Questo corso è un'introduzione alla teoria degli spazi di Sobolev, uno strumento fondamentale nello studio delle Equazioni alle Derivate Parziali e nel Calcolo delle Variazioni. Il corso è pensato come una continuazione naturale del corso di Analisi 3 ed è quindi un corso della Laurea Triennale che però può anche essere seguito dagli studenti della Laurea Magistrale, prima o dopo il corso di Istituzioni di Analisi.

Il corso ha una durata di 48 ore e si terrà nel secondo semestre.

Mercoledì 16:00 - 18:00 (aula N1) e venerdì 16:00 - 18:00 (aula G);

prima lezione: mercoledì 1/3/2023, 16:00 - 18:00 (aula N1);
ultima lezione: venerdì 26/5/2023, 16:00 - 18:00 (aula G).

Capitolo 1. Gli spazi L^p come spazi di Banach.
Spazio duale e convergenza debole.

Operatori lineari continui su uno spazio di Banach. Teorema di Hahn-Banach. Norma di un operatore lineare continuo. Spazio duale di uno spazio di Banach. Spazio suale di L^p. Convergenza debole negli spazi L^p nel caso p>1. Le successioni limitate sono debolmente compatte. Le successioni debolmente convergenti sono limitate. Semicontinuità della norma rispetto alla convergenza debole.

Capitolo 2. Spazi di Sobolev di funzioni di una variabile

Derivate deboli e definizione degli spazi W^1,p su intervalli. Gli spazi W^1,p(I) come spazi di Banach. Teorema fondamentale del calcolo integrale in W^1,p(I). Approssimazione con funzioni regolari. Somma, prodotto, modulo, inf e sup di funzioni di Sobolev. Teoremi di estensione. Limitatezza delle funzioni di Sobolev. Serie di Fourier. Applicazioni alla risoluzione di problemi ellittici e parabolici.

Capitolo 3. Spazi di Sobolev di funzioni di più variabili.

Derivate deboli e definizione degli spazi W^1,p in dimensione N. Completezza degli spazi W^1,p. Approssimazione con funzioni regolari. Teoremi di estensione. Disuguaglianza di Poincaré. Disuguaglianza di Poincaré-Wirtinger. Teorema di Rellich. Disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev. Immersioni di Sobolev nel caso critico p=d. Lemma di Morrey e immersioni di Sobolev nel caso p>d. Teorema di Gagliardo, disuguaglainza di Hardy integrale e disuguaglianza di Minkowski integrale. Formulazione debole di problemi ellittici. Equazione del calore su domini limitati. Operatori compatti su spazi di Hilbert. Teorema spettrale. Autovalori e autofunzioni del Laplaciano di Dirichlet.

Lezione 1 - mercoledì 01/03/2023, dalle 16:00 alle 18:00.
Funzionali lineari continui sugli spazi L^p. Disuguaglianza di Clarkson. Per p finito e maggiore di 1, il duale di L^p è L^q; con due dimostrazioni diverse nei casi p>2 e 2>p.
Dispense: Capitolo 1. Parte 1, Parte 1.1.

Lezione 2 - venerdì 03/03/2023, dalle 16:00 alle 18:00.
Funzionali lineari continui su uno spazio di Banach. Spazio duale. Norma di un operatore. Lo spazio duale è uno spazio di Banach. Spazi riflessivi. Convergenza debole. Unicità del limite debole. Le successioni limitate ammettono sottosuccessioni debolmente convergenti. Semicontinuità della norma rispetto alla convergenza debole. Teorema di Radon-Riesz.
Dispense: Capitolo 1. Parte 1.2, Parte 2.

Lezione 3 - mercoledì 08/03/2023, dalle 16:00 alle 18:00.
Teorema di Hahn-Banach. Le funzioni debolmente convergenti sono limitate. Definizione dello spazio W^1,p su un intervallo. Esempi di funzioni di Sobolev.
Dispense: Capitolo 1. Parte 2, Parte 2.1. Capito 2. Parte 1.

Lezione 4 - venerdì 10/03/2023, dalle 16:00 alle 18:00.
Lo spazio W^1,p è uno spazio di Banach. Convergenza debole in W^1,p. Le successioni limitate sono compatte rispetto alla convergenz debole. Le successioni debolmente convergenti sono limitate e la norma L^p (delle funzioni e le loro derivate deboli) è semicontinua. Le funzioni di Sobolev con gradiente nullo sono costanti. Teorema fondamentale del calcolo integrale in W^1,p. Una caratterizzazione delle funzioni in W^1,p.
Dispense: Capitolo 2. Parti 2,3,4,5.

