) 0 =0.
OSSERVAZIONE : una funzione con derivata nulla non e' detto sia costante, basta che sia definita su due intervalli disgiunti: sara' costante su ognuno degli intervalli ma potrebbe assumere due valori diversi uno su ognuno dei due intervalli.
PROBLEMA DEI VALORI DI MASSIMO O MINIMO DI UNA FUNZIONE
APPROCCIO INDIRETTO
0) ESISTENZA
per esempio usando il Teorema di Weierstrass
1) per funzioni continue definite su un intervallo chiuso e limitato , ovvero sapendo gia' che il massimo o il minimo esistono,
i soli punti possibili in cui la funzione assume i valori di massimo o minimo sono da cercarsi
a) nei punti dove la funzione non e' derivabile
b) agli estremi dell'intervallo
c) nei punti interni ove la derivata esiste ed e' nulla
2) in questi punti trovati si calcola la funzione: sapendo che il massimo esiste
il massimo dei valori calcolati in questi punti e' il valore di massimo
ALTRO APPROCCIO SAREBBE QUELLO DIRETTO
SENZA FAR AUSILIO A CRITERI DI ESISTENZA O ALLA NOZIONE DI DERIVATA
e.g. (1+t^2)/ 2t t non 0: non assume ne massimo ne minimo
(per t-->0 t>0 la funzione tende a +oo, per t<0 a -oo)
(1+t^2)/ 2t t in [1,3] : essendo 1+t^2 >o= 2t ( (1-t)^2 >o= 0) si ha dividendo per 2t > 0
che la funzione e' maggiore oguale ad 1
e per t=1 vale 1.
16-2-10 lezione 33 (ore 2) LEZIONE NON SVOLTA PER IMPEGNI DEL DOCENTE
18-2-10 lezione 34 (ore 1 e 30 minuti ) Riferimenti: [EB] cap 10 pagg. 313-320,
[MA1] cap. 4 rilettura della parte che riguarda i limiti;
[BDM] cap.7 pagg. 263-278;
-Notazione di Landau o e O:
f e' O(g) intorno a p se esiste un numero M ed un intorno U di p per cui valga
|f(x)| <o= M |g(x)| per x in U\{p}
f e' o(g) intorno a p se esiste un intorno U di p e una funzione definita su U per cui
h(x) --> 0 per x-->p
|f(x)| <o= h(x) |g(x)| per x in U\{p}
OSSERVAZIONE Se g non e' nulla nell'intorno di p tranne al piu' il punto p le due nozioni sono equivalenti
rispettivamente a
|f|/|g| e' limitata in un intorno di p
|f|/|g| ---> 0 per x--->p
OSSERVAZIONE si trovano le notazioni f=O(g), f= o(g), suggestive ma fuorvianti in quanto al posto dell'euguale andrebbe messo ``appartiene''.
OSSERVAZIONI tali nozioni hanno senso solo se si specifica dove
e.g. x = o(x^2) per x -->+oo ma
x^2 = o(x) per x --> 0
REGOLE DEI LIMITI
0- Monotonia del passaggio al limite (cfr. precedente lezione)
0bis- Permanenza del segno nel limite (cfr. precedente lezione)
1- principio di confronto e criterio dei carbinieri (due carabinieri certe volte ne basta uno)
se c--> a e C-->a , x-->p e c <o= B <o= C nell'intorno bucato di p
allora
B--> a , x-->p
Chiaramente se a e' infinito basta un solo carabiniere:
se a =+oo basta considerare la sola diseguaglianza c <o= B per ottenere la tesi,
se a= - oo basta considerare la sola diseguaglianza B<o= C.
A parole:
se una funzione e' compresa tra due funzioni che hanno lo stesso limite nell'intorno bucato del punto limite allora esiste il limite di questa funzione nello stsso punto
1-bis
f-->a in R^n se e solo se dist(f,a)= |f-a|-->0
1-ter
se f e' crescente (decrescente ) in I= (a,p) allora si ha f --> sup_I f, x-->p (inf_I f)
2- limiti di somme
se f-->a e g--b per x --> p allora f+g--> a+b
se a e b non sono entrambi infiniti con segno diverso
2-bis
se f--> oo , x-->p e g e' limitata intorno a p allora f+g--> oo
3- limiti di prodotti
se f-->a e g-->b per x --> p allora fg--> ab
se a e b non sono uno infinito e l'altro nullo
(intesi: +oo(-oo)=-oo, +oo c=+oo se c>0, +ooc=-oo se c<0, -oo c=-oo se c>0, -ooc=+oo se c<0)
3-bis
se f-->0 , x-->p e g e' limitata intorno a p allora fg--> 0
3-ter se g-->b in R , x-->p in allora g e' limitata nell'intorno di p
4- limite del reciproco
se f-->a , x--> p se a in R\{0} allora 1/ f--> 1/a
se f-->0 , x--> p se f e' di segno costante intorno a p allora 1/f --> (sign f )oo
se |f|--> +oo , x--> p allora 1/f --> 0
5- unicita' del limite e criterio di non esistenza del limite
se f--> L e f-->M , x-->p allora L=M
se vi sono due successioni nel dominio di f per cui
x_n -->p, n-->+oo in N e f(x_n)--> L allora f non ha limite per x-->p
z_n -->p, n-->+oo in N e f(z_n)-->M e M diverso da L
6- principio di sostituzione
se l'immagine di g nell'intorno bucato di p e' contenuta nel dominio di f, e
se f(y)--> L, y-->q e y= g(x)-->q , x-->p allora f(g(x))--->L , x-->p
provveduto che almeno una delle seguenti due condizioni sia verificata:
f--> f(q) , y-->q ovvero g sia diversa da q nell'intorno bucato di p
7- se f_1 --> a_1 , ..., f_n --> a_n (con limiti finiti) per x-->p allora (f_1, ... f_n)---> (a_1, ... a_n)
DIM.(alcune): 1- nel caso a finito: si consideri E>0
in un intorno bucato U di p c(x)-a <o= B(x) -a <o= C(x)-a
esiste un intorno bucato V di p per cui -E< c(x)-a < E
esiste un intorno bucato W di p per cui -E< C(x)-a < E
quindi nell'intorno bucato intersezione dei tre si ha -E < B(x)-a< E.
1 ter - Dato E>0
per definizione esiste x_n tale che
f(x_n)--> sup f, n-->+oo, in particolare
esiste m per cui se n>m-1 allora f(x_n) > sup f -E (per sup f=+oo allora f(x_n)>E)
si ponga D=p-x_m ( per p =+oo porre D=x_m) allora
se p-x <D, cioe' x>x_m , per monotonia f(x) >o= f(x_m) > sup f - E (per sup f=+oo f(x) > E).
3- si prova prima 3-ter: dato E=1 vi e' un intorno bucato di p in cui b-1 < f(x)<b+1.
quindi si prova 3-bis: 0<o= |f(x)g(x)|=|f(x)||g(x)| < |f(x)|M quindi carabinieri.
quindi nel caso a e b finiti 0<o= |f(x)g(x)-ab|=|f(x)g(x)-ag(x) + ag(x)-ab| <o=
|f(x)g(x)-ag(x)|+|ag(x)-ab|=|f(x)-a||g(x)|+|a||g(x)-b|, ancora carabinieri.
quindi nel caso a=+oo, b>0 finito: dato E=b/2 vi e' un intorno bucato di p |g(x)-b| <b/2
in particolare in tale intorno g(x)> b/2, per cui ivi |f(x)||g(x)| > |f(x)|b/2, carabiniere.
7- (dist((f_1, ...f_n),(a_1 ...a_n))^2 = (f_1(x) - a_1)^2 + ... +(f_n(x) - a_n)^2 --> 0 per x-->p.
Osservazioni:
Piu' che dimostrare 6 conviene capire perche' sono necessarie le ipotesi, e ancora di piu' la sua importanza pratica.
Consideriamo:
f=1 per y diverso da q=2 e f(2)=3 ;
g= 4 per x diverso da p=5 e da 5+1/n e g(5+1/n)=2=q
f(g(x))= 1 per x diverso da 5+1/n mentre f(g(5+1/n))=3. Quindi f(g(x)) non ha limite in p.
La valenza pratica e' che per quanto sia complicata g la sitratta come una scatola chiusa come una variabile. La difficolta' sta nel riconoscere g nelle varie formule, isolando i termini giusti che la identificano, ed eventualmente aggiungendo/togliendo o moltiplicando/dividendo per opportuni termini per metterla in risalto se ce ne fossero solo alcuni pezzi.
Con il principio di sostituzione quello di confronto, cio' l'uso di diseguaglianze per sondare l'esistenza e in molti casi calcolare limiti, e' il principale strumento elementare per lo studio dei limiti.
LIMITI NOTEVOLI
- Limiti di continuita' e di alcune funzioni di base, gli altri si deducono da questi:
se f e' costante eguale a c nell'intorno bucato di p allora f-->c , x-->p
x--> p per x-->p
(1+x/n)^n --> e^x, n-->+oo inoltre per gli n >o= -x e' una successione crescente.
e^x --> e ^p , x-->p in R, (dim. a lezione: vedi sotto)
sin x --> sin p, x-->p in R, (dim. a lezione: vedi sotto)
cos x --> cos p, x-->p in R, (cos x= sin (x+pig/2 ))
radice n-sima {n} -->1, n-->+oo (dim. vedi sotto)
-Limiti infiniti ed infinitesimi i principali:
x--> p per x-->p quindi i polinomi all'infinito vanno all'infinito
x^a-->+oo , x-->+oo se a >0 (se a>o= 1 per x>1 si ha x^a >o= x: caramba; se a<1
per x> M^{1/a}si ha x^a > M: definizione di limite)
x^a--> +oo , x--> 0, x>0 se a <0 (reciproco del precedente)
b^x -->+oo , x-->+oo, se b>1 (dimostrato a lezione per b=e vedi sotto)
b^x --> 0 , x-->+oo, se b<1 (reciporoco del precedente)
log x --> +oo, x-->+oo ( per monotonia di log x se x > e ^M allora log x > M quindi per definizione di
limite segue quanto voluto)
log x --> -oo , x-->0, x >0 ( come sopra x<e^{-M})
b^x/x^a --> + oo, x -->+oo, se b>1 e a >0
|x|^a b^x --> 0 , x--> - oo, se b>1 e a >0 (y=-x e' il reciproco del precedente)
per sostituzione e passando al reciporco nel primo caso, facendo la potenza 1/a nel secondo si ottengono:
|log_b y |^a / y -->0 , y--> +oo, se b>1 e a >0
|log_b y| |y|^{1/a}-->0, y-->0 , se b>1 e a >0
x^x/ b^x-->+oo, x--> +oo (si passa ad esponenti in base e, l'eponente e' xlog x/b che per
x>eb e' maggiore di x: caramba)
n!/b^n --> +oo , n-->+oo , se b>1 (n!=n(n-1)... 2, n!/b^n = n/b (n-1)/b... 2/b 1/b sia m il piu'
grande intero piu' piccolo di b
n!/b^n > n (m/b...2/b (1/b)^2): caramba)
n!/n^n --> 0 , n-->+oo (n!/n^n = n/n (n-1)/n ... 1/n < 1/n: caramba)
b^n/n^a --> +oo, n -->+oo, se b>1 e a>0 (restrizione ad N di b^x/x^a)
- Principio del confronto per il rapporto di somme di infiniti o del rapporto di somme di infinitesimi
un rapporto R esprimilbile come (A+ o(A))/(B+o(B)) per x-->p si comporta come A/B per x -->p
-Limiti dei principali rapporti incrementali
sinx/x --> 1 , x-->0
(1-cosx)/x^2 -->1/2, x-->0
(e^x-1)/x -->1 , x-->0 e per sostituzione log(1+y)/y -->1 , y-->0.
DIM.: dimostrazioni, che gia' non compaiono nell'enunciato, di alcuni dei risultati sopra elencati
e^x --> e ^p , x-->p in R e' equivalente a e^x - e^p --> 0, ma e^x-e^p =e^p(e^{x-p} -1) posto x-p=y
per n>-y (1=y/n)^n e' crescente, si ha:
per n > - y e^y > (1+y/n)^n, sostituendo - y a y nella stessa diseguaglianza e passando ai reciproci
per n > y 1/(1-y/n)^n > e^y
quindi
per n > |y| 1/(1-y/n)^n - 1> e^y - 1 > (1+y/n)^n - 1
poiche' A^n-B^n=(A-B)(A^{n-1} + A^{n-2}B + ...+ B^{n-1})
per n>|y| y/(n-y) (n addendi ognuno -->1 per y-->0) > e^y -1 > y/n (n addendi ognuno -->1 per y-->0)
Quindi si conclude con i carabinieri.
sin x --> sin p, x-->p in R,
sinx - sin p=
sin ((x+p)/2+(x-p)/2) - sin (x+p)/2-(x-p)/2 = sin((x+p)/2)cos((x-p)/2) +sin((x-p)/2)cos((x+p)/2) - sin((x+p)/2)cos((x-p)/2) + sin((x-p)/2)cos((x+p)/2) =
= 2 sin((x-p)/2)cos((x+p)/2)
per cui |sinx - sin p | <o= 2|sin ( (x-p)/2)|
ma |sin t|<o = |t| (il segmento che congiunge una corda e' minore della lunghezza della corda) per cui |sinx - sin p | <o= |x-p|.
b^x -->+oo , x-->+oo, se b>1 b^x= e^{xlog b} , y=xlog b >0, e^y > (1+y/n)^n> 1+y.
b^x/x^a --> + oo, x -->+oo, se b>1 e a >0
sia m>a, m in N : per x>1 x^a < x^m
b^x= e^{xlogb} > ( 1+ xlog b/(m+1))^{m+1} poiche' xlog b>0
quindi
b^x/^a > ( polinomio in x di grado m+1)/x^m = x (logb/(m+1) + o(1))-->+oo per x -->+oo.
radice n-sima {n} -->1, n-->+oo radice n-sima {n} = e^{1/n log n} 1/nlog n e' restrizione di y= 1/x
log x -->0 per x-->+oo
per continuita' e^y--> e^0 =1
sinx/x --> 1 , x-->0 poiche' x e sin sono funzioni dispari sinx/x=|sin x|/|x|
|sinx|/|x| <o= 1 ( la corda ae' piu' lunga del segmento che congiunge i suoi estremi)
per |x|< pig/2 |tan x|/|x| >o= 1 (il settore sotteso dall'arco del cerchio unitario di lunghezza |x| ha area |x|/2 minore
dell'area del triangolo di base il raggio unitario e di altezza tan x che ha area |tan x|/2)
quindi |cos x | <o= sin x/x <o= 1 carabinieri.
(1-cosx)/x^2 -->1/2, x-->0 (1-cosx)/x^2= (1-(cosx)^2)/x^2 1/(1+cos x) = (sin x/x)^2 1/(1+cos x) -->1 /2 per x-->0
poiche' per |x|<1 cos x=+rad{1-(sin x)^2} -->1 per x-->0 essendo la radice continua in quanto inversa di una continua.
(e^x-1)/x -->1 , x-->0 come sopra osservato per n > |x|
x/(n-x) (n addendi ognuno -->1 per x-->0) > e^x -1 > x/n (n addendi ognuno -->1 per x_->0)
si ottiene dividendo per x>0, rispettivamente per x<0,
1/(n-x) (n addendi ognuno -->1 per x-->0) > ( e^x -1)/x > 1/n (n addendi ognuno -->1 per x_->0)
1/(n-x) (n addendi ognuno -->1 per x-->0) < ( e^x -1)/x < 1/n (n addendi ognuno -->1 per x_->0)
si conclude con i carabinieri.
log(1+y)/y -->1 , y-->0. log(1+y)=g(y)=x , g(y)=0 solo per y=0, f(x) = x/(e^x-1) log(1+y)/y =f(g(y)): sostituzione.
E ora un classico della sostituzione
se f--> a , g-->+oo e f/g-->0 per x-->p allora (1+ f/g)^g --> e^a per x-->p se a in R
--> +oo se a=+oo
--> 0 se a=-oo
(1+f/g)^g = e^{g log (1+f/g)} = e^{ f g/f log(1+f/g)} =e^{ f 1/(f/g) log (1+f/g)};
per sostituzione, essendo per i limiti notevoli F(y)= 1/y log(1+y), F(0)=1 continua,
y=f/g, si ha 1/(f/g) log (1+f/g)-->1;
quindi z=g log(1+f/g)--> a, ancora per sostituzione dai limiti notevoli infiniti o dalla continuita'
di e^z si ottiene il limite.
un altro modo di vedere la cosa (1+fh)^{1/h} con f-->a, h-->0 e fh-->0, o anche
F^g con g(1-F)-->a, g-->+oo, F-->1.
18-2-10 esercitazione 29 (minuti 30)
limite di x + sin(log(x +1) +e^x) per x-->+oo
limite di x sin(log(x +1) +e^x) per x-->0
non esistenza del limite di 1/x per x -->0
limite di [sin (x log(tan^2 x) + log(1+x)]/[x log(tan^2 x) + log(1+x)] per x -->0
esempio di non validita' del principio di sostituzione (detto solo a voce a lezione):
con le notazioni dell'enunciato
q=2
f (y) = 3 se y diverso da 2 , f(2)= 4
lim f(y) = 3 =L per y -->2=q
p=0
g(x) = 2 =q per ogni x
lim g(x) =2 =q per x-->0=p
f(g(x))= f(2) =4 per ogni x
quindi
lim f(g(x)) =4 diverso da 3 che e' L per x-->0=p
22-2-10 lezione 35 (ore 1 e minuti 30)
Studio dell'immagine di una funzione e compendio sulle funzioni continue
Nella lezione 32 dopo avere esposto i fatti principali per lo studio delle ``gobbe e dei su e giu' '' di un grafico si sono iniziati ad affrontare i problemi relativi alla surgettivita' delle funzioni, a com'e' fatta la loro immagine piu' in generale, studiando valori di massimo o minimo e punti di massimo o minimo.
Si e' visto che preliminare allo studio delle derivate era lo studio della continuita' grazie al teorema di Weiestrass e al teorema degli zeri.
Il concetto di continuita' e' stato introdotto in astratto nella lezione 24 (capitolo 5): si osserva che grosso modo una funzione e' continua su ``un insieme tutto di un pezzo'' quando il suo grafico su tale insieme e' anch'esso ``tutto di un pezzo''.
Ora si completa il quadro delle funzioni continue.
COME COSTRUIRE FUNZIONI CONTINUE
- le funzioni che assumono un solo valore sono continue
- x--> x x in uno spazio metrico e' continua
- x-->1/x x in R\{0} e' continua DIM. |1/x-1/p| = |p-x|/|xp| se x-->p tende a 0.
- (x,y) --> x+y e' continua DIM. |x+y -(a+b)| <o= | x-a| +|y-b|
- (x,y) --> xy e' continua DIM. | xy-ab|=|xy-xb +xb-ab| <o= |x||y-b| + |x-a||b|
- le funzioni derivabili con derivata finita sono continue
DIM. nel caso vale l'approssimazione lineare
[f(x) - f(b) - f'(p) (x-p)] / (x-p) --->0 per x-->p e in particolare f(x)---> f(p) per x --> p.
- le funzioni convesse sono continue nei punti interni (si tralascia la dimostrazione).
-COMPOSIZIONE DI FUNZIONI CONTINUE E' CONTINUA:
se g:A-->B e' continua in q e
f: C-->A e' continua in p ,
f(p)=q allora
x--> g(f(x)) e' continua in p
OSSERVAZIONE si ottiene per composizione che i polinomi in piu' variabili sono funzioni continue,
cosi come le funzioni date da rapporto di polinomi (ove siano non nulli i denominatori).
In particolare le funzioni lineari (m polinomi di grado al piu' 1 nelle n variabili) da R^n ad R^m sono continue.
Si osserva che una funzione lineare e' continua se e solo se e' continua nell'origine :
|L(x)-L(y) | = |L(x-y)|
- se n funzioni f_1 ... f_n sono continue sullo stesso dominio la funzione vettoriale
F(x)=(f_1(x) , ..., f_n (x)) e' continua
( |F(x) -F(y)| = radq ( (f_1(x) -f_1(y))^2 + .... ) < o= |f_1(x) -f_y(y)| +...).
- le inverse di funzioni continue su intervalli a valori reali sono continue, vale infatti:
Teorema Ogni funzione strettamente monotona e' iniettiva.
Se f e' continua su un intervallo I ed e' iniettiva in I allora
1- e' strettamente monotona in I
2- la sua inversa e' continua sull'intervallo im_I f
OSSERVAZIONI:
- da quanto detto le funzioni radici sono tutte continue, e avendo dimostrato la continuita' delle funzioni trigonometriche le inverse delle loro restrizioni sarebbero tutte continue, cosi come il logaritmo avendo la continuita' dell'esponenziale.
-Che il dominio sia tutto di un pezzo e' necessario: si pensi alla funzione eguale ad x in [0,1)
e a -x+2 su (1,2): continua iniettiva ma non monotona sul dominio , quindi anche prendendo la funzione eguale ad x su [0,1) e eguale a x-2 su [3,4] si avrebbe addirttura una funzione continua strettamente crescente con immagine l'intervallo [0,2] ma con inversa non continua in 1.
Se poi la funzione non e' continua si modifica il primo esempi in un punto e si considera la funzione definita su [0,2) eguale ad x fino ad 1 e per valori maggiori di 1 eguale a -x+2.
-La dimostrazione si basa sul teorema del valor medio.
- Per ottenere in altri ambiti piu' generali questo teorema la proprieta' rilevante del domino garantita dall'ipotesi non e' semplicemente che sia tutto di un pezzo ma che il grafico ``non si avvolga su se stesso'': il tempo quotidiano misurato dalla lancetta delle ore di un orologio da' una bella funzione iniettiva dalla circonferenza al segmento [0,12) che e' iniettiva ma non continua nella posizione mezzogiorno/mezzanotte, pur essendo l'inversa continua.
In termini piu' concisi la funzione t-->(cos t , sint) e' continua iniettiva su [0,2 pig ) ma la sua inversa non e' continua: se mi avvicino al punto (1,0) con ordinata positiva ottengo 0, con ordinata negativa 2 pig .
Teorema
le funzioni continue da uno spazio metrico (M,d) ad uno spazio vettoriale (V,D) munito di una distanza
D invariante per traslazioni e positivamente omogenea (lezione 9) sono uno spazio vettoriale
DIM: D(f(x)+g(x), f(y)+g(y))= D(f(x)-f(y) +g(x), g(y))= D(f(x)-f(y) +g(x)- g(y), O_V) < o =
D(f(x)-f(y), O_V) + D(g(x)- g(y), O_V) = D(f(x),f(y)) +D(g(x),g(y))
Ripetiamo quindi gli enunciati dei teoremi del valore inetrmedio (lezz. 24 e 32)
e del teorema di Weiestrass (lez. 32) e i loro corollari utili per avere la surgettivita' e determinare l'immagine di una funzione reale di variabile reale.
Teorema (degli zeri o del valore intemedio: surgettivita')
Se f e' continua su [a,b] e assume valori di segno opposto agli estremi
allora in un punto intermedio si annulla.
Cio' e' equivalente ad affermare che
Una funzione continua f su un intervallo I
ha immagine su I che e' a sua volta un intervallo che contiene ( inf_I f ; sup_I f).
(in altri termini una funzione continua su un intervallo assume tutti i valori compresi tra il suo estremo superiore e il suo estremo inferiore.)
Corollario Se f e' una funzione continua su R per cui sup f=+oo e inf f = -oo allora f e' surgettiva.
OSSERVAZIONI:
Si osserva che se assume anche massimo e minimo allora si ha Im_I f =[inf_I f, sup_I f].
La condizione che la funzione si definita su un intervallo e' necessaria in quanto un intervallo e' ``tutto di un pezzo''.
Il teorema dice quindi che
le funzioni continue trasformano insiemi tutti di un pezzo in insiemi tutti di un pezzo.
Ora i sottoinsiemi di R tutti di un pezzo sono giusto giusto gli intervalli. Ma in altri ambiti gli insiemi tutti di un pezzo sono piu' complicati, le funzioni continue no e continuano a trasformare insiemi tutti di un pezzo in inisemi tutti di un pezzo.
Teorema (Weierstrass: massimi minimi)
Una funzione continua f definita su un intervallo chiuso (con gli estremi) e limitato
(estremi finiti) [a, b] cioe' un segmento con estremi
(ma basta un'unione finita di segmenti chiusi)
e' limitata su [a,b] anzi assume valore massimo e valore minimo su [a,b].
Corollario se f e' continua su un intervallo (a, b) anche non limitato e
inf f < A, B< sup f (diseguaglianze strette)
f--> A per x--> a f---> B per x--> b
allora
f assume massimo e minimo su (a,b) e
im_(a,b) f = [ min_(a,b) f , max_(a,b) f ]
Derivate e primitive
Definizione: si dice che F e' primitiva di f su un inisme A se F e' derivabile su A e F'= f.
Teorema
Se F e' una primitiva di f su I intervallo allora
al variare di c in R le funzioni x--> F(x) +c sono tutte le primitive sull'intervallo
Se F e' una primitiva di f su A che sia unione di una successione di intervalli disgiunti I_1, I_2 ...
al variare della successione di numeri c_1, c_2 ... le funzioni
G(x) = F(x) + c_n quando x stia in I_n
sono tutte le primitive su A.
TABELLA DERIVATE .
la derivata di una funzione che assume solo un valore e' 0.
la derivata di una f(x)=x e' 1,
la derivata di sin x in p e' cos p,
la derivata di cos x in p e' - sin p,
la derivata di e^x in p e' e^p.
DIM.: sin x-sin p=
sin ((x+p)/2+(x-p)/2) - sin (x+p)/2-(x-p)/2 = sin((x+p)/2)cos((x-p)/2) +sin((x-p)/2)cos((x+p)/2) - sin((x+p)/2)cos((x-p)/2) + sin((x-p)/2)cos((x+p)/2) =
= 2 sin((x-p)/2)cos((x+p)/2)
(sinx - sin p)/(x-p) = sin ((x-p)/2) / ((x-p)/2) cos((x+p)/2) ---> 1 cos p=cos p per , x-->p (limite notevole sint/t -->1, t-->0, e continuita' coseno)
(e^x - e^p)/(x-p) = e^p ( e^{x-p} -1)/(x-p) --->1 , x-->p ( x-p= t e limite notevole (e^t-1)/t -->1, t-->0)
REGOLE DI DERIVAZIONE
derivata della somma
- se f e g sono derivabili in un punto con derivata finita e r in R allora f+rg e' derivabile nel punto con
derivata finita e (f+rg)' = f' + r g'
in altre parole
le funzioni derivabili in un punto e con derivata finita sono uno spazio vettoriale e la derivata e' una trasformazione lineare da questo spazio su R.
le funzioni derivabili in ogni punto di uno stesso intervallo e con derivata finita sono uno spazio vettoriale e la derivata e' una trasformazione lineare da questo spazio allo spazio vettoriale di tutte le funzioni sull'intervallo dato (trasformazione non surgettiva! gli interessati chiedano)
(se poi una o entrambe le derivate in un punto di f e di rg sono infinite, nel caso con infiniti dello stesso segno, la formula e' ancora valida).
derivata del prodotto
- se f e g sono derivabili con derivata finita allora fg e' derivabile con derivata finita nel punto e (fg)' = f'g + f g'
(se poi una o entrambe le derivate in un punto di f e di g sono infinite, e nel punto almeno una delle due funzioni sia continua e diversa da 0, la formula e' ancora valida a patto che gli infiniti che vi compaiono siano dello stesso segno).
derivata della composizione e regola della catena
- sia g una funzione con immagine di un intorno di un punto q contenuta nel domino di una funzione f:
se f e' derivabile con derivata finita in g(p) e g e' derivabile con derivata finita in p allora x-->f(g(x)) e'
derivabile in p e (f(g(p))' =f'(g(p)) g'(p)
(se poi f ' (g(p)) e' non nulla g '(p) puo' essere infinta e la formula e' ancora valida;
se piuttosto f '(g(p)) e' infinita con f continua in g(p) con
g derivabile in tutto un intorno di p e con derivata continua in p e nonnulla la formula e' ancora valida)
regola della catena y=g(x) d(f(g))/dx = df/dy dy/dx
derivata del reciproco
- se f e' derivabile e continua in punto allora 1/f e' derivabile nel punto e (1/f)' = - f'/f^2
- se f e g sono derivabili in un punto con derivata finita allora f/g e' derivabile nel punto con derivata finita e (f/g) '= (f'g -fg')/g^2
derivata della funzione inversa
- se f e' una funzione invertibile e continua in un intorno di p quindi monotona strettamente
se f e' derivabile in p allora f^{-1} (la funzione inversa nell'intorno) e' derivabile in q=f(p) e
(f^{-1} )' (f(p)) = 1/f'(p) cioe' (f^{-1})' (q)= 1/f' (f^{-1} (q))
(se f'(p)=0 l'uguaglianza si intendera' con -oo se f e' decrescente, con +oo se f e' crescente, se f'(p)=oo l'uguglianza e' con 0)
y=f(x) dy/dx = 1/ dx/dy
OSSERVAZIONE: In effetti se si considera che il grafico dell'inversa e' simmetrico rispetto alla bisettrice del grafico della funzione , poiche' la retta ad esso
tangente sara' la simmetrica della tangente al grafcio della funzione nel punto simmetrico, tali rette dovranno avere coefficenti angolari
che siano uno il reciproco dell'altro.
