Lezione 1 - martedì 02/03/21, dalle 09:00 alle 11:00. Introduzione al corso. Definizione di uno spazio di Sobolev.
Dispense: Capitolo 1. Parte 1.
Lezione 2 - martedì 09/03/21, dalle 09:00 alle 10:45.
Convoluzione e teoremi di approssimazione in spazi di Sobolev.
Spazi H10 su domini aperti limitati.
Teorema di immersione compatta in L2, disuguaglianza di Poincaré con costante che dipende dal diametro.
Dispense: Capitolo 1. Parte 2 e parte 3.
Lezione 3 - martedì 09/03/21, dalle 16:15 alle 18:00.
Parte positiva, parte negativa e modulo di una funzione di Sobolev.
Se una funzione di Sobolev è costante su un insieme di misura positiva,
allora il suo gradiente è nullo quasi-ovunque su quel insieme.
Formulazione variazionale di problemi ellittici con dato nullo al bordo.
Esistenza e unicità del minimo. Soluzioni deboli e soluzioni in senso delle distribuzioni.
Dispense: Capitolo 1. Parte 4 e Parte 5.
Lezione 4 - martedì 16/03/21, dalle 09:00 alle 10:45.
L'operatore risolvente del Laplaciano di Dirichlet in un aperto limitato è un operatore lineare, simmetrico, positivo e compatto.
Autofunzioni e autovalori del Laplaciano in un dominio aperto e limitato. Principio del massimo debole per soluzioni con dato nullo al bordo.
(La lezione ha subito un ritardo di circa 40 minuti a causa di problemi tecnici.)
Dispense: Capitolo 1. Parte 6 e parte 7.
Lezione 5 - martedì 16/03/21, dalle 16:15 alle 18:00.
Principio del massimo debole per operatori monotoni. Principio del massimo debole, barriere e stime della norma L-inifinito delle soluzioni.
Definizione di soluzioni deboli con dato al bordo non nullo: formulazione debole, formulazione variazionale e funzioni armoniche.
Principio del massimo debole per funzioni armoniche. Teorema della regolarità ellittica - enunciato.
Dispense: Capitolo 1. Parte 7, Parte 8, Parte 9.
Lezione 6 - martedì 23/03/21, dalle 09:00 alle 10:45.
Disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev. Immersione compatta di L^2 in H^1_0 per domini di misura finita.
Iterazione di De Giorgi e limitatezza delle soluzioni. Limitatezza delle autofunzioni del Laplaciano di Dirichlet in domini di misura finita.
Dispense: Capitolo 2. Parte 1, Parte 2.
Lezione 7 - martedì 23/03/21, dalle 16:15 alle 18:00.
Funzioni armoniche in insiemi aperti. Teorema della traccia in una palla di raggio R. Teorema della media. Disuguaglianza di Harnack.
Una dimostrazione della stima dell'oscillazione via la disuguaglianza di Harnack.
Dispense: Capitolo 2. Parte 3, Parte 4 (Sezioni 1 e 2, ma abbiamo usato implicitamente il risultato della sezione 3), Parte 5, Parte 6.
Lezione 8 - martedì 30/03/21, dalle 09:00 alle 10:45.
Una seconda dimostrazione del decay dell'oscillazione via la disuguaglianza di Harnack. Il decay dell'oscillazione implica la continuità Holder della funzione.
Teorema di De Giorgi - enunciato e la stima L^2 - L^(infinito).
Dispense: Capitolo 2. Parte 6, Parte 7.
Lezione 9 - martedì 30/03/21, dalle 16:15 alle 18:00.
Teorema di De Giorgi - la dimostrazione completa.
Dispense: Capitolo 2. Parte 7.
Lezione 10 - martedì 12/04/21, dalle 09:00 alle 10:45.
Definizione e proprietà della capacità negli spazi di Sobolev. Disuguaglianza di Poincaré (dimostrazione per esercizio). Teorema di estensione e Teorema di Besicovitch (senza dimostrazione).
Insiemi di capacità nulla. Unione finita e infinita di insiemi di capacità nulla.
Dispense: Capitolo 3. Parte 1, Parte 2.
Lezione 11 - martedì 12/04/21, dalle 16:15 alle 18:00.
Definizione puntuale delle funzioni di Sobolev.
Dispense: Capitolo 3. Parte 2.
Lezione 12 - martedì 19/04/21, dalle 09:00 alle 10:45.
Quasi-continuità delle funzioni di Sobolev. Convergenza forte e convergenza cap-quasi-ovunque.
Una definizione equivalente degli spazi H^1_0 su insiemi aperti. Definizione puntuale della traccia.
Dispense: Capitolo 3. Parte 3.
Lezione 13 - martedì 19/04/21, dalle 16:15 alle 18:00.
Definizione dello spazio H^1_0 per un insieme qualsiasi.