Lezione 5 - mercoledì 15/03/2023, dalle 16:00 alle 18:00.
Teorema di estensione di una funzione di Sobolev, definita su un intervallo illimitato, ad una funzione di Sobolev su R. Teorema di estensione di una funzione di Sobolev, definita su un intervallo limitato, ad una funzione di Sobolev su R. Approssimazione di una funzione di Sobolev, definita su R, con funzioni regolari. Approssimazione di una funzione di Sobolev, definita su un intervallo, con funzioni regolari.
Dispense: Capitolo 2, Parti 6 e 7.

Lezione 6 - venerdì 17/03/2023, dalle 16:00 alle 18:00.
Le funzioni di Sobolev sono limitate. Per p>1 e I limitato, le successioni limitate nello spazio W^1,p(I) ammettono sottosuccessioni uniformemente convergenti su I. Controesempio nel caso p=1. Per p>1 e I limitato, le successioni debolmente convergenti in W^1,p(I) convergono uniformemente su I. Il prodotto di due funzioni in W^1,p(I) sta in W^1,p(I). La composizione di una funzione di Sobolev con una funzione di classe C¹ è Sobolev.
Dispense: Capitolo 2. Parti 8, 8.1, 9.

Lezione 7 - mercoledì 22/03/2023, dalle 16:00 alle 18:00.
Composizione di funzioni C¹ con funzioni di Sobolev: teoremi di convergenza. Parte positiva, parte negativa e modulo di una funzione di Sobolev. Definizione di W^1,p₀(I). Caratterizzazione di W^1,p₀(I). Lo spazio W^1,p₀(I) è chiuso rispetto alla convergenza debole in W^1,p(I). Un sottospazio vettoriale chiuso di uno spazio di Banach è chiuso rispetto alla convergenza debole. Formulazione debole e forte di problemi ellittici in dimensione uno.
Dispense: Capitolo 2, Parti 9, 9.1, 10 e 10.1.

Lezione 8 - venerdì 24/03/2023, dalle 16:00 alle 18:00.
Le funzioni di Sobolev sono limitate. Per p>1 e I limitato, le successioni limitate nello spazio W^1,p(I) ammettono sottosuccessioni uniformemente convergenti su I. Controesempio nel caso p=1. Per p>1 e I limitato, le successioni debolmente convergenti in W^1,p(I) convergono uniformemente su I. Il prodotto di due funzioni in W^1,p(I) sta in W^1,p(I). La composizione di una funzione di Sobolev con una funzione di classe C¹ è Sobolev.
Dispense: Capitolo 2. Parti 8, 8.1, 9.

Lezione 9 - mercoledì 29/03/2023, dalle 16:00 alle 18:00.
Principio del massimo debole. Confronto di soluzioni su intervalli diversi e con potenziali diversi. Convergenza debole e convergenza forte di soluzioni relativi a potenziali diversi. Esempio di una soluzione debole, ma non forte.
Dispense: Capitolo 2, Parti 12.2, 13, 14.

Lezione 10 - venerdì 31/03/2023, dalle 16:00 alle 18:00.
Due basi di Fourier sull'intervallo I=(0,L). Gli spazi H₀¹(I) e H¹(I) e gli sviluppi in serie di Fourier rispetto alle basi doverse. Esistenza di soluzioni dell'equazione del calore. Decadimento dell'energia e unicità delle soluzioni.
Dispense: Capitolo 2. Parti 15, 16.

Lezione 11 - mercoledì 05/04/2023, dalle 16:00 alle 18:00.
Definizione dello spazio W^1,p su un insieme aperto. Esempio di una funzioni di Sobolev con discontinuità in zero. Esempio di una funzione di Sobolev illimitata. Norma di Sobolev e completezza dello spazio W^1,p. Separabilità dello spazio W^1,p. Convergenza debole in W^1,p.
Dispense: Capitolo 3, Parti 1,2,3.

Lezione 12 - mercoledì 19/04/2023, dalle 16:00 alle 18:00.
Convoluzione di funzioni W^1,p con funzioni regolari. Densità delle funzioni C^∞ a supporto compatto in W^1,p(R^d). Teoremi di approssimazione in spazi di Sobolev su insiemi aperti.
Dispense: Capitolo 3, Parte 4.

Lezione 13 - venerdì 21/04/2023, dalle 16:00 alle 18:00.
Traslazioni di funzioni W^1,p(R^d). Una caratterizzazione dello spazio W^1,p(R^d). Teorema di Rellich. Gli spazi W₀^1,p - definizione ed esempi.
Dispense: Capitolo 3. Parti 5, 6.