DIM.:
somma: si basa sul fatto che il rapporto incrementale della somma e' la somma dei rapporti incrementali
e il limite di una somma e' la somma dei limiti
prodotto: si esprime il rapporto incrementale in p del prodotto, aggiungendo e togliendo al numeratore f(p)g(x), come g(x) rapporto incr. di f + f(p) rapporto inc. di g e quindi passando al limite per x-->p
regola della catena: non si da la dimostrazione ma due argomenti intuitivi
argomento algebrico:
rapporto incrementale di f(g(x)) in p = (f(g(x)) - f(g(p))/(x-p) =
dividendo e moltiplicando per g(x) - g(p)
=(f(g(x) )- f(g(p)))/ (g(x) -g(p)) (g(x)-g(p))/ (x-p)
se si potesse usare il principio di sostituzione dei limiti nel primo fattore facendo il limite per x-->p
g(x)-->g(p) e si concluderebbe
argomento concreto:
f=f(y) e' una grandezza che dipende da x tramite un'altra grandezza y=g(x)
la variazione di f rispetto a x = df/dx = df/ dy dy/dx
reciproco: per esempio prima si deriva 1/x in p:
(1/x-1/p)/(x-p) = (p-x)/ xp 1/(x-p) = -1/xp --> - 1/p^2 per x -->p
oppure 1= x 1/x derivando ed usando la regola del prodotto
0 = (x)' 1/x + x (1/x)' = 1/x +x (1/x)' per cui (1/x)' = -1/x^2
quindi si usa la regola della catena per derivare 1/f vista come composizione di F(y) = 1/y e f(x).
inversa: poiche' f(f^{-1} (x)) =x derivando e usando la regola della catena
si ha f ' (f^{-1}(x)) (f^{-1})' (x) =1
argomento geometrico:
il grafico dell'inversa { (x, f^{-1} (x)) : x in Im f= dom f^{-1} } = { (f(t) , t) : t in dom f} rispetto all'asse delle x e' il simmetrico rispetto alla bisettrice del terzp e primo quadrante del grafico di f rispetto all'asse delle x;
la derivata di f^{-1} in un punto p in dom f^{-1} =Im f
e' la pendenza della retta tangente nel punto (p, f^{-1} (p))
ma questa e' la simmetrica rispetto alla bisettrice della retta tangente al grafico di f
nel punto (f^{-1} (p) , p) che ha come coefficiente angolare f'(f^{-1} (p))
ma il coefficiente angolare del simmetrico di una retta rispetto alla bisettrice e' il reciproco
del coefficiente angolare
Teorema (non dimostrato) L'unica funzione per cui
f ' (x) = f(x) per ogni x
f(0) =1
e' f(x)= e^x
22-2-10 esercitazione 30 (minuti 30 )
Derivazione di |x|, log x, log |x|, x^p (x>0 p reale), arsin x, b^x.
Derivazione log|sinx|
Primitive di (cos x)/(sin x)
Giustificazione con l'uso delle derivate dei noti grafici di e^x, log x, x^2, b^x
Per disegnare il grafico di un'esponenziale b^x la base si individua dal coefficiente angolare della retta tangente al grafico nel punto (0,1) del grafico
Studio del grafico di f(x) = arsin 2x/(1+x^2)
dominio x per cui 2x/(1+x^2) e' tra -1 ed 1 = tutta la retta
simmetrie e segno : f(x)= - f(-x)
dove ha derivata finita la funzione arcoseno per poter applicare la regola della catena senza problemi:
ove l'argomento dell'arcoseno e diverso da 1 e -1 quindi 2x diverso da 1+x^2 cioe' |x| non = 1
qui si ha
f ' (x) = d arsin/ dy | y= 2x/(1+x^2) (2x/1+x^2)) ' = ... = 2 (1-x^2)/|1-x^2| 1/(1+x^2)
si nota che ove 2x/(1+x^2) =1 cioe' x=1, la derivata di 2x/(1+x^2) e' nulla e quindi la reogla della catena non si puo' applicare
per x= 1 si puo' invece cercare di calcolare direttamente il limite del rapporto incrementale
e vedere se esiste f'(1)
R1f(x)=rapporto incrementale di f in 1 calcolato in x= (Lagrange ) f ' (p) p tra 1 e x e da loro diverso
si osserva che
f'(p) --> 1 se p-->1 e p<1
f'(p) --> - 1 se p--> 1 e p >1
quindi R1f(x) non ha limite
la derivata per x= 1 non esiste
nel punto (1, pig/2) del grafico vi e' un punto angoloso
la tangente nel punto su x<1 ha pendenza 1
la tangente nel punto su x>1 ha pendenza -1
23-2-10 esercitazione 31 (ore 2 )
Ripetizione:
studio del grafico di f(x) = arsin 2x/(1+x^2)
studio degli intervalli di convessita' tramite monotonia della derivata prima
e quindi facendo la derivata seconda
Esemplificazione della regola della catena e della derivata dell'inversa con la notazione di Leibniz
derivata = limite rapporti incrementali = limite rapporto delle d-ifferenze finite=
= rapporto delle d-ifferenze infinitesime = dy/dx (x)
f^{-1}(x) = y(x)
x(y) = f(y)
dy/dx (x) = 1/( dx/dy (y))
y(x)
x(t)
y(x(t))
dy/dt = dy/dx dx/dt = dy/dx (x(t)) dx/dt (t)
Derivate di: tan x, artan x
Derivabilita' di f(x) = (x^x)^x per x>0 ed f(0)=1
Se f(x,y,z) = (y + x artan (z+y)/ (1+x^2)) sin[(y+z)/(1+x^2)]
calcolare la derivata rispetto ad x in (0,1,-1)
calcolare la derivata rispetto ad x in (0,1,2)
se si pone G_{y,z} (x) =f(x,y,z) si tratta di calcolare la derivata in 0 delle due funzioni G_{1, -1} e G_{1,2}
ma G_{1,-1} (x) = 0 per ogni x quindi la drivata e' nulla
G_{1,2} (x) = (1+ x artan 3/ (1+x^2)) sin[3/(1+x^2)]
derivando e considerando che alla fine si deve porre x=0
G_{1,2} ' = (x artan 3/ (1+x^2)) ' sin[3/(1+x^2)] +(1+ x artan 3/ (1+x^2)) {sin[3/(1+x^2)]} ' =
= (artan 3/ (1+x^2) + x...) sin[3/(1+x^2)] + (1+ x artan 3/ (1+x^2)) {cos [3/(1+x^2)]}[3/(1+x^2)] '
= (artan 3/ (1+x^2) + x...) sin[3/(1+x^2)] + (1+ x artan 3/ (1+x^2)) {cos [3/(1+x^2)]}[(-6x)/(1+x^2)^2]
G_{1,2} ' (0) = artan 3 sin 3
Tra i trapezi retti iscritti nella semicirconferenza di raggio 1 trovare l'area massima.
Sia x tra 0 ed 1 la semilunghezza della base minore si ha:
Area= A(x) = (x+1) radq (1-x^2)
e' una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato quindi assume il valore massimo
il valore massimo va cercato tra i valori di A(p) ove p:
1- e' agli estremi del dominio p= 0, 1
2- e' un punto ove la funzione non ha derivata finita p=1
3- e' un punto ove c'e derivata ed e' nulla ... calcolo della derivata .... p=1/2
quindi il massimo di A = max { A(0), A(1), A(1/2)} = max {1, 0 , 3 radq 3/ 4} = 3 radq 3/4
OSSERVAZIONE
a priori si poteva dire che il trapezio che da l'area massima era il mezzo esagono regolare iscritto nel cerchio (simmetria)
in effetti questo trapezio corrisponde a x=1/2
25-2-10 lezione 33 (minuti 20)
- Ripasso (cfr. lezione 19): surgettivita' ed iniettivita'
iniettivita' di f sul dominio I = per ogni b vi e' al piu' una soluzione a in I dell'equazione f(a)=b
surgettivita' di f sul dominio I nel codominio C= per ogni b in C vi e' almeno una soluzione a in I
dell'equazione f(a) =b
sui grafici di funzioni reali di variabile reale
iniettivita' di f sul dominio I = per ogni b vi e' al piu' un punto di intersezione tra la retta orizzontale
(x,b) : x in R e il grafico (x, f(x)) x in I
surgettivita' di f sul dominio I nel codominio C= per ogni b vi e' almeno un punto di intersezione tra la
retta orizzontale (x,b) : x in R
e il grafico (x, f(x)) : x in I
per l'iniettivita' se I e' un intervallo :
spesso conviene provare che la funzione e' monotona per esempio con il segno della derivata
per la surgettivita' se I e' un intervallo e C e' un intervallo:
se f e' continua si calcolano l'estremo superiore ed inferiore di f su I e
se coincidono con quelli di C si usa il teorema del valore intermedio
- Per lo studio di grafici di una funzione reale di variabile reale vi e' un'ultima analisi interessante: si tratta dello studio del grafico al limite negli estremi del domino o in punti dello stesso interessanti nei casi particolari che possono essere in esame e il suo confronto con grafici di funzioni note.
Per esemplificare la problematica piu' semplice ci si puo' chiedere se il grafico di f in un introrno di infinito puo' stare sotto una retta y=ax+b,
per qulache a e b f(x) < o= ax +b intorno a +oo.
O se il grafico di una funzione che ha valore minimo 0 assunto in un punto p nell'intorno di p sta sotto ogni parabola y= a(x-p)^2 ( con a>0) nell'intorno di p,
per ogni a>0 f(x)< a(x-p)^2 nell'intorno di p.
Questo tipo di problema si risolve in molti casi con il calcolo di un limite.
Nel primo esempio la risposta e' positiva se
f(x)/x --> L<+oo per x-->+oo in particolare risulta f e' O (x) in +oo
nel secondo se
f(x)/(x-p)^2 -->0 per x-->p ovvero f e' o( (x-p)^2) in p
Si osservi che nel primo caso non e' detto sia presente alcun asintoto obliquo:
e.g. il grafico di f(x) = x + log x non puo' avere asintoti obliqui a +oo (f(x) -x-->+oo) pur stando sotto tutte le rette y=mx (m>1) intorno a +oo poiche' f/x --> 1 per x-->+oo.
In generale si tratta di ``confrontare asintoticamente'' una funzione con certe altre note, e per questo e' sufficiente calcolare (se esistono) i limiti dei rapporti e vedere se sono finiti o nulli o meno.
Funzioni tipiche di confronto sia all'infinito che in p=0 sono
e^x, e^{ax^s}, |x|^s , |log x|^q, loro prodotti.
Va osservato che la notazione di Landau deve scriversi specificando nell'intorno di quale punto si stanno confrontando le grandezze:
e.g. x e' o(x^2 ) in +oo
ma x^2 e' o(x) in 0.
Va menzionata la funzione f(x)= e^{-1/x^2} se x non 0 e f(0)=0 essa ha la particolarita'
f(x)/x^n --->0 per x-->0 qualsiasi sia l'esponente n della funzione potenza con cui si fa il confronto.
- Per quanto riguarda in particolare gli asintoti obliqui ( o orizzontali)
si fa una richiesta diversa che puo' sembrare piu' forte:
data f(x) si chiede di trovare due numeri a e b per cui
f(x) -ax -b ---> 0 per x--> +oo ( oppure - oo)
Ora se f'(x) --> a per x-->+oo necessariamente l'eventuale asintoto obliquo deve avere coefficiente
angolare a
Ma non e' detto che l'asintoto obliquo ci sia (e.g. f(x) = x+ log x )
D'altronde l'asintoto obliquo ci puo' essere senza che la derivata converga (vedere esercitazione).
Anche se f(x)/x --> a per x-->+oo , cioe' (f(x) -ax)/x --> 0 per x-->+oo puo' non esserci asintoto obliquo
(e.g. f(x) = x + log x).
Se invece c'e' asintoto obliquo f(x) - ax -b -->0 per x --> +oo, a maggior ragione
[f(x)-ax - b]/x --->0 per x-->+oo e quindi poiche' b/x --> 0 {f(x)-ax}/x -->0 cioe' f(x)/x --> a.
25-2-10 esercitazione 32 (ore 1 minuti 40 )
-Studio del grafico di f(x)= e^x/x
-Studio del grafico di f(x) = radq[( 1+x^4)/(x^2-1)]
-Asintoti obliqui
3x + 5 + sin (x^2) /x ha asintoto obliquo per x-->+oo ma la derivata non converge per x-->+oo
-Funzione con asintoto obliquo e non monotona su semirette
3x+5 + sin(x^4)/x
-Data f(x)= x^{11} + 3x^5 - x^3 + 3x
a- provare che e' iniettiva e surgettiva
b- detta g la sua inversa calcolare g'(6)
c- calcolare g"(6)
- I polinomi di grado dispari sono surgettivi su R.
teorema del valore intermedio
- I polinomi di grado pari non sono surgettivi su R.
corollario alla fine del secondo capitolo della lezione 32, ripetuto nella lezione 35
-Le funzioni trigonometriche non possono essere calcolate da polinomi:
perche' hanno immagini limitate da -1 ed 1 mentre i polinomi hanno immagini rette o semirette;
per altro i grafici delle funzioni trigonometriche intersecano le rette orizzontali o in infiniti punti o in nessun punto, mentre i grafici di polinomi intersecano tali rette in un numero finito di punti.
-La funzione e^x non puo' essere calcolata da polinomi:
in effetti si era detto che la successione del tasso di interesse composto
(1+x/n )^n e' crescente per n > -x e il suo limite per n -->+oo e' proprio e^x
ma allora per x >0 e^x> (1+x/n)^n per ogni n cioe' di un polinomio di grado n grande a piacer
nostro
quindi preso un polinomio qualsiasi P(x) se n > deg P vi sara' una soglia M per cui se x >M
(1+x/n)^n > P(x) . In particolare per tale P e^x > P(x) per x >M.
1-3-10 lezione 34 (ore 1) Riferimenti: [EB] cap. 9 pagg. 244-251, cap.10 pagg. 320-324 (sviluppi in serie), ;[MA1] cap. 5 pagg. 226-242 (l'approccio e' un po diverso da quello dato a lezione), 243-248 (de L'Ho^pital), pagg.259-269 (Taylor) ;[BDM] cap. 8 pagg.302-312, 313-314, 319-323;[IRS] cap 2 pagg. 58-76;
[VV] cap.7 pagg. 150-152, 159-169.
APPROSSIMAZIONE LINEARE LOCALE
Una funzione f ha derivata finita in a se e solo se
[f(x) - f(b) - f'(b) (x-b)] / (x-b) --->0 per x-->b
si usa la propritea' dei limiti per cui una quantita' tende ad un limite finito se essa meno questo valore tende a zero.
Approssimazione lineare:
quindi l'esistenza della derivata finita in b e' una proprieta' piu' forte della semplice esistenza geometrica della retta tangente al grafico in (b,f(b)). In effetti l'esistenza di f'(b) equivale a dire che si sbaglia poco a fare il cammino ( t, f(t)) percorrendo la retta tangente con velocita' costante (1, f'(b)) (percorrendola in modo ``lineare affine'' ):
f(x) = f(b) + f'(b) (x-b) + r(x) con r(x)/(x-b) --->0 per x-->b
cioe' la funzione si puo' approssimare con una funzione affine (polinomi di grado al piu' 1 nella variabile) ed un errore ``percentualmente infinitesimo'' (rispetto all'errore di approssimazione di b con x nel dominio).
APPROSSIMAZIONE POLINOMIALE LOCALE: TEOREMA DI TAYLOR
Definizione: polinomio di Taylor di grado (minore eguale a) n e di centro p di f:
P(y)= f(p) +f'(p) y +... 1/k! f^(k)(p) y^k +... + 1/n! f^(n) (p) y^n.
Teorema (sviluppo di Taylor):
Sia f una funzione derivabile n-1 volte su un intervallo I, sia p in I, e vi sia la derivata n-sima di f in p finita.
1- esiste un unico polinomio P(y) di grado minore eguale a n per cui
(f(x)- P(x - p))/(x-p)^n -->0 x-->p
2- tale polinomio e' f(p) + f'(p)y + 1/2f''(p) y^2 +... + 1/k! f^(k) (p) y^k +...+ 1/n! f^(n)(p) y^n .
In altri termini
f(x)= P(x-p) + o ((x-p)^n) = f(p) + f'(p)(x-p) + 1/2f''(p) (x-p)^2 + .... + 1/n! f^(n)(p) (x-p)^n + o((x-p)^n)
x--->p
il resto f(x) - P(x-p) come o ((x-p)^n) si dice Resto di Peano.
3- Se poi in tutto I vi e' la derivata (n+1)-esima allora per ogni x in I si puo' esprimere tale resto in maniera piu' determinata
esiste uno z compreso strettamente tra p ed x per cui
f(x) =f(p) + f'(p)(x-p) + 1/2f''(p) (x-p)^2 + .... + 1/n! f^(n)(p) (x-p)^n + 1/(n+1)! f^(n+1) ( z)(x-p)^(n+1)
il resto espresso nella forma 1/(n+1)! f^(n+1) ( z) (x-p)^(n+1) z strettamente compreso tra z e p
si dice Resto di Lagrange di ordine n e centro p.
OSSERVAZIONE: la dimostrazione si basa sull'uso ripetuto del teorema di Cauchy
OSSERVAZIONE: l'unicita' e' di fondamentale utilizzo pratico (si veda l'esercitazione) per trovare polinomi di Taylor di funzioni composte sostituendo polinomi di Taylor nelle variabili di altri polinomi di Taylor. Tutta l'abilita' e' nel mettere nel resto tutto quanto deve essere trascurato per semplificare i calcoli
per ottenere
funzione in x= polinomio in x-p di grado minore eguale ad n +o(x-p)^n:
per unicita' il polinomio in evidenza sara' quello cercato.
POLINOMI DI TAYLOR DI ALCUNE FUNZIONI DI BASE.
La funzione derivata di una funzione pari e' una funzione dispari, mentre la derivata di una funzione dispari e' una funzione pari.
Per una funzione dispari: le derivate di ordine pari saranno dispari, quelle di ordine dispari saranno pari.
Per una funzione pari : le derivate di ordine pari saranno pari, quelle diordine dispari saranno dispari.
Inoltre una funzione dispari continua in 0 si deve annullare in 0.
Quindi nello sviluppo di Taylor centro 0 di una funzione pari compaiono solo derivate di ordine pari, che sono pari, essendo quelle
di ordine dispari dispari e quindi tutte nulle in 0.
Nello sviluppo di una funzione dispari centro 0 compariranno similmente solo le derivate ordine dispari, che sono pari, essendo quelle
di ordine pari dispari e quindi tutte nulle in 0.
Quindi per funzioni pari lo sviluppo di ordine 2m coincidendo con quello di ordine 2m+1 ha un resto (di Lagrange) di ordine infinitesimo O(x^{2m+2}) piuttosto che solo O(x^{2m+1})
Similmente per funzioni dispari lo sviluppo di ordine 2m+1 coincidendo con quello di ordine 2m+2 ha un resto (di Lagrange) di ordine O(x^2m+3) piuttosto ch esolo di ordine O(x^{2m+2}).
sin x =
x - x^3/6 + x^5/120 + .... + (-1)^m x^{2m+1}/(2m+1)! (-1)^{m+1}cos z x^{2m+3}/(2m+3)!
cos x =
1 - x^2/2 + x^4/24 -x^6/720 + ... + (-1)^m x^{2m}/(2m)! + (-1)^{m+1} sin z x^{2m+2}/(2m+2)!
Per l'esponenziale
e^x =
1+ x +x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^5/120+x^6/720 + ..... x^n/n! + e^z x^{n+1}/(n+1)!
Sia per le funzioni trigonometriche qui sopra che per l'esponenziale i resti dei polinomi di Taylor di diverso ordine n, a x fissato,
come successione in n tendono a 0 per n-->+oo
InfattI seno e coseno di z=z(n,x) sono limitati, per e^{z(n,x)} si osserva che e' minore di 1 se x<0 o di e^x se x>0. Quindi si usa il aftto che x^M/M! -->0.
Si potra' scrivere per ogni x in R per queste funzioni
e^x = 1+ x +x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^5/120+x^6/720 + .....
sin x = x - x^3/6 + x^5/120 + ....
cos x =1 - x^2/2 + x^4/24 -x^6/720 + ...
Non sempre si puo' fare!
Per esempio
log(1+x) =
x - x^2/2 + x^3/3 -x^4/4 + ... + (-1)^{n-1} x^n/n! + (-1)^n/(n+1)x^{n+1}/(1+z)^{n+1}
per |x|<1 il resto e' infinitesimo, ma per x>1non si puo' dire.
si osserva che la sua derivata ha come sviluppo, sviluppo i cui termini sono proprio le derivate dello sviluppo di log(x+1), la serie geometrica con ragione -x di cui e' limite per |x|<1
1/(1+x) = 1 - x + x^2 - x^3 + ... + (-1)^{n-1} x^{n-1} + (-1)^n x^n/(1+x)
che in effetti per x>1 non converge.
Consideriamo f(x) = e^{-1/x^2} se x non nullo e f(0)=0
si ha f(x) = o (x^n) per ogni n in N basta ricondursi ai limiti notevoli con la sostituzione y=1/x^2.
ma allora f coincide con il suo resto di Taylor centro l'origine per ogni ordine: i suoi polinomi di Taylor sono tutti nulli.
O meglio si potrebbe dedurre cio' se si sapesse che f e' derivabile quante volte si vuole in 0.
In effetti cio' e' vero (vedi esercitazione) , quindi la f ha polinomi di Taylor.
Sicuramente tale f non e' eguale alla serie dei sui polinomi di Taylor che son tutti nulli pur essendo f non identicamente nulla!
Definizione
Una funzione f si dice analitica in un dominio D se
per ogni p in D esiste un r>0 per cui
per ogni x dist(x,p)< r
f(x)= f(p) + f'(p) (x-p) + f''(p)/2 (x-p)^2 + ... = limite dei polinomi di Taylor calcolati in x-p per n-->+oo
In altri termini le funzioni trigonometriche di base e l'esponenziale sono analitiche su R
non solo per p=0 si ha r=oo.
Regole di de l'Ho^pital.
Siano f e g derivabili con derivata finita in (a,p) allora se
-g ' e' non nulla
- f--> 0 e g--> 0 per x-->p, x<p
oppure f--> oo e g--> oo per x-->p x<p (non importa il segno)
- f' /g' --> L per x--> p
allora anche g e' non nulla (Lagrange-Rolle) e f/g--> L per x--> p, x<p.
DIM: nel caso f e g siano infinitesime non e' che un'applicazione del teorema di Cauchy alle funzioni estese con valore 0 al punto p e quindi si usa la definizione di limite o il principio di sostituzione.
Nel caso siano infinite si esprime il rapporto come reciproco dei rapporti dei reciproci.
OSSERVAZIONE: nel caso infinitesimo se f e g fossero anche derivabili in p con derivate finite non sarebbe da usare che la definizione di derivata e la regola del prodotto dei limiti per ottenere il risultato.
Corollario
Sia F derivabile con derivata finita in (a,p)U(p,b) allora se F ' --> L per x--> p
allora F e' derivabile anche in p e L =F '(p).
DIM basta usare il criterio di de l'Hopital con le funzioni f(x)= F(x) -F(p) e g(x)= x-p e siottine il rapporto incrementale di F.
OSSERVAZIONE: la motivazione piu' elementare di tale regola si basa sull'analogo per successioni (uno dei cosi detti criteri di Cesaro) e sulla preliminare osservazione
se una successione r_n -->L allora la successione delle medie dei suoi primi n termini
m_n =(r_1+ ... +r_n)/n --->L.
quindi se a_n --> oo e b_n ---> oo si riesce ad esprimere il rapporto
a_n/b_n quasi come media pesata sino al termine ennesimo della successione dei rapporti degli
incrementi di ognuna (a_n - a_{n-1})/(b_n -b_{n-1})
per cui se (a_n - a_{n-1})/(b_n -b_{n-1}) --->L anche a_n/b_n -->L .
Per anlogia tra i rapporti incrementali di una successione ((a_n - a_{n-1})/1 = a_n - a_{n-1}) e le derivate
la regola di de l'Hopital quindi non sorprende.
CENNO ALLA DERIVAZIONE DI FUNZIONI COMPLESSE DI VARIABILE COMPLESSA
Poiche' con i numeri complessi si possono fare sia rapporti come limiti si puo' dare la seguente definizione
Definizione data una funzione f: A sottoinsieme aperto di C--> C f=f(z) e p in A
si dice che f e' derivabile in senso complesso in p con derivata eguale a w se
(f(z)- f(p))/(z-p) ---> w per z--->p (cioe' Re z--> Re p, Im z-->Im p)
Nel caso si indica w con f ' (p) ovvero con df/dz |p etc. etc.
Analogamente si estendono le altre definizioni date per le funzioni reali di variabile reale.
OSSERVAZIONE : sembrerebbe che questa estensione al campo complesso della nozione di derivata perda completamente il significato geometrico di derivata come pendenza di una retta.
Quindi sembra arida estensione.
Ora pero' il potente ed elegante legame tra algebra e geometria piana costituito dai numeri complessi si rivela con questa nozione ancora piu' stringente!
Per apprezzarlo bisognerebbe vedere una f C--> C come una F : R^2 -->R^2
( z= x+ i y, F(x,y) = ( Re f(x+iy) , Im f(x+iy) ) ) e scoprire che la derivabilita' complessa
impone una condizione molto forte e particolare alla matrice delle derivate parziali di F
facendola corrispondere ad una trasformazione dal piano in se che conserva gli angoli.
Non solo le funzioni derivabili in senso complesso una volta in senso complesso nei punti di un insieme saranno derivabili infinite volte e coincideranno con le funzioni analitiche (nella variabile complessa).
1-3-10 esercitazione 33 (ore 1)
Sviluppo di Taylor di centro 1 di p(x)= x -x^3 + x^2
Usando l'unicita' del polinomio di Taylor calcolare il polinomio di Taylor di centro 0 e grado 3
di f(x)= sin{[log (1+x)]^2}
Calcolare se esiste il limite di {sin{[log (1+x)]^2} - 1 +cos x}/{e^(x^3) -1} per x--->0
Calcolare se esiste il limite di {sin{[log (1+x)]^2} - 2 +2cos x}/{e^(x^3) -1} per x--->0
La funzione f(x)= x^2 sin 1/x se x non 0 e f(0)= 0
e' derivabile in x=0
ma
la sua derivata non ha limite per x-->0
Trovare lo sviluppo di Taylor di 1/(1+x)
La funzione f(x) =e^{-1/x^2} per x non 0 e f(0)=0 e' derivabile infinite volte anche in x=0
La funzione in questione ha polinomi di Taylor di centro 0 tutti nulli
ESERCIZIO ``PRATICO'' LASCIATO: con l'ausilio di una machina calcolatrice ci si sinceri che
l'approssimazione della costante di Nepero e
con lo sviluppo di Taylor: 1+ 1/2 + 1/6 + ... + 1/n!
e' piuttosto ``migliore'' di quella definitoria
con il tasso di interesse composto: (1+1/n)^n
(all'inizio non sembra ...)
4-3-10 lezione 35 (minuti 20) CURVE E SUPERFICIE
Si fa una breve rassegna delle principali accortezze per studiare curve e superficie riducendosi grazie al calcolo differenziale e a funzioni di una variabile.
CURVE COME PERCORSI: IMMAGINI DI FUNZIONI CONTINUE DI UNA VARIABILE REALE
Un modo abbastanza semplice (matematicamente) pr avere una nozione precisa di curva
e' quello di pensarla come traiettoria di un cammino cioe' come immagine di una funzione.
Ci vuole qualche accortezza.
Definizione:
una funzione F (x)= (f(x), g(x) ...) definita su un intervallo I a valori in R^n
che sia contnua si dira' cammino.
OSSERVAZIONE
- cammini diversi possono avere la stessa immagine: e.g. F(t)= (t,t) e G(s) =(s^3, s^3)
cambia tra i due il modo di percorrere la curva immagine
- un cammino puo' ``ritornare su suoi passi'' per esempio F(x)=(x^2 , x^2)
percorrela semiretta che biseca il primo quadrante verso l'origine per x<0, e allontanandosi dal'origine per x >0
- un cammino puo' non ritornare sui suoi passi pur non essendo iniettivo: la sua curva immagine non avra' ``sovrapposizioni'' ma avra' ``autointersezioni''.
- dato che puo' essere interessante trattare traiettorie con un numero finito di autointersezioni ma non con sovrapposizioni matematicamente cio' si rende rigoroso richiedendo per esempio di trattare solo con cammini F per cui il sottoinsieme del dominio {t : vi e' s diverso da t per cui F(s)=F(t)} e' al piu' finito.
OSSERVAZIONE
Alla fine dell'800 Giuseppe Peano individuo' un procedimento iterativo che al limite dava un cammino (funzione continua definita su un intervallo) cha aveva come immagine tutto il quadrato
( per i piu' curiosi si veda per esempio http://it.wikipedia.org/wiki/Curva_di_Peano dove non viene pero' raffigurata l'originale costruzione di Peano che per certo riguardo e' frutto di piu' profonda riflessione).
Quindi per corrispondere alla nozione intuitiva di curva oltre alle accortezze riguardo l'iniettivita'
o una non iniettivita' finita e' necessario dell'altro:
la derivabilita' (tranne al piu' un numero finito di punti) in modo di avere una nozione di velocita' (non nulla) del cammino e di conseguenza una di tangenza alla curva immagine.
La ``curva di Peano'' e' il quadrato: il cammino che la percorre e' ben lungi da avere una velocita' ben definita.
Consideriamo per esempio una retta
R= {(x,y) : y= 3x +5 } come sottoinisieme del piano grafico della funzione g(x)= 3x+5
la si puo vedere come immagine della funzione F(t)= (t, 3t +5)
R={(x,y) : per qualche t x=t e y =3t +5 }
cioe' l'iniseme dei punti del tipo (t, 3t +5) per qualche t in R ,
quindi l'inisieme dei punti del tipo t(1,3) + (0,5) per qualche t in R ,
quindi la retta in questione e' percorsa con velocita' costante (1,3) (rispetto al tempo t) .