Definizione di un insieme quasi-aperto come un insieme di livello di una funzione di Sobolev.
Per ogni insieme A esiste un insieme quasi-aperto B contenuto cap-quasi-ovunque in A tale che H^1_0(A)=H^1_0(B).
Disuguaglianza integrale di Minkowski. Disuguaglianza integrale di Hardy.
Teorema di Gagliardo.
Dispense: Capitolo 3. Parte 4.
Lezione 14 - martedì 26/04/21, dalle 09:00 alle 10:45.
Problemi ellittici in forma divergenza. Composizione delle soluzioni con matrici a coefficienti costanti.
Funzioni Lipschitziane in spazi di Sobolev.
Dispense: Capitolo 4. Parte 1, Parte 2
Lezione 15 - martedì 26/04/21, dalle 16:15 alle 18:00.
Estensione armonica e quasi-minimalità delle soluzioni. Formula di Bochner per le funzioni armoniche.
Lipschitzianità delle soluzioni.
Dispense: Capitolo 4. Parte 3.
Lezione 16 - martedì 04/05/21, dalle 09:00 alle 10:45.
Formula di monotonia di Weiss. Formula di monotonia di Almgren per le funzioni armoniche.
Dispense: Capitolo 5. Parte 2.
Lezione 17 - martedì 04/05/21, dalle 16:15 alle 18:00.
Gradiente di una funzione definita sulla sfera unitaria. Gradiente radiale e gradiente tangenziale.
Spazi di Sobolev sulla sfera. Disuguaglianza di Poincaré sulla sfera. Immersione compatta in L2.
Problemi ellittici sulla sfera. Autovalori e autofunzioni del laplaciano sferico. Armoniche sferiche.
Estensioni omogenee delle armoniche sferiche. Funzioni armoniche omogenee in Rn.
Le armoniche sferiche sono tracce di polinomi armonici.
Sviluppo di una funzione armonica come serie di polinomi armonici omogenei.
Tracce di funzioni di Sobolev sulla sfera.
Dispense: Capitolo 5. Parte 1.
Lezione 18 - martedì 11/05/21, dalle 09:00 alle 10:45.
Disuguaglianza epiperimetrica. Teorema di Schauder per operatori in forma divergenza con coefficienti Holder.
Successioni di blow-up e limiti di blow-up. Quasi minimalità delle funzioni riscalate.
I blow-up sono funzioni armoniche e globalmente Lipschitziane.
I blow-up sono funzioni lineari (per mostrare che una funzione armonica, zero in zero, e globalemente lipschitziana è lineare,
abbiamo dimostrato anche la stima del gradiente per le funzioni armoniche ed il teorema di Liouville).
Convergenza forte della successione di blow-up.
Dispense: Capitolo 5. Parte 3, Parte 4, Parte 5 (sezioni 1 e 2).
Lezione 19 - martedì 11/05/21, dalle 16:15 alle 18:00.
Teorema di Schauder per operatori in forma divergenza con coefficienti Holder: seconda parte della dimostrazione.
Decay dell'energia. Stima dell'oscillazione della successione di blow-up.
Unicità del limite di blow-up e differenziabilità della funzione.
Continuità del gradiente.
Dispense: Capitolo 5. Parte 4.
Lezione 20 - martedì 18/05/21, dalle 09:00 alle 10:45.
Il problema a una fase - Parte 1. Esistenza di soluzioni del problema variazionale.
I minimi sono funzioni subarmoniche. I minimi sono definiti puntualmente e sono funzioni localmente limitate.
Non-degenerazione dei minimi. I minimi hanno supporto limitato.
Dispense: Capitolo 6. Parte 1.
Lezione 21 - martedì 18/05/21, dalle 16:15 alle 18:00.
Il problema a una fase - Parte 1. Stima del Laplaciano. Continuità Lipschitz dei minimi.
Successioni di blow-up e limiti di blow-up. Convergenza forte delle successioni di blow-up.
I blow-up sono minimi locali.
Dispense: Capitolo 6. Parte 2, Parte 3.
Lezione 22 - martedì 25/05/21, dalle 09:00 alle 10:45.
Formula di monotonia di Weiss. Omogeneità dei blow-up.
Variazione interna e condizione di ottimalità. Classificazione dei blow-up in dimensione due.
Dispense: Capitolo 6. Parte 4, Parte 5, Parte 6.
Lezione 23 - martedì 25/05/21, dalle 16:15 alle 18:00.
Soluzioni armoniche in senso di viscosità.
Condizioni di Neumann in senso di viscosità. Condizioni di minimalità in senso di viscosità per le soluzioni del problema a una fase.
Dispense: Capitolo 6. Parte 7, Parte 8, Parte 9.
Lezione 24 - martedì 1/06/21, dalle 14:00 alle 16:00.