Lezione 14 - mercoledì 26/04/2023, dalle 16:00 alle 18:00.
Gli spazi W₀^1,p - convergenza debole e disuguaglianza di Poincaré. Problemi ellittici con condizioni di Dirichlet - formulazione variazionale, soluzioni deboli, esistenza e unicità. Una soluzione debole particolare.
Dispense: Capitolo 3, Parti 6, 7.

Lezione 15 - venerdì 28/04/2023, dalle 16:00 alle 18:00.
Operatore risolvente: definizione, linearità, limitatezza, simmetria, positività, compattezza. Operatori limitati e operatori compatti su spazi di Hilbert: definizione, proprietà ed esempi
Dispense: Capitolo 3. Parti 8, 8.1.

Lezione 16 - mercoledì 03/05/2023, dalle 16:00 alle 18:00.
Teorema spettrale per operatori compatti, simmetrici, semi-definiti positivi su spazi di Hilbert separabili. Sviluppo in serie di Fourier nella base generata dalle autofunzioni del Laplaciano di Dirichlet: una caratterizzazione dello spazio W₀^1,2.
Dispense: Capitolo 3, Parti 8, 8.1, 9.

Lezione 17 - venerdì 05/05/2023, dalle 16:00 alle 18:00.
Soluzioni deboli dell'equazione del calore (con condizioni di Dirichlet) su un dominio aperto e limitato: esistenza e unicità. Problemi ellittici con condizioni di Neumann. Formulazione variazionale nello spazio delle funzioni di Sobolev a media nulla. Esistenza di soluzioni deboli.
Dispense: Capitolo 3. Parte 9.

Lezione 18 - mercoledì 10/05/2023, dalle 16:00 alle 18:00.
Teoremi di approssimazione ed estensione per funzioni di Sobolev sulla palla n-dimensionale. Inclusione compatta di W^1,p(B_R) in L^p(B_R). Composizione di funzioni di Sobolev con diffeomorfismi di classe C¹.
Dispense: Capitolo 3. Parte 10.

Lezione 19 - venerdì 12/05/2023, dalle 16:00 alle 18:00.
Teoremi di approssimazione ed estensione per funzioni di Sobolev su insiemi aperti e limitati di classe C¹. Inclusione compatta di W^1,p in L^p. Disuguaglianza di Poincaré-Wirtinger sulla palla.
Dispense: Capitolo 3. Parti 11, 12.

Lezione 20 - mercoledì 17/05/2023, dalle 16:00 alle 18:00.
Disuguaglianza di Poincaré-Wirtinger su un insieme aperto, limitato, connesso e regolare. Disuguaglianza della traccia sulla palla per funzioni regolari. Definizione della traccia di una funzione di Sobolev. Teorema della traccia per funzioni di Sobolev. Continuità delle medie su sfere in funzione del raggio. Una funzione in H¹ della palla è in H₀¹ se e soltanto se la sua traccia è nulla.
Dispense: Capitolo 3. Parti 12.1, 13

Lezione 21 - mercoledì 24/05/2023, dalle 16:00 alle 18:00.
Disuguaglianza della traccia per funzioni regolari in domini regolari. Definizione della traccia di una funzione di Sobolev in un dominio regolare. Teorema della traccia per funzioni di Sobolev. Una funzione in W^1,p su un isnieme regolare è in W₀^1,p se e soltanto se la sua traccia è nulla. Disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev - dimostrazione del lemma principale in dimensione due.
Dispense: Capitolo 3. Parti 14, 15.

Lezione 22 - giovedì 25/05/2023, dalle 09:00 alle 11:00.
Disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev - dimostrazione del lemma principale in dimensione tre. Immersione di W^1,p(R^d) in L^p*(R^d) per d>p. Il caso critico p=d: immersione di W^1,d(R^d) in L^q(R^d) per ogni q maggiore di p. Teorema di Rellich in domini illimitati. Il caso p>d: lemma di Morrey (enunciato) e le sue conseguenze.
Dispense: Capitolo 3. Parti 15, 15.1.

Lezione 23 - venerdì 26/05/2023, dalle 16:00 alle 18:00.
Lemma di Morrey - dimostrazione. Esempio di una successione u_n in W^1,d(R^d) che converge fortemente a zero, ma è tale che u_n(0)=1. Disuguaglianza integrale di Minkowksi. Disuguaglianza integrale di Hardy. Teorema di Gagliardo. Esempio di una funzione in L²(R) che non è la traccia di una funzione di Sobolev in R²₊.
Dispense: Capitolo 3. Parti 7.1, 16, 17.