Si consideri una funzione di variabile reale a valori vettori per esempio in R^2: F(x)= (f(x), g(x));
se le sue componenti sono funzioni derivabili, con derivata finita, per x=b si indica con F'(b) il vettore che ha come componenti le derivate delle funzioni componenti : (f'(b), g'(b)).
Tale vettore delle derivate delle componenti verra' chiamato derivata di F in b ovvero
vettore velocita' (rispetto alla variabile x) istantanea nel punto F(b) ovvero al tempo b.
Si ha in effetti usando le operazioni vettoriali per componenti e il limite per componenti che
F(x) = F'(b) x +F(b) - F'(b) b + o(x-b) per x-->b
ovvero (F(x)-F(b))/(x-b) ---> F'(b) per x--> b
Nel caso si dira' che F e' derivabile in b.
Definizione
F: I intervallo ---> R^n si dice cammino derivabile a tratti se
I si suddivide in un numero finito di sottointervalli in modo che
su ognuno di questi sottointervalli compresi i suoi estremi
(a patto che non siano gli estermi di I se questi non son elementi di I)
F risulta derivabile.
e.g. F(x)= (x, |x|) e' derivabile a tratti ( i ``tratti '' sono ]-oo, 0] e [0, +oo [)
Se si considera la derivata di un cammino al tempo b e' chiaro il suo significato geometrico di limite dei vettori delle ``corde'' con ``coda'' fissata in F(b) e punta sul generico punto della curva F(x). Viene spontaneo pensare che il vettore velocita' identifichi la retta tangente nel punto F(b) della curva immagine.
Ora cio' e' vero, ripetendo le osservazioni fatte all'inizio, se il cammino e' iniettivo ma anche se la velocita' e' non nulla in quell'istante.
Teorema fondamentale
Se il vettore velocita' e' non nullo (F'(b) non= (0,0 ...)) allora
- una opportuna restrizione di F ad un intervallino centrato in b e' iniettiva
- la retta immagine del cammino con velocita' costante F(b) +t F'(b), t in R,
e' la retta tangente all'immagine di tale intervallino mediante F.
(In effetti ``si potrebbe passare'' nel punto F(b) un'altra volta con diversa direzione cfr. esercitazione
e se la velocita' si annulla in un istante si potrebbe ripartire con un angolo o peggio permettendo addirittura di ritornare sui propri passi cfr. esercitazione. E' intuitivamente chiaro che per tornare indietro sui propri passi la velocita' si deve annullare. )
Il grafico di una funzione f, rele di variabile reale, derivabile su un intervallo I
{ (x,y) : y=f(x) e x in I}
puo' esser visto (cosi come si e' fatto per la retta) come immagine del cammino
F(t) = (t, f(t)) t in I
per cui la velocita' istantanea e' sempre non nulla essendo (1, f ' (t)) vettore con prima componente diversa da zero.
4-3-10 esercitazione 34 (minuti 40)
percorrere una retta a velocita' non costante
velocita' nulla con retta tangente (t^2, t^2)
[piuttosto che questo cammino che ha come curva immagine una semiretta, la bisettrice del solo
``primo quadrante'', sarebbe stato piu' opportuno il cammino (t ^3, t ^3) che ha come immagine
tutta la bisettrice o quello ancor piu' forsennato (t sin t , t sin t) per percorrere la bisettrice. Entrambi hanno velocita' nulla per t=0.]
velocita' nulla senza retta tangente (t^3 , t^2)
cambio di cammino che da lo stesso percorso (s, |s|^{2/3})
cammino con immagine un cerchio
grafico del cammino (cos x, sin x)
unione di due grafici che siano un ``otto''
cammini con immagine un ``otto''
il vettore velocita' unitario tangente ad un grafico con derivata finita in un punto (b,f(b)) e' in effetti il vettore (1, f'(b))/ radice{1+ (f' (b))^2}
8-3-10 lezione 36 (ore 1)
-Piani non verticali
insiemi di livello di polinomi di primo grado in tre variabili a valori reali (x,y,z) per cui ax + by+cz =d: coefficienti come direzione di ortogonalita' (a,b,c)
si noti che il vettore dei coefficienti e' il vettore delle derivate parziali della funzione f(x,y,z)=ax +by+cz di cui il piano e' insieme di livello
come grafici polinomi di primo grado in due variabili a valori reali
come immagine di funzioni di due variabili a valori punti dello spazio tridimensionale: sovrapposizione di due moti, rettilinei a velocita' costante, ed ``indipendenti''
- Grafici di funzioni di due o piu' variabili come superificie
- Quando un grafico di una funzione di due variabili ammette piano tangente: approssimazione `` lineare'' con polinomi di grado uno in piu' variabili
Definizione differenziabilita'
f definita in un aperto si dice differenziabile in un punto (a,b, ...) se esistono dei numeri A, B .... per cui
f(x,y, ...) = f(a,b,...) + A (x-a) + B(y - b ) + .... + o ( distanza da (x,y ...) ad (a,b ,...))
per (x,y, ...) ---> (a,b ...)
in altre parola vi e' un polinomio di primo grado nelle variabili x, y ... che approssima i valori di f
con un errore relativo rispetto all'incremento nel dominio della funzone infinitesimo
Si ha inoltre A = D_x f (a,b, ...) , B=D_y f(a,b ...) ...
infatti in particolare facendo variare solo la x
f(x, b ...) = f(a,b ...) + A (x-a) + o (x-a) per x--->a che 'e la definizione di derivata rispetto ad x
- Definizione piano tangente ad un grafico
e' il grafico del polinomio approssimante Ax + By + ... + f(a,b,...) - Aa -Bb - ... cioe'
(x, y, ... , Ax + By + ... + f(a,b,...) - Aa -Bb -...) cioe' il piano definito da
z= Ax + By + ... + f(a,b,...) - Aa -Bb -... cioe'
Ax + By + ... - z = Aa +Bb + ... - f(a,b, ...)
- Vettore normale ad un grafico: quindi se una funzione e' differenziabile in (a,b ,...)
un vettore normale al suo grafico nel punto (a, b , ..., f(a,b, ...)) e'
(D_x f (a,b, ...) , D_y f(a,b ...) ... , -1)
OSSERVAZIONE:
-se vi e' differenziabilita' i coefficienti del polinomio di primo grado in due variabili approssimante (in particolare il cui grafico e' il piano tangente al grafico della funzione) sono necessariament le derivate parziali;
- non e' vero in generale il viceversa se non con l'ipotesi opportuna
- Teorema del differenziale totale:
se una funzione e' definita in un aperto, e ha derivate parziali che siano continue in un punto
allora e' differenziabile in quel punto
Nel seguito per avere un pieno significato geometrico delle derivate parziali si sottoindendono le ipotesi del teorema del differenziale totale
-Teorema una funzione differenziabile e' continua
-Restrizione di funzioni di due o piu' variabili a curve mediante composizione con cammini
Teorema regola della catena: se f e' differenziabile e (h(t), k(t) ,...) e' un cammino derivabile
con notazione suggestiva x=x(t)= h(t), y=y(t)=k(t) ....
la funzione reale di variabile reale F(t)= f(h(t), k(t), ... ) e' derivabile e si ha
dF/dt = df/dx dx/dt + df/dy dy/dt +... =
= vettore delle derivate parziali di f prodotto scalare velocita' del cammino
Definizione derivata direzionale: se V=(u,v ...) e' un vettore unitario la derivata direzionale in P rispetto a V di f e' la derivata di f composta il cammino di velocita' costante V passante per P cioe'
lim_{h-->0} [f(P +hV) - f(P)]/ h indicata con df/dV (P) o D_V f (p)
si ottiene che
D_V f(P) = prodotto scalare del vettore delle derivate parziali in P con il vettore V
OSSERVAZIONE - Le derivate parziali sono le derivate direzionali nelle direzioni degli assi
- Il vettore V potrebbe a sua volta dipendere dal punto di calcolo P V=V(P) cio' non dimeno
D_V(p) f (P) = prodotto scalare del vettore delle derivate parziali in P per V(P)
- Un luogo di zeri di una funzione con derivate non tutte nulle da vicino e' sempre un grafico:
Teorema delle funzioni implicite
se una funzione f con derivate parziali continue
ha una di esse diversa da zero in un punto P allora
vi e' un cilindro C, con asse la direzione della variabile v rispetto la quale si ha derivata non nulla , centrato in quel punto
per cui l'insieme di livello {Q: f(Q)=f(P)} inters C
e' grafico v=g di una funzione g con una variabile in meno definita sulla proiezione ortogonale su v=0 delle basi del cilindro e a valori reali compresi tra le quote delle basi
inoltre tale funzione ha derivate parziali continue e dalla regola della catena (essendo f costantantemente eguale ad f(P) sul grafico di g) si ottiene
derivata parziale rispetto ad u di g = - derivata rispetto ad u di f / derivata rispetto a v di f
con notazione suggestiva
dv/du = -df/du/ df/dv (le derivate qui sono parziali)
poiche' la derivata completa rispetto ad u di f sul grafico di f deve essere nulla
- Vettore gradiente in un punto P: e' il vettore delle derivate parziali calcolate in P
ortogonalita' del vettore gradiente in P, se non nullo, all'insieme di livello {Q: f(Q)= f(P)} nel punto P
essere ortogonale ad una superficie vuol dire essere ortogonale al suo tangente nel punto
se il gradiente e' non nullo in P una delle sue componenti D_v f(P) e' non nulla:
per il teorema delle funzioni implicite
vicino a P l'insieme di livello f(P) e' il grafico di g
se si considera un qualsiasi cammino derivabile (h(t), k(t), ... ) su tale grafico e passante per t=0 per P
con velocita' non nulla deve essere
F(t) =f((h(t), k(t) ...) = f(P) = costante derivando in t=0 per la regola della catena
si ha gradiente di f in P prodotto scalare velocita' =0
ma la velocita' e' tangete al cammino e quindi al grafico quindi il gradiente e' ortogonale a tutte le direzioni del piano tangente al livello
(altro argomento: dalla formula il piano tangente al grafico di g ha coefficienti
- D_u f(P)/ D_v f(P) e -1 che danno un vettore di direzione ortogonale nel punto P
ma allora anche il suo multiplo di coordinate D_u f(P) e D_v f(p) e' ancora ortogonale)
Vettore gradiente prodotto scalare e derivate direzionali
D_V f = grad f prodotto scalare V
Calcolo del vettore normale ad un grafico di una funzione di due variabili z= f(x,y) con il gradiente
di F(x,y,z)= f(x,y) - z.
Derivate successive
Teorema di Schwarz se una funzione ha derivate parziali prime continue e ha una derivata seconda mista continua in un punto allora vi e' anche la derivata seconda ottenuta derivando in ordine inverso ed e' eguale
Teorema se le derivate parziali prime sono differenziabili allora le derivate seconde parziali non dipendono dall'ordine di derivazione
Approssimazione polinomiale locale
sviluppo di Taylor al secondo ordine per funzoni di due o pu' variabili
f(x,y, ... ) = f(a,b, ... ) +
+ D_x f(a,b ...) (x-a) + D_y f(a,b ,...) (y-b) + ...
+ 1/2 D_xD_x f(a,b, ...) (x-a)^2 + 1/2 D_yD_y f(a,b, ...) (y-b)^2 + ...
+ D_xD_y f(a,b, ... ) (x-a)(y-b) + .... + o ((x-a)^2 +(y-b)^2 + ... ) per (x,y, ...) ---> (a,b ...)
8-3-10 esercitazione 35 (ore 1)
Trovare un sistema di riferimento anche non cartesiano sul piano di equazione 3x +2y +z =5
Sfera di raggio unitario e centro l'origine come unione di due grafico
Sfera come immagine di una funzione di due variabili (coordinate sferiche)
Grafico z= x^2 +y^2 e di z= -x^2 -y^2
Grafico z= x^2 - y^2
Controesempi al teorema delle funzioni implicite x^2 + y^2 e x^2 -y^2 vicino a (0,0).
Determinare il vettore ortogonale al grafico z=x^2 -y^2 nel punto (1,2,-3)
Spirale di Archimede: dalla condizione sulle coordinate polari ad un camino iniettivo che ha la curva in questione come immagine
Esercizio lasciato spirale logaritmica.
FOGLI DI ESERCIZI SU: LIMITI DERIVATE TRASFORMAZIONI DEL PIANO E DELLO SPAZIO
A CUI SI FARA' RIFERIMENTO NEL SEGUITO
.
11-3-10 lezione 37 (minuti 30)
Pezzi di superficie come immagini di funzioni vettoriali di due variabili : parametrizzazione locale
e coordinate locali
Se si considera una superficie come une ``rete'' fatta da due famiglie di curve visto che le curve si son viste come immagini di funzioni vettoriali di una variabile sembra ragionevole pensare ad una superficie come immagine di una funzione vettoriale di due variabili:
una variabile per ognuna delle curve di una delle due famiglie.
Generalizzando un superficie di dimesione m sara' vista come immagine di una funzione a valori vettori e dipendente da m variabili.
Cosi come per i cammini ci vuole qualche accortezza:
-qui al posto dell variabile ``tempo'' ci sono due o piu' variabili ``parametri''
la superficie puo' essere ottenuta piegando in due un folio e quindi non e' detto che un punto su di essa
determini univocamente i parametri che lo individuano
- come la retta tangente alla curva poteva essere descritta dal vettore velocita' quando questo era non nullo per le superfici il piano tangente sara' descritto dalle somme di multipli dei vettori delle due derivate parziali a patto che queste non siano parallele o nulle (nel caso di una piega una e' nulla ).
ESEMPI
Piani non verticali come immagini
(x,y,z) per cui 3x + 5y -z =3 piano come insieme di livello di F(x,y,z) = 3x+5y -z
(x,y, 3x +5y -3) piano come grafico di f(x,y) = 3x + 5y -3
x(1,0,3) + y(0,1,5) + (0,0, -3) piano come immagine della somma di due cammini a velocita' costanti
non parallele o nulle (1,0,3) e (0,1,5) nel caso
Grafici di funzioni differenziabili come immagini
il grafico di una funzione di due variabili si vede direttamente come immagine di H(x,y)=(x,y,g(x,y)):
(x,y, g(x,y)) considerando che g(x,y) = g(a,b) + D_x g(a,b) (x-a) + D_y g(a,b) (y-b) +o(|x-a|+|y-b|)
diventa
x(1,0, D_x g(a,b) ) + y (0,1 , D_y g(ab) ) + (0,0,g(a,b) - D_x g(a,b) a - D_y g(a,b) b) + (0, 0 , o(|x-a|+|y-b|))
cioe' immagine di un piano a meno di un errore piccolo
il piano e' in effetti quello che si e' individuato come piano tangente
si noti che i vettori che lo determinano (1,0, D_x g(a,b) ) e (0,1 , D_y g(ab) ) non sono allineati:
sono i vettori delle derivate parziali della funzione vettoriale di due variabili H(x,y)=(x,y,g(x,y))
data dalle tre funzioni coordinate H_1(x,y) =x, H_2(x,y)= y, H_3 (x,y)= g(x,y).
Definizione:m- superficie parametrica
Si consideri una funzione di m variabili a valori vettori con n coordinate (n maggiore o eguale ad m)
H(s,t .. ) = ( H_1 (s,t, ...), H_2 (s,t, ...), H_3 (s,t, ...), ... )
per cui :
1- si abbia la continuita' delle derivate parziali prime
2- sia iniettiva su un insieme chiuso e limitato D che sia la chiusura della sua parte interna
3- gli m vettori delle derivate parziali su D
D_s H(s,t .. ) = ( D_s H_1 (s,t, ...), D_s H_2 (s,t, ...), D_s H_3 (s,t, ...), ... )
D_t H(s,t .. ) = ( D_t H_1 (s,t, ...), D_t H_2 (s,t, ...), D_t H_3 (s,t, ...), ... )
...
non stiano su un k piano di dimensione k < m
(algebricamente i determinanti delle sottomatrici m x m non siano tutti nulli)
per esemplificare nel caso di due variabili m =2
i due vettori delle derivate parziali non siano paralleli
allora H si dira' parametrizzazione della sua immagine S sulla parte interna di D
ed S si dira' m-superficie parametrizzata da H ovvero (S,H) si dira' m-superficie parametrica su D.
OSSERVAZIONE
cosi come diversi cammini possono dare o stesso ``percorso'' curva, a maggior ragione diverse parametrizzazioni possono descrivere la stassa superficie
il piano immagine di s(1,0,3) + t(0,1,5) + (0,0, -3)
e' anche immagine di (s^3+t^3)(1,0,3) + t^3(0,1, 5) + (0,0, -3)
Piano tangente ad una superficie in forma parametrica
Data una superficie parametrica (S,H) di dimensione due e un punto P in S
(P= H(s_0, t_0) con (s_0, t_0) interno a D)
se si considerano i cammini ottenuti componento H con i cammini a velocita' uniforme orizzontale e verticale passanti per (s_0,t_0)
F(s) = H(s, t_0)
G(t) = H(s_0, t)
si hanno due cammini passanti per P
per quanto detto sui cammini i vettori delle velocita'
F' (s_0) = D_s H(s_0, t_0)
G' (t_0) = D_t H(s_0, t_0)
in quanto non nulli sono rispettivamente paralleli alle tangenti alle curve immagine che passano per P
sembra quindi naturale definire il piano tangente ad S in P= H(s_0, t_0) come l'immagine della sovrapposizione di due cammini indipendenti a velocita' costante
(a,b) ----> a D_s H(s_0, t_0) + b D_t H(s_0, t_0) + P
OSSERVAZIONE: ora cambiando parametrizzazione il piano tangente non cambia
in effetti
se si considerano due parametrizzazioni H=H(s,t) su D e K=K(u,v) su C della stessa S si ha
P= H(s_0, t_0)= K(u_0, v_0)
- per il teorema di invertibilita' locale (in seguito enunciato) la funzione bigettiva
(cambio di coordinate) F(u,v)=H^{-1}(K(u,v)) , F= (F_1, F_2) :C--->D ha derivate continue
e con inversa con derivate continue per cui K(u,v) = H(F_1 (u,v), F_2(u,v)) ed (s_0 , t_0) = F(u_0 , v_0)
- quindi per la regola della catena
D_u K = (D_u F_1 ) D_s H + (D_u F_2 ) D_t H
D_v K = ( D_v F_1 ) D_s H + (D_v F_2 ) D_t H
e quindi ogni vettore del tipo c D_u K(u_0, v_0) + d D_v K(u_0, v_0)
e' del tipo a D_s H(s_0, t_0) + b D_t H(s_0, t_0)
con a = c(D_u F_1 )+d (D_u F_1 ) b = c(D_u F_2 )+d (D_u F_2 )
e viceversa.
Vettore normale ad una superficie parametrica
Quindi data una superficie parametrica il piano tangente in un suo punto P=H(s_0, t_0)
ha come sistema di coordinate (non cartesiane in generale) con origine P quello dei vettori delle derivate parziali calcolate nei parametri corrispondenti a P
D_s H(s_0, t_0)
D_t H(s_0, t_0)
il loro prodotto vettoriale permette di determinare la direzione normale alla superificie in P
D_s H(s_0, t_0) X D_t H(s_0, t_0) =
(D_sH_2 D_tH_3 - D_tH_2 D_sH_3 , - D_sH_1 D_tH_3 + D_tH_1 D_sH_3, D_sH_1 D_tH_2 - D_t H_1 D_s H_2)
per cui, denotando con U.V il prodotto scalare, l'equazione del piano tangente alla superficie nel punto P e' data da
( D_s H(s_0, t_0) X D_t H(s_0, t_0) ) . ((x,y,z) - H(s_0, t_0) )=0
cioe'
(D_sH_2 D_tH_3 - D_tH_2 D_sH_3)x +(-D_sH_1 D_tH_3 + D_tH_1 D_sH_3)y+(D_sH_1 D_tH_2 - D_t H_1 D_s H_2)z =
H_1(D_sH_2 D_tH_3 - D_tH_2 D_sH_3) +H_2 (-D_sH_1 D_tH_3 + D_tH_1 D_sH_3)+H_3(D_sH_1 D_tH_2 - D_t H_1 D_s H_2)
OSSERVAZIONE:
- puo' essere difficile nei casi concreti stabilire la condizione 2 di iniettivita'
- data un sottoinsieme U dello spazio a n dimensioni puo' essere complicato vederlo come un'unica
m- superficie parametrica
vale la pena quindi aggiungere la seguente definizione
Definizione: m-varieta' e atlante
Un sottoinsieme U dello spazio n-dimensionale che sia unione di pezzi che sono m-superfici
parametriche (S, H) su D, (T, K) su C ... per cui
4- H composto K^{-1} sia l'identita' su S intersecato T ...
5- S intersecato T sia una m-superficie parametrizzata dalle restrizioni di H e K alle sue preimmagini, ...
(6- K^{-1} composto H ... siano differenziabili ove definite)
si dira' m-varieta' con sistema di coordinate locali ovvero atlante (S, H) su D, (T, K) su C ...
Tale definizione e' ricca di conseguenze teoriche e nella pratica si rivela comodo grazie ai seguenti teoremi che permettono di ricavare l'iniettivita' ``localmente''. Il primo lo si enuncia solo per superfici di dimensione 2:
Teorema del rango (per superficie):
Data H(s,t ) = (H_1 (s,t), H_2 (s,t), H_3 (s,t) ... ) : A ---> R^n
ed (s_0,t_0) interno ad A, P = H(s_0,t_0) nell'immagine di H
per cui :
1- si abbia la continuita' delle derivate parziali prime in (s_0, t_0)
3 bis - i due vettori delle derivate parziali in (s_0, t_0)
D_s H(s_0,t_0 ) = ( D_s H_1 (s_0, t_0), D_s H_2 (s_0, t_0), D_s H_3 (s_0, t_0), ... )
D_t H( s_0, t_0) = ( D_t H_1 (s_0, t_0), D_t H_2 (s_0, t_0), D_t H_3 (s_0, t_0), ... )
non siano paralleli
allora esiste un intorno D di (s_0,t_0) e un intorno U di P per cui
S= Im H intersezione U e' una superficie parametrizzata da H su D
in particolare vale
2- H e' iniettiva su D
Quando invece che di funzioni da R^2 in R^n, o da R^m in R^n con m<n , si ha a che fare con funzioni da
R^n in R^n la versione ``estrema'' del teorema e' la seguente e viene a coincidere con la versione ``estrema'' del teorema delle funzioni implicite:
Teorema di invertibilita' locale
Data H(s,t ... ) = (H_1 (s,t), H_2 (s,t), H_3 (s,t) ... ) : A ---> R^n A sottoinsime di R^n
ed (s_0,t_0 ... ) interno ad A, P = H(s_0,t_0 ... )
per cui :
1- si abbia la continuita' delle derivate parziali prime in (s_0, t_0 ... )
3 bis - gli n vettori delle derivate parziali in (s_0, t_0 ... )
D_s H(s_0,t_0 ) = ( D_s H_1 (s_0, t_0), D_s H_2 (s_0, t_0), D_s H_3 (s_0, t_0), ... )
D_t H( s_0, t_0) = ( D_t H_1 (s_0, t_0), D_t H_2 (s_0, t_0), D_t H_3 (s_0, t_0), ... )
...
....
siano un sistema di riferimento di R^n, cioe' la matrice delle loro coordinate abbia determinante non nullo
allora esiste un intorno D di (s_0,t_0 ... ) e un intorno U di P per cui
- H e' bigettiva da D su U
- la sua inversa G(u,v, ...)= (G_1(u,v...), G_2 (u,v..), ...) cioe' s= G_1 (u,v) , t= G_2(u,v) ...
da U su D e' differenziabile con derivate continue
OSSERVAZIONE:
poiche' H(G(u,v...)) = (u,v, ... ) cioe'
H_1( G(u,v ...)) =u
H_2 (G(u,v, ...)= v
...
...
derivando rispetto ad ogni variabile ogni relazione per la regola della catena si ha
D_sH_1 D_u G_1 + D_t H_1 D_uG_2 + ... = 1 D_sH_1 D_v G_1 + D_t H_1 D_vG_2 + ... = 0 ....
D_sH_2 D_u G_1 + D_t H_2 D_uG_2 + ... = 0 D_sH_2 D_v G_1 + D_t H_2 D_vG_2 + ... = 1 ....
... ...
... ...
cio' permette risolvendo n sistemi di n e equazioni in n incognite di avere le derivate dell'inversa calcolate in H(s,t, ... ) (le incognite) in termini dei coefficienti del sistema
che sono le derivate di H calcolate in (s,t ...).
Per risolvere un tale sistema si puo' usare la cosi detta regola di Cramere basta sulle proprieta' del determinante e sulla nozione di matrice inversa di una matrice rispetto al cosi detto prodotto righe per colonne.
In altri termini la matrice delle coordinate delle derivate di G (funzione inversa) calcolate in (u,v, ... ) e' la cosi detta matrice inversa (rispetto al prodotto righe per colonne) della matrice delle derivate di H calcolate in G(u,v).
Questo generalizza la formula per la derivata dell'inversa di una funzione reale di una variabile reale
s e g=g(u) e' l'inversa di h(s) allora D_u g (h(s)) = 1/D_s h((s))
nel caso di matrici il reciproco diventa la matrice inversa rispetto al prodotto scalare righe per colonne.
Nei casi di interesse di matrci due per due o tre per tre il sistema si risolve di solito direttamente senza altra, pur interessante ed utile, teoria.
11-3-10 esercitazione 36 (ore 1)
esercizi 2a, b, d esercizio 3 a
esercizio lasciato
dato un piano come luogo di zeri trovare un sistema di riferimento cartesiano sul piano
NUOVO ORARIO dal 22 marzo 2010:
LEZIONE/ESERCITAZIONE IL MARTEDI ore 11-13 aula C
Ricevimento il Lunedi ore 15-17 aula C
INVARIATO L'ORARIO DEL GIOVEDI.
15-3-10 esercitazione 37 (ore 2)
esercizio 3 b trovare le tangenti a {(x,y): (x^2 +y^2)^2 - 2(x^2 -y^2) =0} in (0,0)
non si puo' usare il teorema delle funzioni implicite poiche' in (0,0) le derivate parziali
di (x^2 +y^2)^2 - 2(x^2 -y^2) si annullano; proprio per questo potrebbe non essere
univocamente detrminata la tangente
osservazione preliminare: poiche' tale funzione e' pari nelle due variabili il supo luogo di zeri e' simmetrico rispetto ad ognuno degli assi
quindi si restringe a x>0 y>0 le semirette tangenti eventualmente ottenute andrebbero poi completate
con due riflessioni rispetto agli assi riflessione
primo metodo : si calcola il limite del rapporto incrementale tra (0,0) e un generico punto (x,y) del luogo di zeri quando (x,y) --->(0,0) con le condizioni (x^2 +y^2)^2 - 2(x^2 -y^2) =0 e x>0 , y>0
per farlo si usa la relazione di definizione cercando di mettere in evidenza tale rapporto incrementale
che e' y/x
da (x^2 +y^2)^2 = 2(x^2 -y^2) raccogliendo al secondo membro x^2 , dividendo l'eguaglianza per x^2
(x^2+y^2)^2 1/x^2 = 2(1 - (y/x)^2 ) portando dentro il quadrato il denminatore
(|x| + |y| |y|/|x| )^2 = 2 (1 - (y/x)^2 ) osservando che il primo membro e' > 0
deve essere anche 1 > (y/x)^2
da cui segue anche (|x| + |y| )^2 > (|x| + |y| |y|/|x| )^2
per cui si ottiene la catena di diseguaglianze vera
per gli (x,y) che verificano la relazione
(|x| + |y| )^2 > 2 (1 - (y/x)^2 ) > 0 passando al limite per |x|+|y| --> 0 si ha quindi
y/x ----> 1 per (x,y)--->0 vincolato alle condizioni (x^2 +y^2)^2 = 2(x^2 -y^2) e x>0, y>0
Quindi, fatte le due riflessioni, in (0,0) vi sono due rette tangenti y=x ed y=-x
secondo metodo:
la relazione (x^2 +y^2)^2 = 2(x^2 -y^2) e x>0, y>0, si scrive come equazione in y
y^4 + 2(1+x^2) y^2 +x^4 - 2x^2 =0 con y>0, x>0
si ricava y in funzione di x e se ne studia il grafico ristretto alla zona x>0, y>0
y^2 = -1-x^2 + o - rad( (1+x^2)^2 - x^4 + 2x^2) = -1-x^2 +o- rad(1 + 4x^2)
poiche' y^2>0 si tratta di una sola funzione
y^2 = -1-x^2 + rad(1 + 4x^2) definita sul dominio rad(1 + 4x^2)>1+x^2 per cui deve essere
2x^2 > x^4 cioe' 2> x^2 cioe' rad2 >|x| e per x>0 rad 2>x >0
y(x) = rad ( rad(1 + 4x^2) -1- x^2) per 0 < x < rad 2
si studia la fuzione oppure interessando solo la derivata ``destra'' in x=0 sipuo fare il limite del rapporto incrementale in x=0 per x>0 e x--->0
rad ( rad(1 + 4x^2) -1- x^2)/x = rad ( {rad(1 + 4x^2) -1- x^2} /x^2 )
sviluppando con Taylor al primo ordine
rad(1+t) = 1 +1/2 t + O (t^2) sostituendo t=4x^2
rad ( {1 + 2x^2 -1- x^2 +O(x^4)} /x^2 ) = rad( 1 + O(x^2)) ancora per lo sviluppo = 1 + O(x^2) per x-->0
per cui y'(0)=1 per x>0.
terzo metodo : si scrive la relazione (x^2 +y^2)^2 = 2(x^2 -y^2) in coordinate polari (r,a) , diventa:
r^4= 2r^2( cos^2 a - sin ^2 a) = 2r^2 cos 2a per r>0 si semplifica e si ottiene
r^2 = 2 cos 2a se (x,y)-->0 cioe' r--->0 deve essere cos 2a --->0
quindi pensando di essere ristretti al primo quadrante con 0<a< pig/2
passando all'arcocoseno per continuita' 2a ---> pig/2 cioe' a ---> pig 4
per cui il coefficiente angolare della retta tangente nel primo quadrante e' 1. Per riflessione si conclude.
OSSERVAZIONE : dato l'insieme di livello {(x,y) f(x,y)=f(a,b)} se il gradiente e' non nullo in (a,b)
in un rettangolo abbastanza piccolo vicino ad (a,b) l'insieme di livello e' una curva anzi
un grafico e si puo' calcolare la sua tangente
se il gradiente in (a,b) fosse nullo per capire cosa succede conviene fare lo sviluppo di Taylor di ordine superiore e centro (a,b)
[non ci sono itermini di primo grado perche' si assume che le derivate prime siano nulle]
f(x,y) = f(a,b) + 1/2 D^2f_x (a,b ) (x-a)^2 + 1/2 D^2f_y (a,b ) (y-b)^2 + cD_xD_y f (a,b) (x-a)(y-b) +
+ o((x-a)^2+(y- b)^2) =
= AX^2 + BY^2 + 2C XY + D + o(X^2+Y^2)
ove A, B, C sono dati dalla meta' delle derivate seconde e X=x-a, Y=y-b
se le derivate seconde non sono tutte nulle
l'insieme di livello di f e' molto vicino al luogo di zeri di AX^2 + BY^2 + 2C XY centrato in (a,b)
risolvendo in X o in Y X = 1/A ( -2CY +o- 2|Y| rad( C^2 - AB))
Y= 1/B ( -2CX +o- 2|X| rad( C^2 - AB))
questi possono definire
un punto (C^2-AB<0 e.g. AB>0 e C=0) l'insieme di livello di f non e' una curva ma un punto isolato di
massimo o minimo relativo per f [(a,b)]
due rette sghembe (C^2 -AB>0 e.g. AB< 0 e C=0) l'insieme di livello vicino ad (a,b) e' un incrocio di due
curve con tangenti le due rette
una retta ``doppia'' (C= + o - rad |A||B|, AB> o = 0 ) l'insieme di livello vicino ad (a,b)
ha tangente la retta ma non si apprezza se e' fatto da una o piu' curve
si pensi a x^2 -y^6 =0
esercizio 12 b Tracciare approssimativamente il luogo di zeri (x^2 +y^2)^2 = 2(x^2 -y^2)
[Lemniscata di Bernoulli]
si usa uno tra gli ultimi due metodi per il precedente esercizio
ovvero per limitarsi a capire ove la tangente e' verticale e dove e' orizzontale si
usano le derivate parziali di f
si scopre che esse sono contemporanemente nulle solo in (0,0)
e quindi restringendosi a x>0, y>0
si ottiene che il luogo di zeri e' un grafico con valori sull'asse y definito per 0<x < rad 2
D_x f(x,y) = 4x(x^2+y^2) -4x
si ha che D_x f(x,y) = 0 sul luogo di zeri per x non 0 solo se x^2+y^2=1 che ha un un unico punto
di intersezione con il luogo nel primo quadrante quando x^2 -1/2=y^2 e
risostituendo si deve avere (2x^2 -1/2)^2 =1 da cui si ricava x =rad(3/4) e y= 1/2
quindi nel punto (rad 3/4 , 1/2) la tangente e' orizzontale poiche' grafico di y=y(x) per cui y'(rad 3/4)=0.
D_y f(x,y) = 4y(x^2+y^2) +4y
si ha che D_y f(x,y) = 0 non solo in (0,0) ma anche nell'altro punto ``estremo '' sul primo quadrante
(rad 2 , 0)
in tale punto D_x f(rad 2,0 ) non e' 0 quindi vicino a tale punto il luogo di zeri e' un grafico con asse dei
valori x di una funzione x=x(y) per cui x ' (0) =0
quindi nel punto (rad 2 , 0) la tangente e' verticale.
OSSERVAZIONE - notazione per il teorema delle funzioni implicite
dato P=(a,b) e una funzione di due variabili per cui D_x f(a,b) non 0 [rispettivamente D_yf(a,b) non 0]
l'insieme di livello L definito dalla relazione f(x,y)= f(a,b)
vicino al suo punto (a,b) e' il graficio (curva) di una funzione x=x(y) con asse dei valori quello orizzontale
[rispettivamente
vicino al suo punto (a,b) e' il graficio di una funzione y=y(x) con asse dei valori quello verticale]
cioe'
`` vicino'' vuol dire
che si trova un rettangolo R centrato in (a, b) per cui la sua altezza sull'asse delle y e' il dominio di x=x(y)
[rispettivamente per cui la sua base b sull'asse delle x e' il dominio di y=y(x)]
per cui (x,y) sta in L intersezione R se e solo se y sta in h e x= x(y)
cioe' y sta in h e f((x(y), y) = f(a,b)
[rispettivamente (x,y) sta in L intersezione R se e solo se x sta in b e y= y(x)
cioe' x sta in b e f((x, y(x)) = f(a,b) ]
dalla regola della catena derivando rispetto ad y H(y)=f((x(y), y) che e' costante si ottiene
D_x f dx/dy + D_y f = 0 cioe' dx/dy (x) = - D_y f (x(y), y)/ D_xf(x(y),y)
[rispettivamente derivando rispetto ad x K(x)=f((x, y(x)) che e' costante si ottiene
D_x f + D_y f dy/dx = 0 cioe' dy/dx (x) = - D_y f (x, y(x))/ D_x f(x,y(x))
- Del tutto analoga e' la situazione per insiemi di livello di funzioni di tre variabili
dato P=(a,b,c) e una funzione di tre variabili per cui D_z f(a,b,c) non 0 [risp. D_x o D_y]
l'insieme di livello L definito dalla relazione f(x,y,z)= f(a,b,c)
vicino al suo punto (a,b,c) e' il graficio (superficie) di una funzione z=z(x,y) con asse dei valori quello delle z
[rispettivamente x=x(y,z ) e asse dei valori quello delle x etc. ]
cioe'
`` vicino'' vuol dire
che si trova un parallelepipedo R centrato in (a, b,c ) per cui la sua base nel piano delle (x,y) e' il dominio di z=z(x,y)
per cui (x,y,z) sta in L intersezione R se e solo se (x ,y ) sta in b e z= z(x,y)
cioe' (x,y ) sta in b e f(x, y, z(x,y)) = f(a,b,c)
dalla regola della catena derivando rispetto ad x Q(x,y)=f(x, y, z (x,y)) che e' costante si ottiene
D_x f + D_z f D_x z= 0 cioe' D_x z (x,y) = - D_x f (x, y, z(x,y))/ D_z f(x,y, z(x,y))
e derivando rispetto ad y sempre Q(x,y)
D_y f + D_z f D_y z= 0 cioe' D_y z (x,y) = - D_y f (x, y, z(x,y))/ D_z f(x,y, z(x,y))
esercizio: disegnare {(x,y): sin (x+y) = 0} e sincerarsi che il gradiente della funzione f(x,y)= sin (x+y)
non e' mai nullo su tale insieme.
Verificare che tale insieme non e' un grafico qualsiasi sia l'asse dei valori prescelto.
Per ogni punto dell'insieme determinare un rettangolo in cui il luogo di zeri e' un grafico.
Determinare la direzione rispetto alla quale non e' un grafico nemmeno vicino ad uno dei suoi
punti.
esercizio 36 a): per a=0 calcolare dy/dx in x=1 quando x^3y-y^3x =a vicino a (1,1)
calcolare dy/dx in x=1 quando x^y =y^x vicino a (1,1)
calcolare dy/dx in x = - e^pig/pig quando sin xy - e^{xy} -x^2y=0
vicino a (- e^pig/pig , , - pig^2 e^{-pig} )
18-3-10 esercitazione 38 (ore 1)
esercizio 36 b primo calcolo
esercizio 4b prima diseguaglianza
esercizio 5 quart'ultima e terz'ultima funzione
Definizione:
seno iperbolico e coseno iperbolico come parametrizzazione dell'iperbole ``equilatera X^2-Y^2 =1''
(piuttosto che della circonferenza) e loro grafici.
23-3-10 lezione 38 (ore 2)
Riferimenti: per la probabilit`a e misura lezioni: 6 del 13-10-09, 10 del 26-10-09, 19 del 19-11-09, 26 del 14-12-09; per la nozione di trasformazione lineare e spazio vettoriale lez. 9 del 20 -10-09
COMPENDIO DI TEORIA DELL'INTEGRAZIONE A LA RIEMANN-LEBESGUE
PER FUNZIONI DI UNA E PIU' VARIABILI E RELAZIONI CON LA MISURA DI PEANO JORDAN
integrali come aree e volumi di insiemi delimitati da grafici e loro approssimazione
con somme del tipo ``base per altezza''
APPROSSIMAZIONE DI INTEGRALI DI FUNZIONI CONTINUE
MEDIA INTEGRALE E BARICENTRO
SOMMABILITA' versus INTEGRABILITA' IN SENSO IMPROPRIO
TEOREMI DI CONVERGENZA DOMINATA E MONOTONA
INTEGRALI ITERATI: RIDUZIONE AD INTEGRALI IN UNA VARIABILE
25-3-10 lezione 39 (minuti 30) Riferimenti: generali per gli integrali in una variabile:
[EB] cap. 9 pagg. 251-265, 281-286, 289-291, cap 10 pagg 301-313;
[MA1] cap. 6 tutto;
[BDM] cap. 9 pagg. 345-380;
[IRS] cap 2 pag 85-112;
[VV] cap.8 pagg. 170-190.
COMPENDIO DI CALCOLO DI INTEGRALI IN UNA VARIABILE LUNGHEZZA DI CURVE E INTEGRALI DI VETTORI SU CURVE
Dimostrazione: se F' = f e' integrabile allora l'integrale di f tra a e b e' F(b) - F(a)
si prende una suddivisione qualsiasi di [a,b] x_0 =a < x_1 ... < x_n=b
F(b) -F(a) = F(b) - F(x_{n-1}) + F(x_{n-1}) - F(x_{n-2}) + .... + F(x_1) - F(a) =
per il teorema di Lagrange vi sono per ogni intervallino I_k = [x_{k-1}, x_k] dei punti intermedi y_k
per cui
= f(y_n) (b- x_{n-1}) + .... + f(y_1) (x_1 -a)
senza alcun bisogno di passare al limite
si osserva che tale somma
e' sempre maggiore di inf f(I_n) (b- x_{n-1}) + .... + inf f(I_1) (x_1 -a)
e' sempre minore di sup f(I_n) (b- x_{n-1}) + .... + sup f(I_1) (x_1 -a)
essendo la suddivisione del tutto arbitraria si che
quindi e' compresa tra integrale superiore ed integrale inferiore di f che sono uguali per ipotesi
Dimostrazione teorema fondamentale del calcolo integrale:
- si omette la dimostrazione dell'integrabilita' delle funzioni continue, che richiederebbe in sostanza il concetto di uniforme continuita' sui segmenti chiusi;
l'argomento intuitivo sarebbe
per la continuita'
dato x ed E vi e' D per cui se |x-y| < D allora |f(x)- f(y)| < E
equivalentemente
dato x ed E vi e' D per cui 0< sup f su [ x-D, x+D] - inf f su [x-D, x+D] <2E
la nozione menzionata permette di dire che tale D non dipende da x , se x varia in un segmento chiuso, cioe':
dato E vi e' D per ogni intervallo lungo 2D si ha sup f su I - inf f su I <2E
quindi se si considera una qualsiasi suddivisione in intervalli I non piu' lunghi di 2D
si ha
somme al variare di I nella suddivisione: sup f su I misura di I - inf f su I misura di I
< somme al variare di I nella suddivisione: 2E misura di I =
= E somme al variare di I nella suddivisione misura di I = 2E misura dell'intero intervallo
quindi per ogni E
0=o< integrale superiore - integrale inferiore < 2E misura dell'intero intervallo
cioe' integrale superiore - integrale inferiore =0
- due primitive su un intervallo differiscono per una costante (teorema di Lagrange alla differenza)
- se I (x) e' la funzione integrale di una funzione continua f si puo' usare il teorema della media per dimostrare che ha come derivata f
[I(x+h)- I(x)]/h = media integrale di f tra x ed x+ h
= per il teorema del valor intermedio essendo f continua = f(z(h)) con z(h) tra x e x+h
per h-->0 si ha z(h) --> x ed ancora per continuita' f(z(h)) ---> f(x) per h-->0.
25-3-10 esercitazione 39 (minuti 30)
-esercizio 1b due integrazioni per sostituzione
-le funzioni derivate hanno la proprieta' del valor medio:
cenno di dimostrazione: data f derivabile in [a,b] si consideri al variare di t tra a e b +(b-a)
M(a) = f'(a)
M(t) = coefficiente angolare della corda con estremi in (a,f(a)) e in (t, f(t)) =
= [f(t) -f(a)]/t-a per a<t =o< b
M(t) =coefficiente angolare della corda con estremi in (b,f(b)) e in (t-(b-a), f((t-(b-a))) =
= [f(t-(b-a))-f(b)]/ (t-2b+a) per b=o<t< b+(b-a) [ a =o< t-(b-a) < b ]
M(2b -a) = f'(b)
la funzione M e' continua quindi assume ogni valore compreso tra M(a)=f'(a) ed M(2b-a) = f'(b)
per il teorema degli zeri
ma tale valore e' quindi sempre il coefficiente angolare di una secante al grafico di f quindi
e' anche un valore della derivata
per il teorema di Lagrange
FOGLI DI ESERCIZI SU: INTEGRALI IN UNA E PIU' VARIABILI E DI SUPERFICIE
A CUI SI FARA' RIFERIMENTO NEL SEGUITO
13-04-10 esercitazione 40 (ore 2)
esercizi calcolo di integrali con il metodo di sostituzone:
f(x)= radice quadrata di (5x +9) : t= f(x), f(x) dx = 2/5 t^2 dt
f(x) =cos (log(x+1)) : t = log (x+1) , f(x) dx = cos t e^t dt
esercizi calcolo di integrale per parti:
e^x cos x
arsin x
esercizi calcolo integrali razionali:
regola generale: radici complesse coniugate e trinomi di secondo grado come somma di quadrati
razionali semplici, elenco ed esempi: x/((1+x^2), 1/x^n, 1/(x^2-1), 1/[x(x+1)]
1/(1+x^4)
ESERCIZIO LASCIATO: se a non = b maggiori di 0 calcolare le primitive di sin ax cos b x
15-04-10 esercitazione 41 (ore 1)
divisione di polinomi
integrale di (x^8 - x^7 -1)/ (x^4+x^3)
integrale per |x| , 1/2 di radice quadrata di (1 -x ^2) ( o funzioni razionali di tale argomento) :
x = sin t f(x) dx = | cos t| cos t dt se si sceglie t tra pig/6 e - pig/6 si puo' toglere il modulo
integrale tra 0 e pigreco sesti di cos ^2 x [ cos^2 x= cos 2x + sin^2 x= cos 2x +1 - cos^2 x]
integrale di radice quadrata di ( 1+x^2) : x = sinh t = (e^t - e^{-t})/2
arsinh y = log ( y + radiceq (1+y^2)) [ e^{2t} -2y e^t -1= 0 , X= e^t X^2 -2y X - 1=0 ,
e^t= y + radq( y^2 +1) ]
Analogamente per funzioni di radq (x^2 -1)
20-04-10 esercitazione 42 (1 ore minuti 15 )
Integrali impropri e generalizzati:
le principali integrande di confronto t^{-a} , a>0
confronto per funzioni non negative e confronto asintotico con il limite del rapporto:
1/(log t) confrontato vicino ad 1 con 1/(t-1) e all'infinito con 1/t
1- radq( t/(t+1) )
Serie come integrali di funzioni costanti nei tratti [n, n+1[ , n numero naturale
Integrali in piu' variabili:
integrare x +2y sul dominio
tra il segmento y=0 e 0 =o< x =o< 2 pig e l'immagine del cammino t--->(t-1, -2t) per 0=o< t =o< 2 pig
20-04-10 lezione 40 (minuti 45) CONSIDERAZIONI SUL CAMBIAMENTO DI VARIABILE NEGLI INTEGRALI MULTIPLI NON ORIENTATI ED INTEGRALI DI SUPERFICIE
27-04-10 esercitazione 43 (1 ora)
integrabilita' in senso generalizzato di
1/radq(x^3-x^2) su ]1, +oo[
1/ (pig/2 - arsin x) su ]0,1[
studio della funzione F(x) = integrale tra 2x -3 e 5+x di ( t e^{t-1})/ (2t-7) dt
dominio:
poiche' l'integranda non e' integrabile in senso improprio con integrale finito vicino a t=7/2
vanno considerati gli x per cui 7/2 non e' nell'intervallo di estremi 5+x e 2x -3
inoltre 5+x > 2x -3 se e solo se 8> x, va tenuto presente quindi che per x >8 si ha
F(x) = - integrale da 5+x a 2x-3 ...
segno:
derivata: se G e' una primitiva dell'integranda e x sta nel dominio (cioe' 7/2 non e' tra 5+x e 2x -3 quale dei due sia il piu' grande) essendo la funzione integranda continua per il teorema fondamentale del calcolo integrale F(x) = G(5+x) - G(2x-3) quindi e' derivabile
F'(x) = (x+5)' G'( x+5) - (2x -3)' G'(2x -3)
F' (x) = (5+x) e^{4+x} /(3+2x) - 2 (2x-3) e^{2x-4}/(4x-13)
(limiti agli estremi: +oo)
Elemento d'area in coordinate polari nel piano: r dr d phi
deduzione con la formula del determinante della matrice delle derivate e deduzione ingenua
Elemento di volume nello spazio in coordinate sferiche: r^2 sin theta dr d phi d theta
deduzione ingenua
Diseguaglianza per l'elemento di volume in dimensione n in coordinate sferiche:
d vol_n < r^{n-1] d r d theta_1 d theta_2 ...
Integrale sulla corona circolare di centro l'origine e raggi 1 e 2 della funzione reciproco della distanza dal centro 1/radq[ x^2 +y^2]
Integrale del vettore V(x,y) = ( x, y) sul cammino
27-04-10 lezione 41 (1 ora)
Riassunto sul criterio di confronto asintotico per gli integrali generalizzati
Integrali non orientati di funzioni su cammini
dL =elemento di lunghezza infinitesimo lungo un cammino gamma(t)= (gamma_1 (t), gamma_2(t) ...):
|(d gamma_1 /dt , d gamma_2 /dt ... )| dt = radq[ (d gamma_1 /dt )^2 + (d gamma_2 /dt )^2 ...] dt
Data g (x_1, x_2 ... )
integrale di g su gamma = integrale di g (gamma(t)) per elemento di lunghezza =
integrale tra a e b g( gamma_1(t), gamma_2 (t) ... ) radq[ (d gamma_1 /dt )^2 + (d gamma_2 /dt )^2 ...] dt
Caso di grafici: gamma (t) = ( t , f(t) ) a < t< b
integrale di g(x,y) su gamma = integrale tra a e b di g(t, f(t)) radq [ 1 + (df/dt (t))^2 ] dt
Se rifaccio lo stesso percorso con velocita' diverse ovvero considero t = h(s) cioe' considero il cammino
gamma (h(s)) = phi (s) con h monotona non ncessariamente crescente da [c,d] in [a,b]
integrale di g su phi = integrale di g su gamma
Integrali orientati di vettori su cammini
gamma(t)=(gamma_1 (t), gamma_2(t) ...) a< t < b
Spostamento (vettoriale ) infinitesimo lungo un cammino gamma(t)= (gamma_1 (t), gamma_2(t) ...):
velocita' all'istante t dt = d gamma/dt dt = ( d gamma_1/dt dt, d gamma-2 /dt dt ... )
Dato V(x_1, x_2 ...) = ( V_1 (x_1 , x_2 ...) , V_2 (x_1 , x_2 ...) ... ) si definisce
Lavoro di V su gamma=
integrale di V lungo gamma =
integrale per t tra a e b del prodotto scalare tra V e lo spostamento infinitesimo =
integrale tra a e b
{ V_1( gamma_1(t), gamma_2 (t) ... ) d gamma_1 /dt (t) +
V_2( gamma_1(t), gamma_2 (t) ... ) d gamma_2 /dt (t) + .... } dt
Se si percorre la stessa traiettoria al contrario
gamma ( b+a -t ) = controgamma (t) a<t < b si ha
integral di V si gamma = - integrale di V su controgamma
Se si percorre la stessa traiettoria con stesso punto di partenza e stesso punto di arrivo
ma cammino arbitrario
ovvero se si considera gamma (k(s)) = phi (s) con k : [c,d] ---> [a,b] qualsiasi ma k(c) =a, k(d)=b
integrale di V su gamma = integrale di V su phi
( e' la versione completa del metodo di sostituzione negli integrali orientati di una variabile)
Riassunto cambio di variabile negli integrali multipli
Definizione elemento d'area di superficie parametrica e integrale non orientato
data una superficie parametrica B= Phi (A),
Phi: R^2 --> R^3, Phi(s,t) = (Phi_1 (s,t), Phi_2(s,t) , Phi_3 (s,t))
iniettiva con vettori delle derivate parziali ( dPhi_1 /ds , d Phi_2/ ds , dPhi_3 /ds )
( dPhi_1 /dt , d Phi_2/ dt , dPhi_3 /dt ) non allineati con l'origine
dA= elemento d'area infinitesimo sulla superficie = area parallelepipedo infinitesimo tangente =
= | ( dPhi_1 /ds , d Phi_2/ ds , dPhi_3 /ds ) ds X ( dPhi_1 /dt , d Phi_2/ dt , dPhi_3 /dt ) dt | =
= radq [ somma dei quadrati dei determinanti delle sottomatrici due per due della matrice con colonne
( dPhi_1 /ds , d Phi_2/ ds , dPhi_3 /ds ) e ( dPhi_1 /dt , d Phi_2/ dt , dPhi_3 /dt ) ] ds dt
data g (x,y,z) si pone
integrale su B di g(x, y , z) dA =
integrale su A di
g(Phi_1(s,t), Phi_2(s,t) ,Phi_3 (s,t)) |(dPhi_1/ds , dPhi_2/ ds ,dPhi_3 /ds)X (dPhi_1/dt , dPhi_2/ dt , dPhi_3 /dt ) ds dt
Caso di grafici
si ha la seguente semplificazione (come per l'integrale su curve che siano grafici)
se la superficie B parametrica nello spazio e' parametrizzata da un grafico cioe'
Phi(s,t) = (s , t, f(s,t )) e quindi A= dom f , B = grafico di f
integrale su B di g(x,y,z) dA =
integrale su A di g(s, t, f(s,t)) radq[ 1 + ( df /ds )^2 + (df/dt )^2 ] ds dt
29-04-10 esercitazione 44 (2 ore)
Elemento di volume in coordinate cilindriche, sferiche e polari
Formule per volumi di solidi di rotazione
deduzione ingenua e collegamento con i cambiamenti di coordinate generali
Formule per aree di superficie di rotazione
Formule per rotazione di grafici
Vettore di baricentro rispetto ad elementi di volume, area e lunghezza
Esercizi su cambiamenti di coordinate sferiche e polari negli integrali multipli
Integrali multipli di funzioni non limitate: reciproco della distanza dall'origine
su diversi tipi di domini, integrale di 1/(x^4 +y^4) sulla circonferenza e su {(x,y): y^2 < x^4<5}.
4-5-10 TERZA PROVA IN ITINERE
6-5-10 lezione 42 (ore 1) EQUAZIONI DIFFERENZIALI Riferimenti: [EB] cap. 11; [MA2] cap. 9.
RUDIMENTI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
ESERCIZI SU EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Altro materiale ed esercizi si trova al seguente link
*Appunti ed esercizi su equazioni differenziali corso Prof. Alberti
Equazioni funzionali
1- trovare una funzione y per cui per ogni x e c nel suo dominio y(x+c) = y(x)y(c)
soluzione y(x) = exp_b (x)
L'incognita e' una funzione
2- altro tipo di equazioni funzionali
trovare una funzione derivabile y per cui y' (t) = log t
cioe' trovare una primitiva di log t (e' sottointeso che t>0)
le soluzioni sono tutte e sole le funzioni y(x) = xlog x - x + c al variare di c.
in sostanza data f continua su I intervallo il problema
y'(t) = f(t) per ogni t in I
y(A) = c
equivale (teorema fondamentale del calcolo integrale) a scrivere
y(t) = integrale da A a t di f(s) ds + c
e quindi nelle ipotesi date ha sempre un'unica soluzione.
Interpretazione y e' una posizione, t il tempo quindi y' e' la velocita' istantanea
se e' nota la velocita' istante per istante e si sa la posizione in un certo istante si
conosce la posizione in ogni istante.
Nel secondo esempio l'incognita e' una funzione ma si ha una relazione esplicita per la sua derivata.
Quest'esempio si dice equazione risolubile per quadratura semplice: si tratta del calolo delle primitive.
3- Un'altra equazione differenziale
y'(t) = y(t)
qui la relazione e' tra la funzione e la sua derivata: se si conosce la velocita' in fuznione della posizione
si riesce a dedurre qualchecosa sulla posizione in funzione dl tempo?
Si noti che e' sottointeso che la relazione y'(t) = y(t) debba valere per ogni t in un intervallo I ove la funzione sia definita e derivabile
I e' anch'esso incognito ... d'altronde dire che una funzione e' incognita sottointende che anche il suo dominio e l'insieme ove essa e' derivabile siano incogniti
Una soluzione e' y(x) = e^x . Ve ne sono altre?
Consideriamo non solo l'equazione ma anche una posizione in un certo istante quindi si hann il sistema
y'(t) = y(t) per ogni t in un intervallo I ove e' definita y
I deve contenere 0
y(0) =c
una soluzione e' y(x) = c exp(x).
Al variare di c abbiamo una famiglia di soluzioni dell'equazione. Una per ogni dato iniziale.
Ci si domanda se sono le uniche?
PRIMO METODO equazione con variabili separabili del tipo y' (t) = g(y(t)) f(t)
nel caso f(t)=1 e g(p)=p
se si cercano soluzioni diverse dalle esponenziali trovate (che comprendo per c=0 la soluzione sempre nulla) la nostra ipoytetica soluzione non esponenziale in qualche punto non si deve annullare e dovendo essere continua non si annullera' in tutto un intervallino K
In questo eventuale intervallino l'equazione diventa
y'(t)/y(t) = 1
riconduzciamo ad una ricerca di primitive, a ben vedere il primo mebro e' la derivata di log |y(t)|
( log |y(t)| )' =1
quindi deve essere per qualche numero log |y(t)|= t+ d, ed usandi termini come esponenti si ha
|y(t)| = exp(d) esp (t)
quindi o y(t) = exp(d) exp(t) o y(t) = - exp(d) exp(t) cioe' e' proprio una di quelle gia' individuate.
SECONDO METODO metodo del semigruppo di quadratura indiretta o del fattore ``integrante''
equazioni lineari omogeneee del primo ordine in forma normale
y'(t)=y(t) e' equivalente a y'(t) - y(t) = 0
una somma di funzioni ... se si vedesse come derivata di qualche H(t, y(t))?
certo se fosse una somma di prodotti si potrebbe provare a vederla come derivata di un prodotto ...
il coefficiente della y(t) dovrebbe essere la derivata di qualche h(t) che moltiplica a sua volta y'(t)!
ma h'(t) =-1 porta a h(t)= -t +c ....
Nulla vieta di moltiplicare l'equazione per un fattore incognito K(t) tanto il termine noto e' 0
l'equazioe e' equivalente a
K(t) y'(t) - K(t) y(t) =0
ora basta imporre K'(t) = - K(t) e prendere una soluzione qualsiasi per esempio K(t)= exp(-t)
l'equazione e' quindi equivalente a
e^{-t} y'(t) - e^{-t} y (t) =0
... ecco!!! e^{-t} y'(t) - e^{-t} y (t) = ( e^{-t} y(t) )' finalmente si ha che l'equazione e' equivalente alla ricerca diretta di una primitiva
( e^{-t} y(t) )' = 0
per cui e^{-t} y(t) = c per cui y(t) = c exp(t).
Si sono con quest'altro metodo ritrovate le soluzioni precedentemenrte individuate.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI (l'incognita e' una funzione ed e' nota una relazione tra i valori punto per
punto della stessa e di un certo numero di sua derivate e la variabile di dominio
F[t, y(t), y'(t), y"(t)...., y^(n) (t)] = c)
IN FORMA NORMALE, ( la derivata di ordine massimo e' isolata nella relazione
y^(n) (t) = G[t, y(t), y'(t), y"(t)...., y^(n-1) (t)] +c )
DEL PRIMO ORDINE (compare oltre alla funzione e alla variabile solo la derivata prima
y' (t) = G[t, y(t)] +c ovvero F[t, y(t), y'(t)] = c)
LINEARI ( F e' lineare nei suoi due ultimi argomenti ovvero la somma di multipli e'
trasformata in somma di multpli di trasformati degli addendi
F[t, p+ra, q+rb] = F[t, p, q] + rF[t, a, b]
Quindi nel caso y'(t) = G[t, y(t)] +c cioe' y'(t) - G[t, y(t)] =c dev'essere
G(t, p+ra) = G(t,p) + r G(t,a)
quindi G(t,p)= h(t) p. Cioe' l'equazione diventa
y'(t) = h(t) y(t) + c ovvero y'(t) - h(t) = c]
OMOGENEE ( l'equazione e' propriamente lineare nel senso che il termine noto e' nullo)
Si considera che F, G, e quindi h siano funzioni continue.
Sono quindi equazioni del tipo y'(t) + a(t) y(t) =0 . Si usa il fattore integrante
sia A(t) primitiva del coefficiente a(t)
A'(t)=a (t) ovvero teorema fondamentale del calcolo integrale
A(t) = funzione integrale di estremo t di a(s) ds
Si moltiplica l'equazione per exp A(t) si ottiene la relazione equivalente
exp A(t)y'(t) + exp A(t) a(t) y(t) =0 ma a(t) = A'(t) quindi
( exp(A(t)) y(t) )' = 0 per cui
exp(A(t)) y(t) = c quindi le soluzioni devono essere del tipo
y(t) = e^{ - A(t)} c
ovvero y(t) = e^{- integrale di estremo t di a(s) ds } c.
Si ottiene quindi l'esistena ed unicita' del sistema con dato iniziale
y'(t) + a(t)y(t) = 0
y(z) = c
l'unica soluzione sara' y(t) = exp{ - integrale tra z e t di a(s) ds} c
11-5-10 lezione 44 (ore 1 minuti 15)
EQUAZIONI A VARIABILI SEPARABILI ED AUTONOME:
il primo metodo ustao per la soluzione di y'(t)= y(t) : (log |y| )' = y'/y =1 si usa in generale per le cosi dette: equazioni a variabili separabili y'(t) = f(t) g(y(t))
Si riassume quanto scritto negli appunti:
oltre alle soluzioni costanti y(t) =c ove c e' uno zero di g [g(c)=0]
le soluzioni non nulle si trovano dividendo per g(y(t)): se H e' una primitiva di 1/g e F di f
(H(y(t))' = y'(t)/ g(y(t)) = f(t)
quindi si ha per qualche costante C in modo che l'immagine di F+c si contenuta in quella di H
H(y(t)) = F(t) +C e quindi y(t) = H^{-1} (F(t)+ C)
Ulteriori osservazioni
- Se g ha rapporti incrementali limitati sui segmenti per esempio se g ha derivata continua
vi e' unicita' per il problema ai dati iniziali
y'(t) = f(t) g(y(t)) y(t_0) = y_0
cioe' nel piano ove stanno i grafici delle soluzioni dal punto (t_0, y_0) si dirama un solo grafico di soluzione
in particolare i grafici di due soluzioni non si possono intersecare
in particolare le soluzioni non costanti hanno grafici che non possono intersecare le rette orizzontali corrispondenti agli zeri di g (i grafici delle soluzioni costanti)
queste risultano essere asintoti orizzontali
- se g e' definita su A intervallo e f su B intervallo e sono continue, g per esempio abbia derivata continua, allora per ogni punto (t_0 , y_0) di BxA
passa un solo grafico di soluzione dell'equazione y' =f(t) g(y)
in particolare BxA e' ``laminato'' dai grafici delle soluzioni
- Asintoti verticali
se |g(y)|/|y| risulta limitato per |y| -->+oo allora le soluzioni non costanti sono definite fintanto che i loro valori sono nel dominio di g
se piuttosto |g(y)|/|y| ---> +oo per |y|--> +oo allora si presentano asintoti verticali per il grafico delle soluzioni non limitate
EQUAZIONI AUTONOME : sono particolari equazioni a variabili separabili ove f(t) =1 per ogni t
y'(t)= g(y(t))
la particolarita' e' quella che il tempo iniziale puo' esser scelto ad arbitrio infatti
se y(t) e' soluzione con dato y(0)=y_0 anche z(t) = y(t-t_0) e' soluzione ma con dato z(t_0)= y_0
graficamente se y e' una soluzione con immagine compresa tra due zeri c_1 e c_2 di g
(grafico compreso nella striscia orizzontale con seconde coordinate comprese tra c_1 e c_2)
tutti i grafici delle soluzioni compresi in questa striscia si ottengono translando orizzontalmente il grafico di y cioe' considerando i grafici di y(t+T) al variare di T.
EQUAZIONI LINEAZRI DEL PRIMO ORDINE
y'(t) - a(t) y(t) = f(t) a ed f continue su un intervallo I
(e' importante per le questini di unicita' che si consderi un intervallo tutto di un pezzo)
I metodo : quadrataura come per il caso omogeneo (f=0)
si ottiene la formula di semigruppo (cfr. appunti)
II metodo ci si basa sulla linearita' dell'equazione
i) si trovano tutte le soluzioni dell'omogenea z'(t)= a(t) z(t) : z(t) = exp{ A(t)} c A'=a
e' uno spazio vettoriale di dimensione 1
ii) si trova una soluzione particolare p(t)
metodo della variazione delle costanti si cerca p(t) del tipo v(t) exp{ A(t)}
imponendo che sia soluzione si ottengono le condizioni sulla funzione coefficiente v
v' exp A + v a exp A - a v exp A = f
quindi v'(t) = exp {-A(t)} f(t) da cui si ottiene per p(t) il secondo addendo della formula di semigruppo
p(t) = exp{A(t)} integrale sino a t di exp{-A(s)} f(s) ds .
Per cui ogni soluzione si ottiene sommando ad una particolare soluzione un'arbitraria soluzione dell'omogenea ( primo addendo della formula di semigruppo)
SCHEMA ASTRATTO
L :V -->W operatore lineare tra spazi vettoriali
- l'insieme delle soluzioni z dell'equazione omogenea L z= O_W
e' un sottospazio vettoriale di V (eventualmente fatto solo da O_V)
- se p e' una soluzione della non omogenea Ly = f ogni altra soluzione della non omogenea
e' del tipo y= p +z con Lz= O_W
Lo schema si applica con
V= C^1(I) spazio vettoriale delle funzioni con derivata continua
W= C (I) spazio vettoriale delle funzioni continue
(Ly) (t) = y'(t) - a(t)y(t)
.
11-05-10 esercitazione 44 (minuti 45)
Equazioni a variabili separabili
studio qualitativo y' (t) = t^2 sin y(t) impostazione del calcolo delle primitive
studio qualitativo e soluzione analitica y'(t) = t^2 y(t) (y(t) -1)
Equazioni autonome
studio qualitativo y'(t) = t^2 y(t) (y(t) -1)
13-5-10 lezione 45 (minuti 45)
Equazioni lineari del secondo ordine
a(t) y'' (t) + b(t) y' (t) + c(t) y(t) = f(t) con a, b, c, f continue su I intervallo a che non si annulli mai
Si usa lo schema astratto
(Ly)(t) = a(t) y'' (t) + b(t) y'(t) + c(t) y(t)
V= C^2 (I) spazio vettoriale delle funzioni con derivata seconda continua
W =C (I) spazio vettoriale delle funzioni continue
1- soluzioni dell'omogenea a z'' + b z' + c z = 0
TEOREMA
l'insieme delle soluzioni dell'equazione omogenea e' uno spazio vettoriale di dimensione 2
cioe'
* vi sono almeno due soluzioni u_1(t) ed u_2 (t) linearmente indipendenti dell'omogenea
( se c_1 u_(t) + c_2 u-2 (t) = 0 per ogni t allora c_1= c_2 =0
per esempio cos t e sin t: se c_1 cos t + c_2 sin t = 0 per ogni t t questo e' vero in particolare per t=0 da cui c_1=0 e per t=pig/2 da cui c_2 =0)
** per ogni coppia di soluzioni linearmente indipendenti dell'omogenea
v_1 e v_2 ogni altra soluzione dell'omogenea z(t) e' del tipo z(t) = c_1 v_1 (t) + c_2v_2 (t)
per qualche coppia di numeri
Nel caso in cui le funzioni coefficienti sono costanti cioe' numeri si ha:
TEOREMA : siano a, b, c numeri allora una coppia di soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione differenziale omogenea az''+bz' +c z=0 sono
u_1(t) = exp{pt} cos qt , u_2 (t) = exp{pt} sin qt nel caso b^2-4ac <0
u_1 (t) = exp{r_1 t } , u_2(t) = exp{ r_2 t} nel caso b^2 -4ac >0
u_1 (t) = exp{r t } , u_2(t) = t exp{ r t} nel caso b^2 -4ac =0
ove (rispettivamente) p +iq, p-iq (b^2-4ac<0) , r_1, r_2 (b^2-4ac>0), r (b^2-4ac=0)
sono le radici del trinomio di secondo grado a X^2 + bX +c
Questo nel caso in cui a, b, c siano numeri reali. Quando siano piuttosto complessi si ottiene
v_1 (t) = exp{w_1 t } , v_2(t) = exp{ w_2 t} nel caso b^2 -4ac non 0
v_1 (t) = exp{w t } , v_2(t) = t exp{ wt} nel caso b^2 -4ac =0
ove w_1 w_2 e w sono le radici complesse di aX^2 +bX +c=0
si osserva che ritornando al caso precedente se il discriminante e ' negativo
allora w_1 = p+i q e' coniugato di w_2 = p-iq
e si ha (per definzione di esponenziale complesso exp{ pt+iqt} = exp{pt} (cos qt +i sin qt) )
che somma di multipli (complessi ) di v_1(t) e v_2 (t) sono proprio u_1(t) ed u_2(t)
u_1(t) = v_1(t)/2 + v_2(t)/2
u_2 (t) = v_1(t)/2i - v_2(t)/2i
Come ci si convince di cio'.
Si chiami D l'operatore di derivazione, ed I l'identita': l'equazione diventa
aDD z + bDz + cz =0 cioe' (aDD +b D +c I )z =0
ora si osserva che iterare la derivazione D e sommare tra loro multipli di quanto ottenuto e' esattamente come operare con la moltiplcazione di una variabile X per se stessa e sommarne multipli.
In sostanza al posto della moltiplicazione di espressioni del tipo (X - 3)(2X+4)
vi e' la composizione F(G(z)) delle funzioni da C^2 (I) in C(I)
G(z) = 2z' +4z deriva z moltiplica per 2 e somma 4 volte z
F(U) = U' -3U deriva U e togli 3 volte U
F(G(z)) = (D-3 I ) (2D +4 I) z = (D-3I) (2z'+4z) = (2z' +4z)' - 3(2z'+4z)= 2z'' -2z' -12 z
Quindi poiche' il polinomio
aX^2 + bX +c = a( X -w_1 ) (X - w_2) = a (X^2 - (w_1+w_2 )X + xw_1w_2 )
ove w_1 e w_2 sono le due sue radici
si arguisce che deve essere
(aDD +b D +c I )z = a(D - w_1 I )(D - w_2 I ) z
cioe' per ogni funzione z: a z'' + bz' +c z = a [ (z' -w_2z)' - w_1 (z' -w_2z)] in effetti quest'ultima espressione
e' a z'' - a(w_1 + w_2) z' + a w_1w_2 z
Ma allora l'equazione
a z'' + b z' + c z = aDD z + bDz + cz =0
e' equivalente a
a(D - w_1 I )(D - w_2 I ) z=0
cioe' al sistema
(D - w_2 I ) z = z' -w_2 z = U
(D - w_1 I ) U = U' - w_1 U =0
per cui U (t) = exp{ w_1 t} k_1 e quindi se w_1 e' diverso da w_2
z(t) =exp{ w_2 t} k_2 + exp{ w_2 t} integrale sino a t exp{-w_2 s} exp{w_1 s} k_1 ds =
= exp{ w_2 t} k_2 + exp{ w_2 t} ( exp{(w_1-w_2) t} exp{w_1 s} h_1 - h_2}=
= exp{ w_2 t} d_2 + exp{ w_1 t} d_1
cioe' tutte le soluzioni sono somme di multipli (a coefficienti complessi) delle esponenziali
exp{w_1t } ed exp {w_2 t} dove w_1 e w_2 sono le radici distinte di aX^2 +bX +c=0.
Se invece w_1 = w_2 =w si ha
z(t) =exp{ wt} k_2 + exp{ w t} integrale sino a t exp{-w s} exp{w s} k_1 ds =
= exp{ wt} k_2 + exp{ w t} integrale sino a t k_1 ds =
= exp{ wt} k_2 + exp{ w t} ( t k_1 - h_2) =
= exp{ wt} d_2 + exp{ w t} t k_1
cioe' tutte le soluzioni sono somme di multipli (a coefficienti complessi) delle
exp{wt } ed t exp {wt} dove w e' la radice multipla di aX^2 +bX +c=0.
2- soluzione particolare.
Per trovare una soluzione particolare di a(t) y'' (t) + b(t) y' (t) + c(t) y(t) = f(t)
si puo' procedere
a) per tentativi e prove
b) metodo della variazione delle costanti anche per equazioni a coefficienti non costanti
c) metodo dei coefficienti indeterminati per coefficienti costanti
Si esamina b) lasciando c) per il seguito
si cerca p(t) del tipo p(t) = c_1(t) u_1(t) + c_2(t) u_2(t) con u_1 ed u_2 soluzioni indipendenti dell'omogenea
p' = c_1' u_1 + c_1 u_1' + c_2' u_2 + c_2 u_2'
p'' = c_1'' u_1 + 2 c_1' u_1' + c_1 u_1'' + c_2'' u_2 + 2 c_2' u_2' + c_2 u_2''
si impone che p sia soluzione per trovare condiozioni per determinare le funzioni coefficenti c_1 e c_2
a( c_1'' u_1 + 2 c_1' u_1' + c_1 u_1'' + c_2'' u_2 + 2 c_2' u_2' + c_2 u_2'')+
b ( c_1' u_1 + c_1 u_1' + c_2' u_2 + c_2 u_2' ) +
c(c_1 u_1 + c_2 u_2 ) =f
ora per scelta le u sono soluzioni dell'omogenea quindi gli addendi della prima riga
ac_1 u_1'', ac_2 u_2''
sommati rispettivamente a quelli della seconda riga
bc_1 u_1', bc_2 u_2'
e rispettivamente a quelli della terza
cc_1 u_1 , c c_2 u_2
sono nulli ( ac_1 u_1''+ bc_1 u_1'+ cc_1 u_1= c_1 ( a u_1''+ b u_1'+ cu_1)= 0 ...) .
Quindi la condizione diventa
a( c_1'' u_1 + 2 c_1' u_1' + c_2'' u_2 + 2 c_2' u_2' )+
b ( c_1' u_1 + c_2' u_2 ) = f
Ora essendo due le incognite e' naturale imporre un'altra condizione.
Di volta in volta si puo' imporre una condizione di comodo e vedere se ci sono funzioni c_1 e c_2
che la verificano insieme a quella dell'equazione.
Una condizione che garantisce sempre di arrivare a trovare le derivate di c_1 e c_2 e' la seguente
(non sempre e' la piu' comoda ...!)
Si riscrive l'equazione come segue
a( (c_1' u_1 + c_2' u_2)' + c_1' u_1' + c_2' u_2' ) + b ( c_1' u_1 + c_2' u_2 ) = f
mettendo in risalto anche nel moltiplicatore di a il moltiplicatore di b che vi compare derivato
quindi si impone che tale moltiplicatore c_1'u_1 + c_2 ' u_2 sia la funzione nulla
c_1' (t) u_1(t) + c_2 ' (t) u_2 (t) = 0 per ogni t
l'equazione allora e' equivalente a
c_1'(t) u_1'(t) + c_2' (t) u_2' (t) = f(t) /a(t) per ogni t
Quindi si trovano le derivate di c_1 e c_2 imponendo t per t le due condizioni
c_1' u_1 + c_2 ' u_2 = 0
c_1' u_1' + c_2' u_2' = f /a
che come osservato negli appunti puo' sempre essere risolto. Si procede quindi direttamente
c_1'= -c_2' u_2/u_1 dalla prima e sostituendo nella seconda
-c_2' u_2 u_1' /u_1 + c_2' u_2' = f /a per cui
c_2 ' = f u_1 / a (u_2' u_1 - u_2 u_1' )
c_1' = - f u _2 / a (u_2' u_1 - u_2 u_1' )
.13-05-10 esercitazione 45 (minuti 15)
y'' +y' +y =0
y'' +2y' +y =0
18-5-10 lezione 46 (minuti 45)
- Schema riassuntivo per equazioni a variabli separabili e per equazioni lineari.
-Prosecuzione dello schema per affrontare il problema con dati iniziali per un equazione lineare del secondo ordine
(si ricorda se P(x) = A x^d + ... e' un polinomio di gardo d ed a, b, c .... sono le sue radici allora
P(x) = A (x-a )^h (x-b)^k (x-c)^j .... la somma degli esponenti e' d
ogni esponente si dice molteplicita' della rispettiva radice)
c) metodo dei coefficienti indeterminati per equazioni lineari a coefficienti costanti
ay'' (t) + by' (t) + cy(t) = P(t) exp{ k t} cos (h t) ovvero P(t) exp{ k t} sin( h t) con P polinomio
p(t) sara' da cercarsi tra quelle del tipo p(t)= t^m ( P_1(t) exp{kt} cos h t + P_2(t) exp{kt} sin ht )
con P_1 e P_2 polinomi di grado minore eguale a quello di P
ed m molteplicita' di k +ih , k - i h come radici di a x^2 +b x + c=0
quindi vanno trovati i coefficienti dei polinomi P_1 e P_2 che determinano p
per far cio' si impone appunto che p sia soluzione
sfruttando il fatto che le funzioni del tipo
t^n exp{kt} cos h t , t^j exp{kt} cos ht, t^n exp{kt} sin h t , t^j exp{kt} sin ht (con j diverso da n)
che compaiono come addendi una volta che si sono sostituite p, p ' e p'' nell'equazione
sono linearmente indipendenti cioe' : se la somma di loro multipli e' la funzione sempre nulla
allora i coefficienti sono tutti nulli
(l'indipendenza lineare tra funzioni e' una generalizzazione il principio di identita' dei polinomi che ne e' un caso particolare considerando come funzioni 1, t, t^2, t^3, ... ).
Quindi
- effettuata la sostituzione e
portato il termine noto al primo membro,
- si raccolgono le funzioni di questo tipo
- si avra' come condizione una somma di multipli di funzioni di tal tipo eguale a 0 per ogni t
quindi si impone che ognuno dei coefficienti di queste funzioni sia eguale a 0
per indipendenza lineare delle funzioni in questione
- poiche' ognuno di tali coefficienti, che si sono imposti separatamente essere eguali a 0' e' somma di multipli dei coefficienti incogniti (appunto i coefficienti indeterminati) dei polinomi, si ottiene un sistema
in cui le incognite sono i coefficienti dei polinomi e le equazioni sono le condizioni di annullamento imposte dalla lineare indipendenza.
Lo si risolve e si trovano i polinomi agognati.
OSSERVAZIONE se il termine noto e' somma di termini noti di questo tipo cio' si considera l'equazione differenziale
ay'' (t) + by' (t) + cy(t) = P(t) exp{ k t} cos (h t) + Q(t) exp{ r t} cos (s t) + ...
per linearita' dell'equazione si possono considerare separatamente le equazioni differenziali aventi come termini noti gli addendi del termine noto
ay_1'' (t) + by_1' (t) + cy_1(t) = P(t) exp{ k t} cos (h t)
ay_2'' (t) + by_2' (t) + cy_2(t) = Q(t) exp{ r t} cos (s t)
...
per ognuna di esse si trova con il metodo detto la rispettiva soluzione particolare
p_1(t), p_2 (t) ...
e quindi per linearita' p(0 = p_1 (t) + p_2 (t) + .... sara' soluzione dell'equazione con termine noto
eguale alla somma dei termini noti
OSSERVAZIONE come sottolineato negli appunti il caso complesso di questo metodo e di enunciazione e applicazione piu' semplice
ay'' (t) + by' (t) + cy(t) = P(t) exp{ A t} P (t) polinomi complesso, A= k +i h
allora una soluzione particolare sara' della forma
p(t) =t^m R(t) exp {At}
ove m sra' la molteplicita' di k+i h come radice di a x^2 +bx +c =0
R(t) un polinomi complesso di grado minore eguale a quello di P(t)
3- Problema ai dati iniziali per equazioni lineari del secondo oridine:
a(t) y'' (t) + b(t) y' (t) + c(t) y(t) = f(t) (a,b,c, f continue ed a non 0 su un intervallo I)
y(t_0) = y_0 t_0 in I
y' (t_0 )= y_1
1- si trovano due soluzioni indipendenti dell'omogenea associata w(t) e v(t)
2- si trova una soluzione particolare p(t) con uno di metodi elencati a), b) o c)
ogni soluzione sara' del tipo y(t) = p(t) + d w(t) + e v(t) (*)
si impone quindi che soddisfi le condizioni iniziali
p(t_0) + d w(t_0) + e v(t_0) = y_0
p'(t_0) + d w'(t_0) + e v'(t_0) = y_1
ottenendo un sistema con le incognite d ed e, questo sistema e' sempre risolubile
risolto tale sistema si ha la soluzione cercata
sostituendo le soluzioni del sistema in (*)
Si ha che il problema ai dati iniziali t_0, y_0, y_1 per un'equazione lineare del secondo ordine
ha sempre un'unica soluzione
18-05-10 esercitazione 46 (ore 1 minuti 15)
Impostazione della soluzione dell'equazione y''+ y' +y = log t con il metodo della variazione delle costanti
Esempi di equazioni lineari del secondo ordine affronati con il metodo dei coefficienti indeterminati
e relativi problemi ai dati iniziali
[AGGIUNTA RISPETTO A QUANTO DETTO A LEZIONE: data l'euquazione a(t) y''(t) +b(t) y](t) +c(t) y(t) = f(t) s e si conosce una soluzione u(t) dell'omogenea associata che non si annulla, allora una soluzione particolare puo' esser cercata nella forma
p(t) = u(t) primitiva di g(s)/u(s)= u(t) I(t)
infatti imponendo che sia soluzione
p' = u' I + u g/u = u' I + g
p'' = u'' I + u' g/u + g'
a u'' I + a g u'/u + ag ' + b u'I + b g + c uI = f
sfruttando che u e' soluzione dell'omogenea rimane solo la condizione
a g u'/u + ag '+ b g = f cioe' l'equazione differenziale del primo ordine lineare di incognita g
a g' + ( a u'/u +b)g = f
per cui applicando la formula di semigruppo si ha un'espressione (integrale ) per g e quindi per p
SECONDA AGGIUNTA: sempre nello spirito della formula di semigrupo e della sovrapposizione
degli effetti si puo' pensare che l'effetto di ``accellerazione'' del termine noto sia ottenibile come
somma -integrale di impulsi istantanei
a(t) y''(t) +b(t) y](t) +c(t) y(t) = f(t)
si consideri v(t) = u_s (t) che risolve il problema ai dati iniziali
a(t) v''(t) +b(t) v(t) +c(t) v(t) = 0
v(s)=0
v'(s) = f(s)/a(s)
per quanto detto intuitivamente una soluzione particolare dovrebbe essere del tipo
p(t) = integrale sino a t u_s (t) d s
per verificarlo formalmente si usa che per una funzione F(t) =integrale sino a t di g(t,s) ds
F'(t) = integrale sino a t di dg(t,s) /dt ds + g(t,t). Per derivare rispetto ad s U_s(t) convine
considerare u(t)
a(t) u''(t) +b(t) u'(t) +c(t) u(t) = 0
u(0)=0
u'(0) = 1
si ha per unicita' e linearita' u_s(t) = u(t - s) f(s)/a(s)
quindi una soluzione perticolare sara' del tipo
p(t) = integrale sino a t u(t - s) f(s)/a(s) ds
p'(t) = integrale sino a t u'(t - s) f(s)/a(s) ds + u(0) f(t)/a(t) = integrale sino a t u'(t - s) f(s)/a(s) ds
p'' (t) = integrale sino a t u''(t - s) f(s)/a(s) ds + u'(0) f(t)/a(t) =
= integrale sino a t u''(t - s) f(s)/a(s) ds + f(t)/a(t)
ap'' = f + int a u''(t-s) f/a ds
bp' = int b u'(t-s) f/a ds
cp = int c u(t-s) f/a ds
sommando
ap'' +bp' + cp = f + int { [a u''(t-s) +b u'(t-s) +c u(t-s)] f/a }ds = f + int{ [0} f/a } ds = f
]
20-5-10 lezione 47 (1 ora ) Ulteriori nozioni di calcolo delle probabilita' :
variabili aleatorie ``continue''
funzioni di densita' e ``funzioni di distribuzione infinitesime''
densita' congiunta
media, varianza covarianza
variabili aleatorie indipendenti
diseguaglianze di Tchebychev
legge dei grandi numeri
Riferimenti:
[EB] cap. 13 pagg. 439-446, 452-474; [MA1] cap. 8 pagg. 423-433, 439-450;
[BDM] cap.10-11 pagg. 396-397, 434-446, 451-457;
[IRS] cap. 1-3 pagg. 29-48, 128-133;
[VV] cap.10-11.
Lezioni e ed esercitazioni del corso in cui si sono introdotti i concetti di base:
lezione 6 (13/10/09)
lezione 10 (26/10/09)
lezione 19 (19/11/09)
lezione 26 (14/12/09)
lezione 27 (15/12/09)
esercit. 25 (15/12/09)
esercit. 26 ( 17/12/09)
lezione 28 (17/12/09)
*Appunti ed esercizi su probabilita' 1 corso Prof. Alberti
Appunti ed esercizi su probabilita' 2 corso Prof. Alberti
*
Per variabili aleatorie X in C che assumono valori lungo una successione con probabilita' 1
cioe' per cui tra i valori ammissibili vi e' una successione v_1, v_2, ... di elementi di C per cui
P( X = v_n per qualche n ) = serie P(X=v_n) =1
altrimenti
non solo la funzione di distribuzione d(v)=P(X=v) e' nulla tranne al piu' per una successione di valori
ma di piu' deve essere P (C\{ v_1, v_2 ...})=0,
la teoria e' stata ampiamente svolta in analogia con la statistica elementare e si e' visto come introdurre
rigorosamente le nozioni media, varianza, covarianza, quantili etc. etc. .
Nel caso in cui C= R, questo vuol dire che
la funzione di ripartizione F(v)= P(X < o = v)
e' una funzione costante a tratti crescente
ove ordinando i valori con probabilita' non nulla v_1 < v_2 < v_3 ...
i tratti sono [v_1, v_2[, [v_2, v_3[ ....
eguale ad 1 su una semiretta a +oo, e a 0 su una semiretta a-oo
Nella pratica puo' succedere di avere la necessita' di trattare il caso in cui per ogni v in C
P(X=v)=0 o per lo meno il caso in cui comunque si scelga una successione w_1, w_2 ... in C si abbia
invece P (C\{ w_1, w_2 ...}) > 0
Concentriamoci nel caso in cui la funzione distribuzione
d(v) = P(X=v) =0 sia sempre nulla
quindi non significativa. Rimane nel caso di variabili reali la funzione di ripartizione
F(v) = P (X < o = v)
ovvero piu' in generale la cosi detta legge di probabilita'
L(A) = P ( X in A) per A sottoinsieme di C, che e' una misura su C per cui L(C)=1.
Definizione
Una variabile aleatoria reale si dice con ripartizione o legge continua
se d(v)= 0 per ogni numero reale v
OSSERVAZIONE X ha distribuzione continua se e solo se
la funzione di ripartizione F(v)=P(X < o = v) e' una funzione continua
Definizione
Una variabile aleatoria reale con ha densita' se e solo se
vi e' una funzione f:R--> [0, +oo[ sommabile (continua, continua a tratti)
P(X < o = v) = F(v) = integrale da - oo a v f(x) dx
nel caso se A e' nella sigma algebra di Borel (cfr . lezz. 26, 27, 28)
P( X in A) = L(A) = integrale su A f(x) dx
Chiaramente per le proprieta' degl integrali (sommabilita' di f) se X ha densita' allora ha distribuzione continua cioe' d(v)=L({v})= P(X=v) = 0 per ogni v
Intuitivamente
f(x) dx l'infinitesimo P( X infinitamente vicino a x)
fa le veci della funzione distribuzione d(x)= P (X=x) ora sempre nulla.
OSSERVAZIONE una variabile aleatoria ha densita' continua se e solo se
la funzione di ripartizione ha derivata continua F'=f (teorema fondamentale del calcolo integrale)
Definizione V= (X,Y) sia una variabile aleatoria a valori nel piano cartesiano R^2,
si dice che ha densita' se vi e' una funzione f : R^2-->[0, +oo[ sommabile (continua, continua a pezzi)
P( V in H) = integrale su H f(x,y) dx dy per H sottoinsieme boreliano di R^2
f si dira' anche densita' congiunta di X e Y
In particolare
P( X in A e Y in B) = integrale su A { integrale su B f(x,y) dy } dx
e quindi per ogni sottoinsieme K boreliano di R^2
P( (X,Y) in K) = integrale su K di f(x,y) dx dxy
OSSERVAZIONE indicando con D_x e D_y le derivate parziali se (X, Y) ha densita' continua
poiche' la funzione di due variabili
F(x,y) = P(X < x e Y <y ) = integrale da -oo ad x integrale da -oo ad y f(s,t) dsdt
si avrebbe D_x D_y F= f
OSSERVAZIONE
- In generale date due variabili X, Y con densita' rispettivamente g ed h non e' detto che vi si a la densita' congiunta
e.g Y= X+1 e sia g(x) e' la densita' di X quindi quella di Y e' g(y-1)
P ( X in [0,1] e Y in [1,2]) =P(X in [0,1]) = integrale tra 0 e 1 di g(x) dx
piu' in generale qual che sia la densita' congiunta f(x,y) di (X,Y) si ha direttamente
(*) P(X in A e Y in B) = P ( X in A e X in {v: v+1 in B}) =
integrale sull'intersezione di A con il traslato a sinistra per 1 di B di g(x) dx
in effetti non appena il rettangolo AxB e' disgiunto dal grafico y=x+1 il vettore (X, X+1) non sta in AxB
in particolare P(X in e Y in B)=P(evento impossibile)= 0, d'altra parte se AxB non tocca la retta y=x+1
cio' vuol dire proprio che A intersecato traslato di B ' vuoto, e quindi l'integrale di g su di esso e' nullo.
Per questo motivo P(X in A e Y in B) non puo' essere del tipo
(**) integrale su A { integrale su B f(x,y) dy } dx
con f continua non negativa e non nulla (dovrebbe avere integrale 1 essendo una densita')
poiche' se f(p,q) =s >0 in un piccolo rettangolo di centro (p,q) f dovrebbe essere maggiore di s/2
e quindi (**) sarebbe maggiore di 0.
Quindi f dovrebbe essere nulla tranne che sul grafico y=x+1 e quindi non potrebbe avere integrale doppio eguale ad 1.
In generale se Y= k(X) si avrebbe una densita' congiunta ``generalizzata''' singolare concentrata sul grafico di y=k(x): cioe', detta C(x,y)
la funzione caratteristica del grafico di k, che vale 1 sul grafico di k e 0 altrimenti, si avrebbe f(x, y) = g(x)C(x,y)/ radq(1+k'^2 (x)) da integrare sul grafico di k.
ATTENZIONE- In generale la densita' congiunta se esiste non e' il prodotto delle densita' delle singole variabili aleatorie
- Densita' di una somma:
se X e E hanno densita' congiunta f(x,z) continua si avrebbe che la densita' di X+E
s(y) = integrale da -oo a +oo f(y-z, z) dz
infatti
P(X+E in B) = P( (X,E) in {(x,z): x+z in B}) = integrale doppio su {(x,z): x+z in B} f(x,z) dx dz=
= integrale da -oo a +oo { integrale su {x: x+z in B} f(x,z) dx} dz =
[usando nell'integrale interno , invece di x nel traslato per y di B, la variabile y= x+z che varia in B]
= integrale da -oo a +oo { integrale su B f(y-z,z) dy} dz = [cambio ordine degli integrali]
=integrale su B { integrale da -oo a +oo f(y-z,z) dz} dy
ESEMPIO Si consideri X con densita' g(x)=1 per x in [0,1] 0 altrimenti (densita' uniforme su [0,1]),
quindi un'altra variabile E con la stessa densita' in modo che gli eventi (X in A) ed (E in H) siano sempre indipendenti cioe'
P(X in A e E in H) = P(X in A) P(E in H)= misura di A intersecato [0,1] x misura di H itersecato [0,1].
Si ottiene quindi che (X,E) ha densita' congiunta h(x,z)=1 per (x,z) in [0,1]x[0,1] 0 altrimenti.
Si pone infine Y= X+ E e, se C_D (y) =1 per y in D e 0 altrimenti, si ottiene Y che ha densita'
k(y) = integrale da -oo a +oo C_[0,1] (y-z) C_[0,1] (z) dz =
=integrale tra 0 e 1 C_[0,1] (y-z) dz =integrale tra 0 e 1 C_[y-1,y] (z) dz =
= integrale su [0,1] intersecato [y-1,y] dz = misura [0,1] intersecato [y-1,y] =
=
0 se y < 0 ,
y se y sta in [0,1],
2- y se y sta in [1,2],
0 se y>2 (la funzione che come grafico su [0,1] ha il triangolo di vertici (0,0), (1,1), (2,0) )
rifacendo il calcolo di prima nel caso concreto
P(Y in B) = P (X+E in B) = P ((X,E) in {(x,z): x+z in B}) =
= integrale tra 0 ed 1 { integrale tra 0 e 1 C_B (x+z) dx} dz =
=integrale C_[0,1] (x) { integrale C_[0,1] (z) C_B (x+z) dx} dz =
= integrale doppio C_[0,1] (x) C_[0,1] (z) C_B (x+z) dxdz =
[usando invece di x in [0,1] si usa la variabile y= x+z in [z, z+1] nell'integrale interno ]
=integrale doppio C_[0,1] (y-z) C_[0,1] (z) C_B (y ) dy dz =
=integrale doppio C_[0,1] (y-z) C_[0,1] (z) C_B (y ) dz dy =
=integrale su B { integrale tra 0 e 1 C_[0,1] (y-z) dz} dy
*
MEDIA, VARIANZA etc.
Per variabili aleatorie con densita' e' naturale definire media, varianza, covarianza
e concetti analoghi, sostituendo alle somme integrali e alle frequenze relative le densita' moltiplicate dx
certo che bisogna assumere che gli integrali che si vanno a scrivere siano di funzioni sommabili:
quindi data X con densita' f(v) ,
se integrale |v| f(v) dv < +oo
si definisce la media di X
<X> = integrale di v f(v) dv
ispirandosi alla statistica
media di x_1 .... x_n = somma sui v valori del campione di v frequenza relativa di v
OSSERVAZIONE: se X ha densita' f, data una funzione g per cui integrale |g(v)| f(v) dv < +oo
allora Y= g(X) ha media <Y> = integrale g(v) f(v) dv
``somma continua'' valore di Y ``frazione di frequenza infinites. del valore''
Analogamente se X ha media si definisce
Var (X) = integrale di (v- <X>)^2 f(v)dv
ovvero la media Y= (X-<X>)^2
OSSERVAZIONE Se X e Y hanno densita' congiunta f(x,y), e g e' una funzione per cui
integrale doppio |g(x,y)| f(x,y) dx dy < + oo allora Z= g(X, Y) ha media
<Z> = integrale doppio g(x,y) f(x,y) dxdy
``somma continua'' valore di Z ``frazione di frequenza infinitesima del valore''
Proposizione
Se X e Y hanno densita' congiunta f(x,y), e entrambe varianza finita allora
integrale |xy| f(x,y) dx dy < +oo
si definisce nel caso
Cov(X,Y) = < (X-<X>)(Y - <Y>)> = integrale (x- <X>) (y-<Y>) f(x,y) dxdy
Valgono le usuali proprieta' viste per la statistica e per le variabili a valori successioni
se X e Y hanno media finita allora anche X+r Y e < X+rY> = <X> + r <Y> [linearita']
se X e Y hanno media finita e P(X < Y) =1 allora <X> < < Y> [monotonia]
se X e Y hanno varianza finita allora anche X+r Y la ha e
Var(X+r Y) = Var (X) + r^2 Var (Y) + 2 r Cov (X,Y)
inoltre Cov(X,Y) = <XY> - <X><Y>
in particolare se P(Z= a) =1 allora Var (X+Z) = Var (X)
Diseguaglianze di Tchebychev
Se Z ha media
P( |Z| >a ) < o = <|Z|> /a
infatti
<|Z|> = integrale |v| f(v) dv = integrale su |v|> a |v|f(v) dv + integrale su v <o= a |v|f(v) dv
maggiore eguale di un solo addendo essendo la funzione da integare non negativa:
<Z> > o = integrale su |v|> a |v|f(v) dv ma su tale domino l'integranda e' maggiore di a f(v)
<Z> > o = a integrale su |v|>a f(v) dv = a P( |Z| >a)
Se X ha varianza finita
P( |X - <X> | > b ) < o = Var(X)/b^2
si applica la precedente a Z= (X -<X>)^2 con a=b^2.
Definizione due variabili aleatorie X e Y si dicono indipendenti se per ogni A e B
P((X,Y) in AxB ) = P(X in A e Y in B) = P(X in A) P(Y in B)
ovvero se gli eventi (X in A) e (Y in B) sono indipendenti
Definizione una famiglia di variabili aleatorie X(t) si dice indipendente se per ogni t_1, t_2 t_3 ... t_n
e per ogni A_1 , A_2 ....
P( X(t_1) in A_1 e X(t_2) in A_2 ... ) = prodotto P(X(t_i) in A_i
Proposizione:
Se X e Y sono indipendenti con densita' rispettive f(x) e g(y) allora
- (X,Y) ha densita' congiunta h(x,y) = f(x) g(y)
- la densita' di X+Y e' integrale da -oo a +oo f((z-y) g( y) dy
- XY ha media e <XY> = <X><Y> in particolare Cov(X,Y)=0
quindi se hanno anche varianza finita Var(X+Y) = Var(X) + Var (Y)
Proposizione:
se le variabili aleatorie X_1, X_2 .... sono indipendenti ( in blocco) allora
Var (X_1 + X_2 + ... ) = Var(X_1) + Var (X_2) + ...
AGGIUNTA a ben vedere basta che siano indipendenti a due a due
LEGGE DEI GRANDI NUMERI
se X_1, X_2 , .... e' una successione di variabili aleatorie
indipendenti in blocco
AGGIUNTA a ben vedere basta che siano indipendenti a due a due
tutte con legge eguale a quella di una variabile X [P( X_i in A ) = P(X in A) ]
con media e varianza finite
allora P( | [X_1 + X_2 + ... + X_n] /n - <X> | > c ) ---> 0 per n---> + oo
piu' in particolare
P( | [X_1 + X_2 + ... + X_n] /n - <X> | > c ) < o = Var(X)/c^2 n
infatti si applica la diseguaglianza di Tchebyscev a
Y = X_1 + X_2 + ... + X_n - n <X> con b= nc
e si osserva che Var (Y) = Var (X_1 + X_2 + ...) = Var (X_1) + Var (X_2) + ... = n Var(X)
Questo teorema mostra che con probabilita' sempre piu' alta la media campionaria di campioni indipendenti sempre piu' numerosi e' vicina alla media ideale incognita.
E' la motivazione matematica a certe consuetudini.
ESERCIZI
calcolo
di media e varianza per la distribuzione binomiale.
FINE
***************************************************************************************************************
nel seguito c'e' parte del registro dell' anno scorso
****************************************************************************************************************
-Prime regole di formazione degli insiemi (rispecchiano fatti intuitivi)
1- due insiemi sono eguali se e solo se sono uno incluso nell'altro e viceversa
(ovvero hanno esattamente gli stessi elementi)
(estensionalita')
2- c'e' l'insieme vuoto
3- dato un insieme A c'e' il sottoinsieme dei suoi elementi che soddisfano una data proprieta' Q
(regola di formazione di sottoinsiemi per specificazione) tale sottoinsieme viene denotato con la scrittura
{x elementi di A : Q (e' vera) per x}
4- se ad ogni elemento i di un insieme I associo un elemento Ai c'e' l'insieme costituito da tutti, e solamente questi, questi Ai
(regola di formazione per rimpiazzamento) tale insieme viene denotato con la scrittura
{ Ai : (con ) i elemento di I}
5- dato un insieme A c'e' l'insieme dei suoi sottoinsiemi P(A)
(insieme delle parti di A o insieme potenza di A)
6- ci sono gli insiemi N, Z,Q, R, ...
Per esempio la proprieta' essere eguali o a 1 o a 2 o a 3 specifica il sottoinsieme di numeri che ha come elementi solo questi tre numeri e si scrive {1,2,3}.
Per esempio se A= N e per n in N considero Tn= {0,1,..., n} vi e' per rimpiazzamento l'insieme
che con notazione intuitiva possiamo denotare con {{0}, {0,1}, {0,1,2} ...}.
- Si ha che x e' elemento di {x}, l'insieme che come unico elemento ha x, ma non e' detto sia eguale a lui.
-L'insieme potenza di un insieme con n elementi ha 2^n elementi (verifica per n=3).
23-10-08 lezione 7 (Tortorelli) Ripresentazione delle regole di formazione di insiemi enunciate ed esemplificate nella precedente lezione e continuazione dell'enunciazione delle regole di formazione di insiemi e notazioni correlate: unione, intersezione, differenza, complementare, differnza simmetrica, prodotti insiemistici.
Riferimenti: [EB] cap.2 pagg. 40-45;
[MA1] cap. 1 pagg. 28-30 ;
[BDM] cap. 1 pagg. 18-22.
Notazioni e definizioni: coppie, terne ordinate, (a,b)=(c,d) vuol dire a=c e b=d, notazioni per unioni finite, intersezioni finite, prodotti finiti di insiemi, differenza, complementare, unioni infinite, intersezioni infinite, prodotti infiniti di insiemi.
Enunciati: - l'unione e l'intersezione tra due insiemi sono commutative ed associative, e sono distributive una rispetto all'altra;
-l'unione ha come elemento neutro l'insieme vuoto, che e' annullatore nell'intersezione;
- l'intersezione di sottoinsiemi di in dato insieme ambiente X ha come elemento neutro X;
-intersezione ed unione sono idempotenti
-Leggi di De Morgan: il complemento di un intersezione e' l'unione dei complementi, il complemento di una unione e' l'intersezione dei complementi.
7- Dato un insieme A vi e' l'insieme unione su A che ha come soli elementi gli elementi di elementi di A: {x: per qualche a elemento di A, x e' elemento di a}
se per esempio A={Ai : i in I} l'unione e' Ui in I Ai ={x: per qualche i in I , x e' elemento di Ai}
8- Dato {Ai : i in I} vi e' l'insieme prodotto e non e' vuoto
Xi in I Ai = {x: x corrispondenza tra I e Ui in I Ai per cui xi sta in Ai}
27-10-08 lezione 8 (Tortorelli)
i- Calcolo proposizionale e quantificatori, relazioni con le notazioni insiemistiche.
ii- Coordinate cartesiane nel piano e nello spazio prima parte:.
Riferimenti: i- [EB] cap.2 pagg. 45-58, ii- [EB] cap.14 pagg. 495-498;
i- [MA1] cap. 1 pagg. 31-33, ii- [MA1] cap. 3 pagg. 97-101, pagg. 102- 106 da rileggere;
ii-[BDM] cap. 1 pagg. 51-54, cap 2 pagg. 59-74;
ii- [IRS] cap. 5 pagg. 165-168;
ii- [VV] cap. 5 pagg.75-77.
Notazioni e definizioni: i- tavole di verita', congiunzione logica, disgiunzione logica, negazione, implicazione, equivalenza logica, quantificatore universale (per ogni):
per ogni x( se p(x) allora q(x))
forme abbreviate:
per ogni x in A x(x)
sta per
per ogni x (se x sta in A allora q(x))
che si abbrevia ulteriormente se il contesto A si sottointende con
per ogni x q(x),
quantificatore esistenziale (esiste):
esiste x p(x)
forma abbreviata
esiste x in A p(x)
sta per
esiste x (x sta in A e p(x)).
ii- somma di vettori e prodotto di un vettore per un numero,
identificazione somma e prodotto per numeri di coppie e terne ordinate, sistema di riferimento, assi coordinati, base, coordinate, sistema di riferimento ortonormale o cartesiano, distanza (euclidea) tra coppie e terne:
famiglia di vettori linearmente indipendenti.
Enunciati: i- corrispondenza tra operatori logici e operazioni insiemistiche, leggi di De Morgan per le operazioni logiche: non (p e q) = (non p) o (non q), non(p o q) = (non p) e (non q),
non (per ogni x vale p(x)) = esiste x per cui (non p(x)),
non(esiste x per cui p(x))= per ogni x(non p(x)).
ii-
Nel piano due vettori sono lienarmente dipendenti se e solo se sono allineati con l'origine.
Gli argomenti trattati in questa lezione non coinvolgono la nozione di distanza ma solo quelle di traslazione, dilatazione e parallelismo
Definizioni: - Uno spazio vettoriale su R e' un insieme V con due operazioni
v+w in V se v e w sono in V (traslazione di v con w)
tv in V se v in V e t in R (dilatazione di fattore t di v).
la somma e' commutativa associativa ha elemento neutro 0V (origine) e opposto -v per ogni elemento v di V (v+(-v)=0V ), il prodotto per numeri e' distributivo rispetto alla somma
((-1)v=-v, 0v=0V).
-Un sottospazio vettoriale di V e' un suo sottoinsieme che e' uno spazio vettoriale con le stesse operazioni e la stessa origine.
- Combinazione lineare di elementi di un sottoinsieme A di uno sp.vett. V e' una somma finita del tipo t_1 a_1 + ...t_k a_k con coefficienti t_1 ...t_k in R e a_1 ... a_k in A
-L'insieme delle combinazioni lineari di elementi di A si dice sottospazio vettoriale generato da A.
i sottospazi vettoriali del piano sono: l'insieme formato solo dall'origine, le rette passanti per l'origine, il piano stesso;
i sottospazi vettoriali dello spazio sono: l'insieme formato solo dall'origine, le rette per l'origine, i piani per l'origine, lo spazio stesso.
- Un sottoinsieme A si dice di vettori linearmenti indipendenti se ogni combinazione lineare di elementi di A nulla (= 0V ) ha coefficienti numeri reali tutti nulli.
- Dei vettori di V sono linearmenti dipendenti se uno di essi sta nel sottospazio generato dai rimanenti.
- Una base di V e' per definizione un sottoinsieme di vettori di V che:
1- siano linearmente indipendenti
2- generino tutto V
-Il numero di elementi di una base di uno spazio vettoriale si dice dimensione dello spazio vettoriale.
-Dati v_1 ... v_k in V linearmente indipendenti, e P in V si dice piano k dimensionale passante per P e parallelo a (o anche ``con giacitura'') v_1 ... v_k l'insieme
{P + t_1 v_1 + ...t_k v_k: t_1 , ... ,t_k in R }
-Rette in forma parametrica e come luogo di zeri in R^2.
Problematica: come riconoscere dalle coordinate in una dato sistema di riferimento se due o piu' vettori sono o meno linearmente indipendenti, o vvero se dei punti sono allineati o complanari?
Enunciati ed esempi: - R, R^2,R^3,R^n sono spazi vettoriali con le operazioni di somma per componenti e prodotto per numero reale delle componenti;
-L'insieme delle combinazioni lineari di elementi di un sottoinsieme A di V e' un sottospazio vettoriale;
- Ogni elemento di V si scrive in modo unico come combinazione lineare degli elementi di una base di V (ogni deriva dal fatto che la base genera tutto lo spazio, l'unicita' dei coefficienti e' dovuta al fatto che una base e' linearmente indipendente)
-TEOREMA: Tutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi.
- Fissata una base in uno spazio vettoriale di dimenzione finita n esso si identifica con R^n :
infatti si identificano mettendoli in ordine gli elementi della base v_1 ... v_n rispettivamente con
(1,0 ... 0), (0,1,0 ...), .... , (0,... 0 ,1) ,
quindi v = t_1 v_1 + ...t_n v_n si identifica con t_1 (1,0 ... 0) + ...+t_n (0 ... ,1)=(t_1, t_2 ... t_n).
-Lo spazio vettoriale dei polinomi con coefficienti reali e' di dimensione infinita.
-Se un piano di dimensione k passa per l'origine e' un sottospazio vettoriale, tutti i piani sono traslati di sottospazi vettoriali, se traslo un sottospazio per un suo elemento ottengo lo stesso sottospazio.
- Rette in R^2 in forma parametrica: esempio numerico.
In generale la retta per P (punto di partenza) di coordinate (a,b) parallela a v (velocita') di coordinate (p,q) e' l'insieme
{(a+tp, b+tq) : t in R}
gli (x,y) in R^2 che stanno su tale retta sono quelli per cui vi e' t in R tale che (x,y)=(a+tp, b+tq)
cioe'
-------------------------------------------------------------- a + t p = x
gli (x,y) per cui vi e' soluzione t in al sistema
-------------------------------------------------------------- b + t q = y
moltiplicando la prima equazione per q la seconda per p e sottraendole si ottiene che
gli (x,y) che stanno sulla retta soddisfano l'equazione qx - py + pb - qa = 0
Quindi
{(a+tp, b+tq) : t in R} = {(x,y) in R^2 : qx - py + pb - qa = 0 }.
- Ogni retta si scrive come luogo di zeri {(x,y): Ax+By+C=0}.
- Due vettori in R^2 v=(p,q) e w=(h,k) sono paralleli, ovvero visti come punti sono allineati con l'origine se e solo se
pk - qh = 0
(infatti perche' lo siano uno dev'essere multiplo dell'altro quindi vi deve essere t in R per cui
p=th e q=tk, a parte il caso degenere in cui uno dei vettori e' nullo, dividendo si ottiene l'eliminazione di t e l'eguaglianza p/q= h/k).
30-10-08 lezione 10 (Tortorelli)
det matrice di colonne M^1 ... M^n =
M^1_1 det (della matrice senza la prima colonna e la prima riga) +
- M^1_2 det (della matrice senza la prima colonna e la seconda riga) +
...
(-1)^(1+i) M^1_i det (della matrice senza la prima colonna e le i-esima riga) +
...
Equazione generale di un piano nello spazio
{(x,y,z): Ax +By+Cz+D=0},
sistema di equazioni generale di una retta nello spazio
{(x,y,z) : Ax+By+Cz +D=0 e ax+by+cz +d=0}
(quando (A,B,C) e (a,b,c) siano non allineati con (0,0,0))
- TEOREMA 3 sul determinante: n vettori in R^n sono linearmente dipendenti se e solo se il determinante della matrice delle loro coordinate e' nullo.
In particolare un punto X=(x,y,z) sta nel piano {P+ tv+s w: t ed s in R} con P=(a,b,c), v=(p,q,r), w=(h,k,j) e v, w linearmente indipendenti se e solo se X-P dipende linearmente da v e w
cioe' sta nello sottospazio vettoriale generato da v e w (che al piu' e' un piano per l'origine)
se solo se il parallelepipedo di vertici (0,0,0), X-P, v, w, X-P+v+w e' degenere (piatto) e quindi ha volume nullo:
det (X-P, v, w)=0: ovvero
{P+ tv+s w: t ed s in R} ={(x,y,z): x(qj-kr) - y(pj -hr) + z( pk-hq) - det (P,v,w)=0}
-TEOREMA 3 bis sul determinante: k vettori in R^n, n>k, sono linearmente dipendenti se e solo se tutti i determinanti delle sottomatrici k per k della matrice delle loro coordinate sono nulli.
Ovvero se le loro proiezioni cartesiane sui sottospazi coordinati di dimensione k sono linearmente dipendenti.
OSSERVAZIONE AGGIUNTA: in realta' le condizioni possono essere in numero minore.
In particolare un punto X=(x,y,z) sta sulla retta non degenere {tv: t in R}, v=(p,q,r) non nullo,
quando due opportune tra le tre sottomatrici 2 per 2 della matrice di colonne (x,y,z) e (p,q,r) hanno determinante nullo (nel caso la terza sottomatrice avra' anch'essa determinante nullo).
Infatti trattando il caso in cui v e' diverso da (0,0,0) si puo' supporre q non 0:
se (x,y)=t (p,q) (determinante prima sottomatrice nullo) e (y,z)=s(q,r) (determinante seconda sottomatrice nullo) allora y=tq=sq quindi
s=t per cui (x,z)=t(p,r) (determinante terza sottomatrice nullo).
Quindi si ha se v=(p,q,r) non e' (0,0,0)
{tv :t in R} = {(x,y,z): qx-py = 0 e ry-qz = 0} se q non 0
{tv :t in R} = {(x,y,z): ry-qz = 0 e rx-pz = 0} se r non 0
{tv :t in R} = {(x,y,z): qx-py = 0 e rx-pz = 0} se p non 0
{tv :t in R} = intersezione di due piani non coincidenti.
Notazione matriciale per i sistemi e due interpretazioni per i sistemi e per le matrici:
-coefficienti di una combinazione lineare di vettori colonna che deve dare un vettore dato;
-coordinate di punti che devono soddisfare certe condizioni di ortogonalita' con i vettori riga;
Cambiamenti di base iterati: prodotto riga per colonna di matrici e sue proprieta'.
Trasformazioni lineari e terza interpretazione delle matrici e dei sistemi.
Le due nozioni principali sono quelle di prodotto riga per colonna e di trasformazione lineare.
Anticipiamo sottolineandola quest'ultima nozione.
Una trasformazione T tra due spazi vettoriali V e W si dice lineare se
T(0V) = 0W ,
T(v+z) = T(v) + T(z) , per v e z in V,
T(tv) = t T(v), per v in V e t in R,
La matrice associata ad una trasformazione lineare e' la matrice che ha come colonne le coordinate dei trasformati dei vettori della base canonica.
Prodotto righe per colonne di matrici come iterazione di trasformazioni lineari.
Matrici di rotazioni piane intorno all'origine.
Riferimenti: [EB] cap.14.2 pagg. 477 -495, pagg. 517-520;
[MA2] cap. 10.4, cap 10.3, cap.10.7 pagg. 570-578 cap. 10.8 pagg. 584-585;
[BDM] cap 3 pagg. 104-113, 114-120, 120-124;
[IRS] cap. 5 pagg. 188-199, 200-205;
[VV] cap. 4 pag. 73-74.
Definizioni: ricordando che per una matrice M si indica con M_i^j il coefficiente che sta nella i-esima riga dall'alto e nella j-esima colonna da sinistra, il prodotto righe per colonne tra una matrice
B=(B_i^j ), 1 <o= i <o= n e 1<o= j <o= k con n righe e k colonne
e una matrice
A= (A_i^j ), 1 <o= i <o= k e 1<o= j <o= m, con k righe ed m colonne
e' un matrice
C=(C_i^j ), 1 <o= i <o= n e 1<o= j <o= m con n righe e m colonne
per cui C_i^j = B_i . A^j = B_i^1 A_1^j + B_i^2 A_2^j + .... + B_i^k A_k^j.
****************************** a b ************ A B **********
Per esempio la matrice *********** * per la matrice * e': *
****************************** c d ************ C D **********
aA +bC aB+bD
*
cA+dC cB+dD
Una matrice riga per una matrice colonna e' il prodotto scalare delle coordinate.
Somma di matrici (di egual dimensione) e prodotto per un numero.
Matrice identica, matrice inversa di una matrice quadrata.
Trasformazioni lineari e matrici ad esse associate.
Rotazioni attorno l'origine nel piano.
ESERCIZIO : a quale matrice e' associata la riflessione rispetto ad una retta passante per l'origine.
- La matrcie associata a due cambiamenti di base consecutivi e' il prodotto righe per colonne della matrice A con colonne le coordinate nella prima base dei vettori della base canonica, seguita da quella B che ha come colonne le coordinate nella seconda base dei vettori della prima:
se infatti consideriamo E_i il vettore colonna della bae coordinata (0,... 0,1,0 ...0), ove 1 compare solo al posto i-esimo:
B(A E_i) = B A^i = vettore colonna di coordinate B_1 . A^i .... B_n . A^i
= i-esimo vettore colonna di BA = (BA)E_i
e quindi per ogni vettore colonna X: B(AX)= (BA)X
Proprieta' del prodotto righe per colonne:
- distributivita' a destra e a sinistra C(A+B)= CA+CB, (A+B)D= AD +BD
- associativita' (AB)C=A(BC)
- t(AB)=(tA)B=A(tB)
- elemento neutro : la matrice I con colonne le coordinate della base canonica , con tutti 0 tranne 1 solo sulla diagonale che scende da sinistra e' tale che per ogni altra A matrice quadrata di egual dimensione si ha
AI= IA = A
Si osserva che det I =1
NOTA: attenzione anche per matrici quadrate non e' vera la proprieta' commutativa del prodotto righe per colonne BA e' in generale diverso da AB
TEOREMA 4 sul determinante: date due matrici quadrate di egual dimensioni
det (AB) = det A det B
questa proprieta' segue direttamente dall'unicita' del determinante.
Per matrici quadrate relative a colonne indipendenti (cambiamenti di base, determinante non nullo) si ha
-per ogni matrice M di questo tipo la matrice associata al cambiamento di coordinate inverso
indicata con M^{-1} e' tale che:
M^{-1}M = MM^{-1} = I
-TEOREMA 5 sul determinante: det (M^{-1} A M ) = det A
Se T e' una trasformazione lineare le coordinate del trasformato di un vettore v
sono quelle date dal prodotto righe per colonne della matrice associata alla trasformazione e v.
Quindi una volta nota una trasformazione lineare sugli elementi della base canonica e' nota ovunque.
TEOREMA FONDAMENTALE DELL' ALGEBRA LINEARE
Tutte e sole le trasformazioni di uno spazio vettoriale di dimensione maggiore di 1per cui
(- ogni punto dello spazio e' il trasformato di qualche altro punto)
- l'origine viene lasciata fissa
- coppie di rette parallele distine sono trasformate coppie di rette parallele distinte
sono le trasformazioni lineari con inversa.
- Le soluzioni di un sistema quindi si possono interpretare come le coordinate dei vettori
che vengono trasformati, dalla trasformazione relativa alla matrice, nel vettore che ha come ccordinate i coefficienti del termine noto.
TEOREMA:
Se A e B sono le matrici associate a due trasformazioni rispettivamente S e T la matrice BA, ottenuta facendo il prodotto righe di B per colonne di A, e' quella associata alla trasformazione ottenuta prima agendo con S e quindi con T.
Basta verificarlo sugli elementi della base canonica.
il vettore j-esimo della base canonica, indicato con e_j, viene trasformato da S nel vettore che ha come coordinate quelle della j-esima colonna di A,
(A_1^j ..... A_n^j) = A_1^j e_1 + ... + A_n ^j e_n,
quindi questo da T viene trasformato in
A_1^j B^1 + ... + A_n ^j B^n
che ha come componente i-esima proprio A_1^j B_i^1 + ... + A_n ^j B_i^n.
-La matrice associata, relativamente alla base canonica, ad una rotazione in senso antiorario di angolo a radianti attorno all'origine nel piano e'
********************* cos a - sin a *****
********************* *
********************* sin a cos a *****
infatti ( cos a ,sin a ) sono le coordinatre del ruotato in senso antiorario di (1,0)
e ( -sin a , cos a ) sono le coordinate del ruotato in senso antiorario di (0,1), quindi
(x,y) ----> ( x cos a - y sin a , x sin a + y cos a )
infatti, per linearita', il ruotato e' la somma dei ruotati, e il ruotato ``dell' allungato'' e' ``l'allungato'' di egual fattore del ruotato, per cui
(x, y)= x(1,0)+ y(0,1) ----> x ( cos a ,sin a ) + y( -sin a ,cos a )
-Le trasformazioni lineari per cui vi e' la trasfomazione inversa sono esattamente quelle le cui matrici hanno determinante non nullo.
La matrice associata alla trasformazione inversa e' l'inversa della matrice associata alla prima trasformazione.
-Se si cambia sistema di coordinate con una matrice C la matrice M associata ad una trasformazione T diventa
C M C^{-1}
vecchie coordinate <-- C^{-1} <--nuove coordinate
coord. vecchie del trasformato <-- M <--vecchie coordinate
coord. nuove del trasformato <-- C <-- coord. vecchie del trasformato
si osserva che il determinante di queste due matrici e' uguale ed e' quindi associato solo alla trasformazione che esse rappresentano nei due diversi sistemi di coordinate!
Invece il prodotto scalare cambia cambiando i sistemi di coordinate mediante una matrice C con colonne indipendenti
v . w e' diverso da Cv . Cw in generale
ma se il nuovo sistema di coordinate e' cartesiano cioe' di vettori ortogonali e di lunghezza uno
si ha
v . w = Cv . Cw se le colonne di C^{-1}, (coordinate degli elementi della nuova base) , sono tra loro ortogonali e di lunghezza 1,
*************************************************************************
chiaramente e' vero il viceversa basta prendere come v e w proprio le colonne di C^{-1}
per cui la condizione e' anche equivalente a
C^{-1} p .C^{-1} q = p . q
e al fatto che le colonne di C sono ortogonali e di lunghezza 1
cioe' C^{-1}= trasposta di C.
Riferimenti: [EB] cap. 3 pagg. 59 -78; cap. 4 pagg.90-98 pagg.101-106, cap. 14 pagg. 518-520;
[MA1] cap 3 pagg. 87-98, pagg.101-106 (da rileggere in seguito), cap. 4 pagg.125-129
pagg. 134-135, pagg. 201-206, pagg.214 -219;
[BDM] cap 4 pagg. 139-158, 164-170, 171-175, cap5. 179-192, 193, 202-212
cap. 6 pagg. 235-240;
[VV] cap. 6 pag. 91-100, 122-128.
Enunciati:
i -Formula per l'inversa di una matrice.
- Si e' visto che cambiando base con una matrcice C la matrice M associata ad una trasformazione T cambia e diventa CMC^{-1}.
Quindi il determinante della matrice associata ad una trasformazione non cambia cambiando base.
In generale invece il prodotto scalare cambia cambiando i sistemi di coordinate mediante una matrice C con colonne indipendenti
v . w e' diverso da Cv . Cw in generale
ma se il nuovo sistema di coordinate e' cartesiano cioe' di vettori ortogonali e di lunghezza uno
si ha
v . w = Cv . Cw se le colonne di C^{-1}, (coordinate degli elementi della nuova base) , sono tra loro ortogonali e di lunghezza 1.
(L'argomento qui di seguito riportato non e' stato svolto a lezione )
************************************************************************
Per vederlo si osserva che (CV . Cw) = ((trasC C)v .w) e se questo per ogni w e' eguale a
v .w si ha per l eproprieta' del prodotto scalare (((trasC C)v -v) .w) =0 per ogni w e quindi prendendo come w il primo fattore si ha che per ogni v il vettore (trasC C)v -v e' nullo.
Cioe' (trasC C)v =v per ogni v. Cioe'
trasC = C^{-1}
Quindi le colonne di C sono tra loro ortogonali e di lunghezza 1.
Chiaramente e' vero il viceversa basta prendere come v e w proprio le colonne di C^{-1}
per cui la condizione e' anche equivalente a
C^{-1} p .C^{-1} q = p . q
e al fatto che le colonne di C^{-1} sono ortogonali e di lunghezza 1.
*************************************************************************
-La matrice associata, relativamente alla base canonica, ad una riflessione rispetto ad una retta passante per l'origine con pendenza di a radianti e'
********************* cos 2a sin 2a *****
********************* *
********************* sin 2a - cos 2a *****
I
13-11-08 lezione 14 (Tortorelli)
Argomenti generali e definizioni:
Iniettivita' e surgettivita' d funzioni lineari di R^n in se, nucleo di una funzione lineare, principio di sovrapposizione;
Riferimenti: [EB] cap. 3 pagg. 59 -78; cap. 4 pagg.90-98 pagg.101-106,
cap. 5 pagg. 114-115, 119-123;
[MA1] cap. 4 pagg.136-145, pagg. 157-166, pagg.210 -214;
[BDM] cap. 4 pagg. 158-161, cap.5 pagg. 193-201, cap. 6 pagg. 241-251;
[VV] cap. 6 pag. 101-106, 122-128.
Enunciati:
1- La dimensione dell'ortogonale W di un sottospazio V di R^n di dimensione k e' n-k;
- infatti dei vettori mutamente ortogonali non nulli sono indiependenti (si moltiplica scalarmente una loro combinazione lineare per uno qualsiasi di essi e si ottine la sua norma al quadrato per il suo coefficiente nella combinazione)
- quindi si prendono una base ortogonale di V (che avra' quindi k elementi) e una base ortogonale del suo ortogonale W: essa dovra' essere base di tutto R^n e quindi avere n elementi.
2- L'immagine di una funzione lineare L da R^n in R^m e' un sottospazio vettoriale
- esso e' generato dalle colonne della matrice (mxn) associata ad L, e la sua dimensione sara' il massimo numero di colonne indipendenti.
3- La funzione lineare L e' iniettiva se e solo se L(0, ..., 0)=(0, ..., 0)= 0.
- {v in R^n : Lv = 0 } e' un sottospazio vettoriale di R^n, si dice nucleo di L , Ker L.
- e' l'ortogonale alle righe della matrice associata ad L
- ora il massimo numero di righe indipendenti e' eguale al massimo numero di colonne indipendenti
(infatti se il massimo numero di colonne indipendenti e' k vi e' una sottomatrice kxk con determinante non nullo, mentre tutte le sottomatrici quadrate di dimensione maggiore hanno detreminante nullo. Quindi anche le righe corrispondenti a questa sottomatrice sono indipendenti, e se ce ne fosse una in piu' da loro indipendent vi sarebbe una sottomatrice (k+1)x(k+1) con determinante non nullo contrariamente a quanto assunto).
4- ha quindi dim Ker L +dim Im L = dim dom L =n
5- nel caso m=n si ottiene:
una funzione lineare L da R^n in se
e' iniettiva se e solo se e' surgettiva .
6- Principio di sovrapposizione : se L e' una funzione lineare da R^n in R^m , e w in R^m
data una soluzione v del sistema nxm : L v = w
allora tutte le soluzioni sono del tipo v+x
con x soluzione del sistema omogeneo con termine noto nullo L x= 0 ,
in altre parole l'insieme delle soluzioni e' il traslato di Ker L con v (v+ Ker L).
Enunciati:
- Lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore eguale ad n si identifica con R^n
per esempio (a,b, c) corrisponde ad a x^2+bx +c
somma di vettori corrisponde alla soma di polinomi
e prodotto per un numero corrisponde al polinomio per quel numero.
- Teorema 0: il prodotto di due polinomi ha come grado la somma dei gradi dei due fattori
- Teorema 1:
un polinomio P(x) con coefficienti non tutti nulli si annulla in a se e solo se
P(x)=(x-a) R(x) con 1+deg R=deg P
DIM.:
i) un polinomio Q(y)= b_0 + b_1 y + ... + b_m y^m e' nullo per y=0 se e solo se b_0 =0.
Nel caso Q(y) = y( b_1 + ... + b_m y^{m-1})
ii) Si scriva P mettendo in risalto (x-a):
P(x) = P(x-a +a) = Q(x-a) con deg Q= deg P
( per esempio se P(x) = 3- 2x +5x^2 e a=1 si ha
P(x)=P(x-1+1)= 3 -2(x-1+1) + 5(x-1+1)^2= 1 -2(x-1) + 5(x-1)^2 +5 + 10(x-1)=
= 6 +8(x-1) + 5(x-1)^2 = Q(x-1) con Q(y)= 6+8y +5y^2 e y=x-1)
iii) Se P si annulla per x= a allora Q si annulla per y =x-a=0, ma allora Q(y)=y S(y) e
quindi P(x)= (x-a)S(x-a).
- Teorema 2: un polinomio con coefficienti reali non tutti nulli ha un numero di radici minore o eguale al suo grado.
DIM.: se a_1 ... a_k sono radici del polinomio P allora P(x)= (x-a_1) ... (x-a_k) R(x) quindi deve avere almeno grado k. Quindi k <o= deg P.
-Teorema 3 (Principio di identita' dei polinomi) Se due polinomi danno gli stessi valori in un numero di punti maggiore dei loro gradi allora hanno gli stessi coefficienti (sono lo stesso polinomio).
DIM.: Se P e Q sono due polinomi il grado di P(x)- Q(x) e' al piu' il maggiore del grado dei due,
quindi dovrebbe avere al piu' un tal numero di radici se non avesse coefficienti tutti nulli.
Diversamente avrebbe coefficienti tutti nulli e quindi P e Q avrebbero eguali coefficienti.
-Teorema 4 (Divisione: solo enunciato): Dato un polinomio P di grado maggiore o eguale di un polinomio D
vi sono unici due polinomi Q ed R con deg R < deg D per cui
P= DQ+R
-Teorema 5( Decomposizione di polinomi: solo enunciato) Ogni polinomio a coefficienti reali si puo' scrivere come una costante moltiplicata per un prodotto di potenze di fattori del tipo (x-a) e di fattori del tipo ((x-b)^2 +c^2) essendo quest'ultimi i fattori corrsipondenti a trinomi di secondo grado con discrimiante negativo.
-Teorema 6 (comportamento all'infinito) : se deg P > deg Q , e c >0 allora vi e' M per cui se
|x|> M allora |P(x)|> c |Q(x)|.
DIM.: nel caso piu' semplice P(x)= a x^n , Q(x)=b x^m con n>m.
In effetti se |x| > radice n-m di{ c|b|/|a|} si ottiene quanto richiesto.
Nel caso generale si prende il termine leader di P, diciamo a x^n, e si trovano via via n +m +1 soglie in modo che | a x^n| sia maggiore di n+m+1 il maggiore tra i moduli di tutti gli altri addendi di P e di c Q. Si avra' per la diseguaglianza triangolare |P| > |ax^n| -| termini restanti di P|
ma per la scelta fatta si ha anche
|ax^n|> (n+m+1) )(il massimo in modulo tra i vari addendi del resto di P e di cQ)>
> somma dei moduli dei termini restanti di P e di quelli di cQ>
> | termini restanti di P| + c|Q|.
- conoscendo le radici, il grado di un polinomio, e il segno del coefficiente di grado massimo,
si puo' approssimativamente tracciare un andamento del grafico corrispondente.
- cautela va usata nel tracciar grafici di polinomi e va tenuto presente il grado per evidenziare intersezioni tra grafici di polinomi per valori della x grandi o fuori scala.
Tassi di variazione (velocita') in funzione delle grandezze dipendenti e indipendenti (posizione e tempo).
L'equazione differenziale y '(x) = y(x), metodo del fattore integrante per trovare tutte le soluzioni di: y'(x) = c y(x), y'(x)= f(x) y(x).
equazioni differenziali del primo ordine in forma normale e lineari omogenee
-Si ha (1+(x+i y)/n)^n --> e ^x e^{iy} per n --->+oo
anche 1+ (x+iy) + (x+iy)^2/2 + .... + (x+iy)^n/ n! ---> e ^x e^{iy} per n --->+oo
Si verifica per x = 0
1 + i y + (iy)^2/2 + (iy)^3/6 + (iy)^4 /24 + ... + (iy)^n/n! =
1 + i y - y^2/2 - i y^3/6 + y^4 /24 + .... (iy)^n/n!
considerando i fattori con i si ha lo sviluppo di sin y che converge a sin y
considerando i fattori senza i si ha lo sviluppo di cos y che converge a cos y
per cui essendo per definizione e^{i y} = cos y +i sin y
1 + i y + (iy)^2/2 + (iy)^3/6 + (iy)^4 /24 + ... + (iy)^n/n!--->e^{iy} per n --->+oo
- Si consideri l'equazione differenziale
y '(x) = f(x) y(x) con f funzione continua su I intervallo
si cercano le tutte le funzioni con derivata definite su I per cui per ogni c in I vale l'eguaglianza.
Portando al primo membro fy, la condizione diventa
y ' (x) - f(x) y (x) = 0 per ogni x in I
si cerca di tramutare il primo membro nella derivata di una funzione z(x) in modo da ridursi a
z ' (x) = 0 per ogni x in I. Questo si ottiene moltiplicando per e^{-F(x)} ove F '(x) = f(x) su I
e^{-F(x)} y ' (x) - e^{-F(x)} f(x) y (x) = 0 per ogni x in I
ma ora il primo membro e' la derivata di e^{-F(x)} y(x), quindi come si voleva la condizione diventa:
(e^{-F(x)} y(x)) ' = 0 per ogni x in I
quindi e^{-F(x)} y(x) deve essere costante sull'intevallo I, cioe'
e^{-F(x)} y(x) = k per ogni x in I
cioe' una soluzione se c'e' deve essere dela forma
y(x)= k e^{F(x)} x in I, ove k e' una qualsiasi costante e F'= f su I.
Derivando si ottiene che in effetti le funzioni di questa forma sono soluzioni dell'equazione differenziale di partenza. Quindi sono le sole soluzioni.
Ricordando il teorema fondamentale del calcolo integrale ogni F per cui F ' =f e' , del tipo
F(x)= Integrale da p a x di f(t) dt . Quindi se f e' continua le soluzioni di
y '(x)= f(x) y (x) per ogni x in I
sono le funzioni nella variabile x: y(x)= k e^{ Integrale da p a x di f(t) dt}
Dati un numero S e q in I, se si impone oltre a: y '(x)= f(x) y (x) per ogni x in I
anche la condizione ``di passaggio'': y(q)= S
allora tra le soluzioni dell'equazione differenziale ve n'e' solo una che soddisfa l'ulteriore condizione ottenuta in modo che la costante k soddisfi la relazione :
k e^{ Integrale da p a q di f(t) dt}=S
Se si interpreta x come tempo, y come posizione e quindi y' come velocita' istantanea
questo dice che se conosco la velocita' in termini dell'istante e della posizione
vi e' un unica traiettoria che all'istante q passa per la posizione S.
5-12-08 lezione 22 (Tortorelli) Le seguenti note sono esplicative rispetto allo schema presente nel file allegato:
. APPUNTI SU EQUAZIONI DIFFERENZIALI.
1) Equazioni differenziali
del primo ordine
in forma normale
lineari
non omogenee
data A(x) continua su un intervallo I trovare J intervallo in I e una funzione derivabile su J per cui
y'(x)= A(x) y(x) + f(x), p.o. x in J
- A(x)=0 teorema fondamentale del calcolo se p in I: y(x) = integrale da p a x di f(t) dt
- fattore integrante e formula di ``semigruppo'':
*************** il metodo del fattore integrante e' IMPORTANTE ***************
si porta Ay al primo membro
si moltiplica per e^{- integrale da p a x di A(s) ds}
il primo membro e' derivata di y(x) e^{- integrale da p a x di A(s) ds}
si integra tra p e x usando al primo membro il teorema fondamentale del calcolo
si porta al secondo membro y(p)
si moltiplica per e^{integrale da p a x di A(s) ds}
si ottiene che se c'e' una soluzione y(x) dve essere
y(x)=
= e^{integrale da p a x di A(s) ds} y(p) +
+ e^{integrale da p a x di A(s) ds} int.da p a x di ( e^{- integrale da p a t di A(s) ds}f(t))dt =
= e^{integrale da p a x di A(t) dt} + int.da p a x di ( e^{- integrale da x a t di A(s) ds}f(t))dt
si verifica che tutte le funzioni di questo tipo sono soluzioni:
il primo addendo e' una generica soluzione dell'equazione omogenea
il secondo addendo e' una soluzione particolare dell'equazione completa
************************* Importante ***********************************
- Metodo della ``variazione della costante'' per calcolare una soluzione particolare:
si trova una soluzione non nulla dell'omogenea u(x): u'=Au
si cerca v(x)=c(x) u(x) , con c(x) funzione incognita, che soddisfi v'= Av +f
v' = c' u + c u' si mette nell'equazione
c' u + c u' = A cu + f
ma per scelta u'=Au quindi c'u =f , quindi c' =f/u quindi c(x) e' una qualsiasi primitiva
di f/u con u'=Au
In effetti nella formula di semigruppo il secondo addendo e' proprio la funzine integrale di
e^{- integrale da x a t di A(s) ds}f(t)= f(t)/ e^{integrale da x a t di A(s) ds}.
esempio a caso
y'= x y +x^2 calcola calcola calcola .... c'(x)= x^2 e^{-x^2/2} .... e' andata male
infatti
x^2 e^{-x^2/2} = - x ( e^{- x^2/2} )' =e^{- x^2/2} - ( x e^{- x^2/2} )' quindi
c(x) = primitiva di e^{- x^2/2} - x e^{- x^2/2}
ma la primitiva di e^{- x^2/2} non si sa calcolare simbolicamente!
-Tutte le soluzioni sono del tipo: soluzione particolare + soluzione qualsiasi dell'omogenea
- problema di Cauchy ed unicita' :
************* IMPORTANTE ricordarsi che c'e' unicita' per il problema di passaggio*****
dato p in I e un valore q la funzione y(x) =
= q e^{integrale da p a x di A(t) dt} + int.da p a x di ( e^{- integrale da x a t di A(s) ds}f(t))dt
e' l'unica soluzione di
y'(x)= A(x) y(x) + f(x), p.o. x in I
y(p) = q
- Altro modo di vedere il secondo addendo della formula di semigruppo:
principio di sovrapposizione degli effetti di Duhamel dovuto alla linearita'
si pensa che l'impulso f(x) dato istante x per istante x alla velocita' y'(x) si possa ottenere
come ``somma infinita'' (integrale) di moti omogenei che all'istante t valono f(t):
( y_t )' (x) = A(x) y_t(x)
y_t (t) =f(t)
per quanto detto la lezione scorsa y_t (x)= e^{integrale da t a x di A(s) ds}f(t)
``sommando'' (integrando) rispetto a t si ottiene proprio il secondo addendo.
- L'insieme delle soluzioni dell'omogenea e' uno spazio vettoriale di dimensione 1:
se y e z sono soluzioni e m e' un numero:
*******************IMPORTANTE******************************
cioe' somma di soluzioni di un'equazione lineare omogenea e prodotto per un numero e ' soluzione
(y(x) +m z(x))' = y' + m z' = Ay + m Az = A(y+mz)
Si consideri C^1= spazio vettoriale delle funzioni derivabili con derivata continua su I
C = spazio vettoriale delle funzioni continue su I
L : C^1 ----> C trasformazione cosi definita L(g) =g' -A (alla funzione g(x) si associa la funzione g'(x) -A(x)g(x) )
L e' un operatore differenziale del primo ordine
il suo nucleo Ker L ={ g: Lg=0 }e' lo spazio vettoriale delle soluzioni dell'equazione omogenea
L'equazione differenziale non omogenea si scrive L(y) = Ay +f
Se v e' una soluzione particolare l'insieme delle sue soluzioni e ' quindi il traslato per v di KerL
v+Ker L
*****************la seguente scaletta e' IMPORTANTE*********************
-Scaletta oltre alla formula data un metodo abbastanza generale e pratico e' il seguente:
i - si trova (come si riesce si riesce) una base dello spazio vettoriale delle soluzioni dell'omogenea
k u(x) u'=Au u non identicamente nulla
ii - si trova una soluzione particolare v
a tentativi,
o con ricette particolari,
o con il metodo della variazione delle costanti arbitrarie:
(v(x)=c(x) u(x) , c(x) funzione incognita da trovare imponendo che v sia soluzione)
iii - si trova il coefficiente k per cui
ku(p) +v(p) = q
questa scaletta vale per tutti le equazioni e sistemi differenziali lineari solo che in questi casi piu' generali lo spazio delle soluzioni dell'omogenea puo' avere dimensione d maggiore di 1
e quindi:
i- k_1 u_1(x) + ... + k_d u_d(x), u_j ' =A u_j e u_1... u_j linearmente indipendenti
ii- v(x) del tipo c_1(x) u_1 (x) + ... c_d(x) u_d(x)
iii- trovare k_1, ... k_d per cui le condizioni di passaggio siano verificate.
2) Un po di terminologia generale:
- Equazioni e sistemi differenziali ordinari di ordine n:
data F(x, p, q_1 , ... , q_n) a valori in R^k (F=(F_1 ... F_k))
definita per x in I intervallo, p , q_1 ... q_n ognuno in qualche sottoinsieme di R^m
il sistema (se k=1 l'equazione ) ordinario associato e'
F(x, y(x), y' (x), y'' (x) ... y^(n) (x)) = 0
- Forma normale :
se k=m e F(x,p, q_1 ,... q_n) = G(x,p, q_1 ,... q_{n-1}) - q_n . Il sistema diventa :
y^(n) (x) = G(x, y(x), y' (x), y'' (x) ... y^(n-1) (x))
- Equazioni e sistemi lineari in forma normale:
se per ogni x (p, q_1 ...q_n ) ----> G(x,p, q_1 ,... q_{n-1}) e' lineare con una eventuale traslazione
cioe' se G(x,p, q_1 ,... q_n) = M(x) prodotto righe per colonne (p, q_1 ,... q_{n-1}) + T(x)
con M(x) matrice di funzioni m righe x m n colonne e T(x) vettore di funzioni con m componenti T(x)= (T_1(x) ,... T_m (x)). Il sistema diventa
derivata ennesima di y in x = M(x) prodotto righe per colonne (y(x), y'(x) ,... y^(n-1)(x)) + T(x)
e l'eguaglianza va intesa come sempre componente per componente.
- Equazioni e sistemi lineari in forma normale omogenei: se T e' nullo.
-Enunciato del teorema di Cauchy Lipschitz (esistenza locale ed unicita'):
Se G e' continua in ognuna delle sue variabili, e ha derivate rispetto alle tutte le mn variabili diverse da x che siano funzioni limitate indipendentemente da x
se (r, s, v_1, ...v_{n-1}) e' un punto interno a dove G e' definita allora
esiste un intervallo J contenente r
esiste una funzione y(x) derivabile n volte su J
y^(n) (x) = G(x, y(x), y' (x), y'' (x) ... y^(n-1) (x))
y(r) = s
y'(r) = v_1
y''(r) = v_2
...
...
y^(n-1) (r) = v_{n-1}
inoltre questa e' l'unica funzione che soddisfa le condizioni date e il sistema differenziale.
Aggiungendo ipotesi si ottiene di piu' , per esempio la cosi detta esistenza globale:
se G (x, p, ...) e' definita per ogni x in R ed e' una funzione limitata allora la soluzione y e' definita su tutto R.
**********questi controesempi sono piccoli esercizi per impratichirsi anche se descrivono ``anomalie'' *************************************************************
Esempio: y'(x) = y^2(x) y(0)=3 (non esistenza per tutti i tempi)
m=1, n=1, G(x,p) = p^2 definita su tutto R^2, r=0, s=3
se c'e' una soluzione non e' sempre nulla per la condizione y(0)=3
e rimarra' vicina a 3 per x vicino a 0
per cercarla dividiamo per y^2 l'equazione
y'(x)/y^2(x) =1
ma il primo membro e' la derivata in x di - 1/y(x) quindi passando alle primitive
-1/y(x) = x + c
dovendo essere y(0)=3 allora c deve essere -1/3
1/y(x) = 1/3-x quindi
y(x) = 1/(1/3 -x)
Derivando si ottiene che in effetti tale y(x) e' soluzione del problema ma ....
... non e' definita su tutto R !
Il grafico di y ha asintoto verticale in x=1/3.
Se vedo y(x) al variare di x come moto unidimensionale sull'asse verticale,
e' un moto che al tempo x=1/3 e' ``schizzato all'infinito''.
Dopo l'istante 1/3 non c'e' piu' niente.
In effetti G(x,p)=p^2 non e' limitata.
Esempio: y'(x) = radice di |y(x)| y(0)=0 (non unicita' del problema di Cauchy)
m=1, n=1, G(x,p) = radice di |p| definita su tutto R^2, r=0, s=0
z(x)= 0 per ogni x in R e' una soluzione
ma pensiamo un po ... piu' o meno g(x)=x^2 ha una derivata g'(x)=2x che almeno per gli x non negativi e ' proporzionale alla sua radice ...
vediamo se ci sono soluzioni del tipo y(x) = a(x-c)^2, a>0 , x>c e y(x)= 0 per x<0; deriviamo
y'(x)= 2a(x-c) per x>c, y'(0)= 0, y'(x) =0 per x<c
sostituiamo nell'equazione differenziale per vedere se per qualche a e' soddisfatta:
2a(x-c) = radice di a |x-c| per x>o= c
0=0 per x<c
se ne deduce che 2a =radice di a cioe' a = 1/4.
Uhuh .... tutte le funzioni y(x) = 1/4 (x-c)^2 per x>c>0 e zero prima di c
sono sia soluzioni dell'equazione che della condizione.
Infinite soluzioni del problema di passaggio per un punto fissato a tempo fissato!
- Equazioni del primo ordine come cinematica unidimensionale:
interessano i grafici (delle soluzioni) nel piano delle leggi orarie
Interpretazione con tassi di accrescimento istantanei: decadimento radiottivo, crescita con risorse illimitate di una popolazione senza antagonisti ....
***************MA .... ATTENZIONE ***************************************
- Sistemi del primo ordine come cinematica bidimensionale:
interessano le traiettorie (immagini delle soluzioni) nel piano dei moti
Interpretazione geometrica dato un vettore V (p) in ogni punto p trovare una famiglia di curve
che copre il piano che in ogni punto abbia quel vettore come tangente
e.g. V(x,y)=(x^2-y, x+y^2) basta senz'altro trovare
x'(t)= x(t)^2 - y(t)
y'(t)= x(t) + y(t)^2
Altra interpretazione non esplicitata a lezione evoluzione nel tempo di due popolazioni> Esaminiamo a grandi lineee il caso lineare, molto riduttivo, realistico sotto ben precise assunzioni:
x'(t)= x(t) - y(t) - t
y'(t)= 2 x(t) + 3 y(t) + t^2
la popolazione x lasciata a se stessa incrementa egualmente alla quantita' presente
e diminuisce (emigrazione) di t
in piu' e' contrastata dalla presenza della popolazione y
che a sua volta ha un tasso di variazione istantaneo pari al triplo della sua quantita' e aumenta di t^2 (immigrazione) e si giova della presenza di x per il doppio
E' un modello preda predatore.
Se fosse stato
x'(t)= x(t) - y(t)
y'(t)= - 2 x(t) + 3 y(t)
sarebbe stato un modello di competizione, e con tutti segni positivi un felice matrimonio
... modello di simbiosi.
Sistema lineare generale ... chi sa se avremo tempo di studiare come sono fatte le immagini delle soluzioni .... almeno nel caso di coeficienti costanti
x'(t)= a(t) x(t) + b(t) y(t) + f(t)
y'(t)= c(t) x(t) +d(t) y(t) + g(t)
- Equazioni del secondo ordine come dinamica:
determinismo meccanico:
e' il principio fisico che si formalizza ed astare nel teorema di Cauchy-Lipschitz:
*****************IMPORTANTE******************************************
note le forze in dipendenza dal tempo dalla posizione e dalla velocita' e note posizione e velocita' in un certo istante tutto il moto e' determinato.
y''(t) = F(t, y(t), y'(t))
y(r) =s
y'(r) = v
sotto le ipotesi dette ha un unica soluzione.
******************QUI SOTTO CI SI TORNA SOPRA*************************
Equazioni del secondo ordine lineari (oscillatori):
quindi il problema di Cauchy seguente con m(t) continuo e mai nullo, e A, B, C continue
m(t) y''(t) = A(t) y(t) + B(t) y'(t) + C(t)
accellerazione per massa = forza elastica (campo conservativo) + forze tipo attrito + forze esterne
ha sempre un ' unica soluzione
e qui ci potra' essere risonanza.
**********************RICORDARE**********************************
- Equazioni a variabili separabili y'(x)= f(x) g(y(x))
gli zeri di g sono i valori delle soluzioni costanti
quindi in ricerca di soluzioni che non sono costanti senza entrare nel dettaglio (vedi appunti)
dovra' essere per qualche intervallo U g(y(x)) non 0 per x in U
quindi y'/g(y(x)) =f(x)
se so calcolare una primitiva S di 1/g(p) in qualche intervallo J ove g non si annulla
se so trovare un intervallo I, una primitiva F di f su I
per cui F(x) sta nell'immagine di g su J
allora la soluzione deve avere grafico contenuto in {(x,p) : F(x)=S(p)}
quindi se so disegnare quel sottoinsieme del piano gia' molto ricavo.
se poi ``so calcolare '' l' inversa di S riesco ad esprimere la soluzione con una formula
y(x)= S^{-1}(F(x))
****************RICORDARE ******************************************
Equazioni autonome sono particolare equazioni a variabili separabili: y'(x) = g(y(x))
gli zeri di g sono i valori di soluzioni costanti
quindi trovata una soluzione u(x) con grafico compreso tra le due rette orizzontali alla quota di due tra gli zeri di g
tutti grafici delle altre soluzioni comprese tra questi due zeri si ottengono traslando in orizzontale il grafico dato
quindi data una soluzione u tra due zeri di g tutte le altre tra questi due zeri sono del tipo u(x+c)
infatti d u(t+c)/dt = du/dt (x+c) =g (u(x+c)).
e.g. y'(x) = y(x)(1-y(x)) da terminare.
Riferimenti:
[EB] cap. 11 pagg. 334-352, 361-362, 364-366, 373-375;
[MA1] cap.8 pagg. 340- 343, 347-353, 356-358, 363-364;
[BDM] cap.6 pagg.218-222, cap. 8 pagg. 331-346;
[IRS] cap. 6 pag. 225-228, pagg. 230-232;
[VV] cap.9 pagg. 197-198, 201-208.
9-12-08 lezione 23 recupero (Tortorelli) Nella seguente lezione oltre ad esporre gli schemi teorici si sono svolti quattro esercizi.
Le seguenti note sono in fase di redazione ed esplicative rispetto allo schema presente nel file allegato:
. APPUNTI SU EQUAZIONI DIFFERENZIALI.
1) Variabili separabili: y'(x)=g(y(x)) f(x) f continua su A intervallo, g continua su B intervallo.
- per lo schema metodologico vedere appunti
- gli zeri di g corrispondo a soluzioni costanti
le rette orizzontali di grafici di tali soluzioni costanti nel caso
in cui g abbia derivata continua introno a tali zeri sono
asintoti orizzontali
per le soluzioni non costanti
- Se |g(p)| < a|p| +b intorno a +oo [risp. -oo] allora le soluzioni hanno domini del tipo
semirette illimitate superiormente [risp. inferiormente]
il seguente esempio mostra che le rete orizzontali possono essee toccate da altre soluzioni (mancanza di unicita') quando g non ha derivata limitata, e che le soluzioni non costanti possono non essere definite su tutto R quando |g(p)| si compoorta come |p|^{1+k}
y'(x)=radice quadrata di y(x) (1-y(x)) x^2
2) Equazioni autonome esempio svolto
y'(x)=y(x)(1-y(x))
3) Equazioni differenziali
del secondo ordine
lineari
non omogenee
date a(t), b(t), c(t), f(t) continue su un intervallo I, a(x) mai nulla su I, trovare le funzioni derivabili su I per cui:
a(t)y''(t)+ b(t) y'(t)+ c(t) y(t) =f(t)
Problema di Cauchy: eventualmente dato q in I trovare l'unica tra le soluzioni per cui
y(q) = y_0
y'(q) = y_1
La scaletta e' la solita:
i- trovare tutte le soluzioni dell'omogenea
Teorema: le soluzioni dell'equazione omogenea sono uno spazio vettoriale di dimensione 2
quindi date due di esse linearmente indipendenti (una base dello spazio)
u_1(t), u_2(t), tutte le altre soluzioni u(t) sono del tipo
u(t) =A u_1(t) +B u_2(t) al variare dei numeri A e B
Teorema: se u_1(t), u_2(t) sono una base dello spazio delle soluzioni
la matrice di funzioni con colonne (u_1(t), u_2(t) ) e (u_1 ' (t), u_2 ' (t) )
ha sempre determinante non nullo quindi ha inversa.
ii- soluzione particolare u^*
si trova o per tentativi
o con il metodo delle costanti arbitrarie
o con altri metodi per articolari termini noti
iii- tutte le soluzioni della non omogenea saranno del tipo
y(t) = u^*(t) + A u_1(t) +B u_2(t) al variare dei numeri A e B
solo a questo punto si scelgono le costanti A e B perche' siano soddisfatte le eventuali condizioni del problema di Cauchy
4) Equazioni differenziali
del secondo ordine
lineari
a coefficienti costanti
non omogenee
e' il caso particolare in cui a(t)=a non 0, b(t)=b, c(t)=c costanti.
ay''(t)+ b y'(t)+ c y(t) =f(t)
In questo caso il passo i) cioe' la risoluzione dell'omogenea si puo' fare facilmente e quindi dimostrare il teroema enunciato
a) punto da fare nella pratica:
si prende il polinomio az^2 +bz +c
si trovano le sue radici complesse r_1, r_2 , quindi az^2 +bz +c =a (z-r_1)(z-r_2)
quindi si osserva che
b= - a(r_1 +r_2)
c= a r_1r_2
*************************RICORDIAMO **********************************
per trovare le radici di az^2 +bz +c si usa la solita formula
se w_1 e w_2 sono le due radici quadrate complesse del discriminante b^2- 4ac
allora
r_1 = (-b +w_1)/2a , r_2 = (-b +w_2)/2a
***********************************************************************
b) punto solo teorico:
per cui una funzione u e' soluzione di
a u''(t)+ b u'(t)+ c u(t) =0
se e solo se (si sostituisce a z l'operazione di derivazione)
a u''(t)+ b u'(t)+ c u(t)= (d/dt -r_1)( (d/dt -r_2) u(t))=0
cio' e' equivalente a
u'(t) - r_2 u(t)= v(t)
v'(t) - r_1 v(t) = 0
ma allora dalle formule viste le precedenti lezioni
v(t)= k_1 e^{r_1 t}
u(t) = k_2 e^{r_2 t} + e^{r_2 t} integrale da 0 a t (e^{-r_2 s}k_1 e^{r_1 s})ds
due casi:
c)
*) r_1 =r_2 = r allora l'integrale diventa l'integrale di 1 quindi
u(t) = k_2 e^{rt} + k_1 t e^{rt}
**) r_1 diverso da r_2 l'integrale e ' 1/(r_1-r_2)( e^{(r_1-r_2)t} -1 ) quindi
u(t) = k_2 e^{r_2 t} + k_1e^{r_1t}/(r_1-r_2) - k_1e^{r_2t}/(r_1-r_2) =
= c_1 e^{r_1 t} + c_2 e^{r_2 t}
d) se a , b , c sono numeri reali si desiderano numeri reali
ora
i- az^2 +bz +c o ha due soluzioni reali distinte r_1 non = r_2 (discriminante>0)
tutte le soluzioni reali sono, come detto in **) prendendo i coefficienti reali, del tipo:
A e^{r_1 t} + B e^{r_2 t} , al variare di A e B numeri reali
ii- az^2 +bz +c o ha una soluzione reale ``doppia'' r, cioe' e' a(z-r)^2 (discriminante nullo)
tutte le soluzioni reali sono, come detto in *) prendendo i coefficienti reali, del tipo:
A e^{rt} + B t e^{rt} , al variare di A e B numeri reali
iii- az^2 +bz +c o non zlcuna soluzione reale ``doppia'' r, cioe' ha due soluzioni complesse
una coniugata dell'altra p+ i q e p-iq (discriminante negativo)
in questo caso si usa **) con c_1 e c_2 eguali prima ad A/2 , A/2 e poi - iB/2, i B/2
e soi ottiene che tutte le soluzioni reali sono del tipo
A e^{p t} cos q t + B e^{p t} sin q t , al variare di A e B numeri reali
( e^{ivt}+e^{-ivt} = 2 cos vt , -i e^{ivt}+ie^{-ivt} = 2 sin vt )
5) dimostrazione del metodo della variazione delle costanti
che si applica anche quando i coefficienti non sono costanti quando si sappiano le soluzioni dell'omogenea
data una base dello spazio delle soluzioni dell'omogenea u_1(t), u_2(t)
si cerca una soluzione u^* della non omogenea del tipo c_(t) u_1(t) +c_2(t) u_2(t)
per trovare c_1(t), c_2 (t) si fanno le derivate e si sostituiscono nell'equazione
a(t)y''(t)+ b(t) y'(t)+ c(t) y(t) =f(t)
si ottiene che deve essere
a(t)(( c_1 ' u_1 + c _2 ' u_2 )' +c_1 ' u_1' + c _2 ' u_2 ') + b(t)(c_1 ' u_1 + c _2 ' u_2 ) = f(t)
a questo punto il metodo canonico e' imporre che il coefficiente di b(t) sia nullo per cui si ha il sistema numerico t per t:
c_1 ' u_1' + c _2 ' u_2 ' = f/a
c_1 ' u_1 + c _2 ' u_2 = 0
con incognite c_1 ' (t) e c_2 ' (t) e coefficienti u_1' (t) , u_2' (t) ,u_1(t) ,u_2(t) , f(t)/a(t)
che per quanto detto nel teorema precedente si puo' sempre risolvere
quindi si trovano le derivate dei coefficienti di u^* (t) se si sanno fare le primitive allora
si trova esplicitamente la soluzione particolare
Esempio svolto: y''(t) -y(t) = cos t
la base dell'omogenea e' data dalle funzioni e^t ed e^{-t}
il sistema diventa c_1 ' e^t - c_2 ' e^{-t} = cos t
c_ ' e^t + c_2 ' e^{-t} = 0
per cui c_1' = 1/2 e^{-t} cos t
c_2 ' = -1/2 e^{t} cos t
facendo per ogni eguaglianza due integrazioni per parti si ottiene
c_1 = e^{-t}/4 (sin t - cos t)
c_2 = e^{t} /4 ( sin t + cost)
per cui una soluzione particolare e' u^*(t) = 1/2 sin t
6) nel caso di equazioni a coefficienti costanti si puo' usare anche il metodo dei coefficienti indeterminati per termini noti di tipo particolare (vedere appunti)
Esempio svolto: y''(t) +y(t) = cos t
le radici di z^2 +1 sono i e -i cioe' 0+ i 1 e 0 - i1
il termine noto e' e^{0t} ( 1 cos 1t + 0 sin 1t) quindi la soluzione deve essere del tipo
A cos t + B sint
per trovare A e B si fanno le derivate si sostituisce nell'equazione e si trovano le codnizioni su A e B
Fenomeno di RISONANZA
u''(t) + u(t)=0 ha la sola soluzione limitata u(t) = cos t + sin t
u(0)=1
u'(0)=1
se pero' `` marcio con ritmo pari alla frequenza propria''
y''(t) +y(t) = cos t ottengo che la soluzione che si amplifica sempre di piu'
y(0)=1 y(t) = cos t + sin t +t/2 sin t
y'(0)=1
.l9-12-08 esercitazione 12 recupero (Mauro) Esercizi: integrali di funzioni non limitate su intervalli illimitati, numeri complessi, equazioni differenziali
11-12-08 lezione 24 (Tortorelli)
Breve introduzione:
organizzazione, manipolazione e semplificazione e esposizione di dati ---> statistica descrittiva
semplificare problemi di conteggio ..... ---> calcolo combinatorio
||
operare con rigore su dati e previsioni incerti .... ----> calcolo delle probabilita' nel caso finito
metodi per estrapolazioni da campionature e valutazione del rischio .... ----> statistica inferenziale
dati qualitativi, quantitativi (vettoriali), discreti continui
modalita'
carattere o nel caso discreto e quantitativo variabile aleatoria
dato come realizzazione di un carattere
dati continui
mediana, quantili, range
diagrammi a barre
discretizzazione di caratteri continui
diagrammi (esempio sulle altezze dei presenti in aula)
calcolo della media con le frequenze relative
calcolo della media su dati che non inducono una partizione sulla popolazione (esempio: su un totale di 90 studenti 19 danno il primo esame, 23 il secondo e 54 il terzo: calcolare il numero medio di esami sostenuti per studente)
notazione vettoriale per la media
.l2-12-08 esercitazione 13 (Mauro) Esercizi su integrali ed equazioni differenziali.
15-12-08 lezione 25 (Tortorelli)
Frequenze per relazioni che non sono funzioni (dati che non inducono una partizione sulla popolazione, ovvero dati che non sono la realizzazione di un carattere).
Esempio di dati che permettono di calcolare la media ma non mediana: modifica dell'esempio della precedente lezione su un totale di 61 studenti 19 danno il primo esame, 23 il secondo e 54 il terzo:
si considera la distrubuzione ``cumulativa'' in cui gli studenti che hanno sostenuto un esame hanno sostenuto anche gli esami con maggiori frequenze assolute, la si modifica in maniera compatibile con i dati in modo che la mediana da 1 diventi 2.
Esempio di calcolo della media con frequenze relative (date le percentuali, rispetto alla popolazione incognita dei clienti, dei numeri d'ordine di certi beni, e dati gli importi medi per ordine nelle varie fasce percentuali, calcolare la media di numero d'ordini per cliente, e quindi l' importo medio per ordine sul totale).
Proprieta' astratte della media:
linearita': media (v + p w) = m(v) + pm(w)
in particolare m(x_1+c, x_2+c ... , x_N +c) = m(x_1 ... x_N) + c
Varianza e sua interpretazione geometrica:
Var(x) = m( x_1^2 , ... x_N^2) -(m(x))^2
notazione vettoriale per la varianza Var(x) = 1/N || x- (m, ..., m)||^2 = 1/N somme su i (x_i-m)^2
Scarto quadratico medio o deviazione standard
sigma (x) = radice quadrata di Var(x)
Esempio di dati che permettono di calcolare la media ma non la varianza (dati che non inducono una partizione).
Proprieta' di minimo della media e della varianza:
la media m(x) e' il punto di minimo di V(y)= 1/N somme su i (x_i-y)^2
la varianza Var(x) e' il valore di minimo di V(y) (dimostrazione per quadratura).
Proprieta' astratte della varianza
Var(px) = p^2 Var (x)
Var (v+w) = Var (v) + Var (w) - 2 1/N (v-(m(v), ..., m(v)) ).(v-(m(w), ..., m(w)) )=
= Var (v) + Var (w) - 2 1/N somme su i (v_i - m(v))(w_i - m(w))
in particolare
Var (x_1+c, ..., x_N +c) = Var (x)
Covarianza
Cov(v,w) = 1/N (v-(m(v), ..., m(v)) ).(v-(m(w), ..., m(w)) ) =
= 1/N somme su i (v_i - m(v))(w_i - m(w)) =
= media dei prodotti (v_iw_i) - prodotto delle medie m(v) m(w)
Correlazione: normalizzazione della covarianza Cov(x,y)/ (sigma(x)sigma (y)) grazie all'interpretazione geometrica non e' altro che il coseno dell'angolo tra i vettori dei datI:
x= (x_1 ... x_N) e y= (y_1 ... y_N)
sara' sempre tra -1 e 1.
Minimi quadrati rette di regressione ed interpretazione della dipendenza tra coppie di dati
15-12-08 lezione 26 recupero (Tortorelli)
Non negativita' della varianza dedotta dalla diseguaglianza di Cauchy-Schwarz.
Scala logaritmica e doppiamente logaritmica: rette di regressione per indagare dipendenze di tipo esponenziale e di tipo potenza.
Osservazione su dati negativi per applicare le scale logaritmiche.
Problema non matematico: vi e' un fondamento fisiologico sull'efficacia del metodo dei minimi quadrati rispetto a valutazioni qualitative della retta che ``meglio si adatta'' ad una distribuzione
di punti nel piano? (Invito a fare esperimenti personali ed indagine presso i docenti competenti nel settore).
15-12-08 esercitazione 14 recupero (Tortorelli) Esempio di calcolo di retta di regressione su sei coppie di dati numerici. Commenti relativi ed impostazione del calcolo per scale logaritmiche.
18-12-08 lezione 27 (Tortorelli)
INTRODUZIONE AL CALCOLO DELLE PROBABILITA'
Riferimenti: Si consigliano le letture degli esempi esposti nei vari libri consigliati.
Per quanto riguarda l'approccio e l'impostazione generale, pur avendo delle profonde
differenze sull'ordine di presentazione e sulla rilevanza da dare ai diversi concetti teorici,
senza dubbio e' da preferire per chiarezza e completezza:
[MA1] cap.2 pagg. 35-61, 69-80 , cap. 7 pagg.301-315, 320-326;
Problema
Dare senso rigoroso ed introdurre regole di calcolo per trattare domande del tipo
con che probabilita' un accadimento casuale si realizza con certe modalita'
qual'e' il valore medio di una grandezza casuale ...
Data una grandezza aleatoria Y (concetto intuitivo)
0- per prima cosa individuare dove certamente assume i suoi valori:
rappresentiamo questo ambito di variazione di Y con un insieme V
1- dal singolo problema oggetto di studio saranno di interesse certe eventualita'
esprimibili con frasi del tipo ``Y sta in H'' con H che varia tra certi sottoinsiemi di V
chiamiamo questa famiglia di ``eventaulita''' interessanti H
sembra utile a priori, o per lo meno comodo, avere l'evento impossibile ``Y sta nell'insieme vuoto'' e l'evento sicuro ``Y sta in V''
d'altronde si vuole poter valutare eventualita' composte del tipo ``Y sta in H ma non in K'' eccetera eccetera
Si tratta quindi di trovare una famiglia F di sottoinsiemi di V per cui
i- vuoto e V stanno in F i-bis (ipotesi non matematica ma dettata dal problema) F contiene H
ii- se A e B stanno in F allora AU B, A intersezione B, A\B stanno in F.
iii- (ipotesi decisamente matematica) se A_n n in N e' una successione di elementi di F
allora la loro unione sta in F.
Una famiglia che soddisfa i, ii si dice algebra di sottoinsiemi di V
se verifica anche iii si dice tribu' osigma-algebra .
(V,F) si dice spazio misurabile.
Eventi incompatibili, famigli di eventi esaustivi ed incompatibili, eventi elementari.
Esempi: Y lancio di una moneta, Y lancio di un dado, Y misura dell'altezza di un individuo preso a caso in una popolazione, Y scelta casuale di un punto su un segmento.
Nei casi in cui Y a priori puo' assumere un numero finito di valori F sara' usualmente l'insieme di tutti i sottoinsiemi di V.
Ma non sempre cio' e' ragionevole sia per poter usare strumenti matematici potenti, si per economia concettuale rispetto al problema concreto che stiamo idealizzando: conviene che F sia la piu' piccola tribu' conetnento il dato H.
2- Si vuol dare senso, ed assegnargli un valore numerico,
al termine la ``probabilita' che Y stia in A'' per gli A in F.
Dal singolo problema oggetto di studio per le eventualita' interessanti di H sara' assegnato
un valore d(H) alla ``la probabilita' che Y sta in H'', o comunque si faranno ipotesi su come assegnare queste probabilita' (per esempio basandosi su dati staistici o su leggi precedentemente note etc. etc. salvo poi falsificarle basandosi su nuovi esperimenti etc. etc. siamo al cuore del metodo scientifico poche parole per anni di lavoro).
Comunque il nocciolo matematico e' che tali assegnazioni d(H), per H in H, dovranno
potersi estendere ad F in modo compatibile con le regole che esporremo ora.
Si considera una funzione m : F --> [0;1] per cui
0- 0 <o= m (A) <o= 1
i- m(vuoto)=0, m(V)=1 i-bis m(H)= d(H) per H in H ,
ii- m(AUB)= m(A)+ m(B) -m (A intersezione B)
iii- Se A_n e' una successione di elementi di F a due a due disgiunti dve essere
m(U {A_n : n in N} )=
serie m(A_n) = lim_{N -->+oo} m(A_1) + m(A_2) + ... +m(A_N)
Una tale funzione si dice distribuzione, o misura, o legge di probabilita' su (V, F)
(V, F, m) si dice spazio di probabilita'.
Monotonia rispetto all'inclusione.
Passaggio al limite su successioni monotone rispetto all'inclusione.
Quando il dato H e' abbastanza ricco e d(H) soddisfa le regole date m e' univocamente determinata. In tal caso e' bene chiamarla legge di probabilita' di Y.
Quindi si pone ``probabilita' che Y stia in A''= m(A) per gli A in F.
Tale m e' il principale oggetto su cui fare i calcoli.
Esempi: casi favorevoli su casi possibili, frequenze relative ...
2-bis (Kolmogorv) Per fini molto spesso teorici avendo piu' di un evento aleatorio Y e' comodo rappresentare contemporaneamente diversi eventi aleatori come particolari funzioni definite sullo stesso dominio B.
Si anticipa che in molti casi cio' e' inutile se non dannoso: cio' che serve e' m.
D'altronde in altri casi , specialmente quando V e' un insieme finito, e' comodo solo pensare
a questa base comune, e Y ``sparira' '' diventando la funzione identica su B=V.
Lo si fa usando i seguenti concetti:
(Richiamo delle proprieta' della preimmagine di una funzione rispetto ad unione, intersezione e complemento)
i- Siano (B, G) e (V,F) due spazi misurabili
una funzione X:B--> V si dira' variabile aleatoria se
{ b in B: X(b) in A} brevemente {X in A} sta in G per ogni A in F
ii- Siano (B, G, P) e (V,F, m) due spazi misurabili e X una variabile aleatoria dal primo al secondo.
Diremo che m e' la legge di probabilita' di X (indotta da P) se
P{X in A} = m(A) per ogni A in F.
Quindi sotto opportune condizioni un teorema di Kolmogorov garantisce
che data una famiglia di accadimenti casuali Y
ognuna con le sue leggi di probabilita' m_Y su certi V_Y
si puo' trovare uno stesso spazio di probabilita'
(B, G, P) e una famiglia di variabili aleatorie X_Y a valori ognuna nel rispettivo (V_Y, F_Y)
in modo che le leggi m_Y date dal lavoro scientifico siano le leggi rispettivamente
delle variabili aleatorie X_Y.
In questo senso la variabile aleatoria X_Y :(B, G, P) --> ( V_Y, F_Y , m_Y)
rappresenta l'accadimento casuale Y. Si sottolinea che il fatto notevole
e' farlo in ``blocco'' per intere famiglie (anche infinite) di accidenti Y con uno stesso spazio ``base'' di probabilita' (B, G, P).
Esempi: (dove si vede quanto si trascura (B, G,P) o quanto si trascura Y) lancio di monete,
lancio di dadi, legge di Mendel nel caso di dati genitori e due alleli, distribuzione uniforme sul finito, distribuzione pesata sul finito.
Eventi indipendenti (rispetto ad una legge di probabilita) variabili aleatorie indipendenti.
Schema di Bernoulli
Un po di calcolo combinatorico: unioni disgiunte, prodotti cartesiani, funzioni e disposizioni con ripetizione, funzioni iniettive e disposizioni semplici, coefficienti binomiali e combinazioni senza ripetizione sottoinsiemi di cardinalita' data, combinazioni con ripetizione, binomio di Newton, relazione ricorsiva per i binomiali (metodo del testimone)
Densita' di una variabile aleatoria discreta
Distribuzione binomiale
interpretazione della binomiale:
k successi su n tentativi indipendenti ognuno con probabilita' di successo assegnata p.
numero di sottozone, di una suddivisione di una area in n sottozone,
interessate ad un evento che ha probabilita' p di accadere in una sottozona indipendentemente dalle altre (faccio i tentativi in parallelo invece che uno dopo l'altro).
Media di una variabile aleatoria discreta.
(Varianza)
Convergenza della distribuzione binomiale per np= m (media) costante e n-->+oo.
Distribuzione di Poisson e sua interpretazione: gocce di pioggia e molto altro.
Definizione di variabile aleatoria reale con densita', definizione di media (varianza):
sostituire somme e serie con integrali.
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I ciclo di ripetizione
.
12-1-09 ripetizione 1.I (Tortorelli) Esercizi sulle proprieta' algebriche di
potenze, esponenziali e logaritmi, e su monotonia di potenze, esponenziali e logaritmi.
Confronto tra numeri espressi con logaritmi e potenzecercando maggioranti o minoranti
per i quali si possono fare delle semplificazioni.
.
13-1-09 ripetizione 2.I (Tortorelli) Esercizi su propagazione degli errori nel prodotto e nella divisione, formula semplificata e formula approssimata dell'errore del prodotto.
Esercizi su moduli. Risoluzione di una diseguaglianza senza soluzioni esplicite. .
14-1-09 ripetizione 3.I (Tortorelli) Formula approssimata dell'errore del reciproco.
Serie geometrica e formula per differenza di potenze ennesime. Limiti notevoli per successioni e funzioni, tasso di interesse composto, limiti di frazioni di somme di infiniti, segmenti e rette come luoghi di zeri e come immagini di funzioni.
Esercizio sul polinomio di Taylor (da rifare la porssima volta).
15-1-09 ripetizione 4.I (Tortorelli) Sviluppi di Taylor di log cos x centro l'origine di grado 2 ed 8. Convergenza della serie di Taylor del coseno. Prodotti scalari, determinanti e funzioni trigonometriche. Piani con condizioni di ortogonalita' e in forma parametrica. Matrici e trasformazioni lineari. Matrici e cambiamenti di base. Distanza di piani da punti. Rotazioni nel piano attorno a punti arbitrari. Rotazioni nello spazio attorno ad un asse per l'origine.
16-1-09 ripetizione 5.I (Tortorelli) Volume tetraedro: sinteticamente e analiticamente, sottografici di rette e di piani, primitive di potenze. Principio di Cavalieri.
Volume cono di base data.
Esempio di estrazioni con ``rimbussolamento'' in confronto ad estrazioni senza ``rimbussolamento''. Distribuzione binomiale e schema di Bernoulli. Eventi
stocasticamente indipendenti. Come in certi casi di eventi dipendenti si possa calcolare la probabilita' di un'intersezione: esempio di applicazione formula di Bayes.
19-1-09 ripetizione 6.I (Tortorelli) Eventi indipendenti, valore atteso o media o speranza.
Ripetizione dell'esercizio probabilita' di estrarre esattamente 3 palline blu in 5 estrazioni da un urna con 2 verdi, 3 gialle e 5 blu.
Caso con ``rimbussolamento'' e caso senza ``rimbussolamento''.
Esercizio 1. Se PA|B=P B|A =1/2, e PA=1/4 dire quale delle seguienti affermazioni e' vera:
Ae B sono indipendenti
PB=PA
Esercizio 2. Un popolazione di H.W. presenta un carattere C nel caso di genotipo aa,
ove il gene presenta i due alleli A (dominante) e a (recessivo). Se la frequenza di a e' 0.2
calcolare.
- la probabilita' che un individuo nella popolazione non presenti C.
-la probabilita' che il figlio presenti C con madre che presenti Ce padre che non lo presenti.
-la probabilita' che almeno uno dei due genitori non presenti il carattere se il figlio lo presenta.
Esercizio 3. Estraendo ``con rimessa '' numeri da 1 a 90 calcolare il numero medio di estrazioni
per ottenere 5.
(impostazione: evento aleatorio N = numero di estrazioni per cui 5 compare solo nell'ultima
il numero medio di estrazioni perche' compaia 5 e' per definizione
somma su k di kP(N=k) = somma valore per probabilita' di assumere quel valore
Calcolo di P(N=k)= 1/90 (89/90)^{k-1}
quindi considerando che la serie
somme su h di (h+1) x^h e' la derivata della serie x somme su h di x^h = x/1-x
si deriva questa funzione si calcola la derivata in 89/90 e la simoltiplica per 1/90)
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II ciclo di ripetizione
.
28-1-09 ripetizione 1.II (Tortorelli) Allineamenti decimali, prodotti notevoli, serie geometrica, assioma di Archimede, assioma di completezza per successioni, radici aritmetiche, esponenziale logaritmo, campi di definizione, pi-greco, costante e di Nepero e tasso di interesse composto, valore assoluto ed interpretazione geometrica dei numeri reali.
Esericizi crescita costante con decremento costante in percentuale, proprieta' esponenzili e logaritmi.
Errore relativo errore assoluto errore percentuale, valutazione prodotto.
.
29-1-09 ripetizione 2.II (Tortorelli) Esercizio su errore percentuale. Notazione insiemistica e regole formazione insiemi relazioni con le nozioni di base di logica. Concetto astratto di funzione. Grafici fondamentali e operazioni elementari sui grafici
.
2-2-09 ripetizione 3.II (Tortorelli) Coordinate cartesiane e distanze euclidee, grandezze trigonometriche, prodotto scalare ed interpretazione geometrica eproprieta' algebriche, determinate interpretazione geometrica e proprieta' algebriche.
Rette e piani in forma parametrica come immagine di cammini a velocita' costante, e come luoghi di zeri come condizioni di ortogonalita'. Equazione del piano passante per tre punti P, Q, R: det (X-P, Q-P, R-P)=0.
.
3-2-09 ripetizione 4.II (Tortorelli) Area di un parallelogramma nello spazio. Distanza tra un punto e un piano o una retta. Rapporto incrementale. Cambiamenti di base, prodotto righe per colonne, matrice inversa e matrice identica, formula per la matrice inversa, determinante del prodotto di due matrici quadrate. Trasformazioni lineari, associativita' del prodotto tra matrici, rotazioni e riflessioni nel piano. Matrici e sistemi.
.
4-2-09 ripetizione 4.II (Tortorelli) Calcolo differenziale ed integrale: dai rapporti incrementali e convessita' al polinomio di Taylor e al teorema fondamentale del calolo differenziale ed integrale. Esercizi e disegni.
.
5-2-09 ripetizione 4.II (Tortorelli) Moda, mediana, quantili, media esua proprieta' di minimo, varianza, punto di vista con ii pordotti scalari e diseguaglianza di Cauchy-Schwarz, covarianza, correlazione rette di regressione, ortogonalita' e non correlazione. Calcolo della numero medio di esami dati per studente sapendo il totale degli studenti e quanti studenti hanno dato ciascun esame: analisi del problema: la campionatura e' qui incognita si calcola la media ma non la varianza.
Spazi di probabilita' e regole di calcolo delle probabilita', probabilita' condizionata formule di Bayes e delle probabilita' totali. Esercizi. Media o valor atteso o speranza matematica di un numero aleatorio. Esercizi.
Eventi indipendenti: probabilita' di fare esattamente un 6 su 15 lanci di un dado non truccato. Schema di Bernoulli, distribuzione binomiale.
Numero delle funzioni da {1, ..., k} in {1, ..., n}, numero delle funzini iniettive (disposizioni con rimpiazzamento o senza),
cobinazioni e coefficienti binomiali.