794AA - Spazi di Sobolev

2023-2024

Corso di Laurea in Matematica

Università di Pisa


Questo corso è un'introduzione alla teoria degli spazi di Sobolev, uno strumento fondamentale nello studio delle Equazioni alle Derivate Parziali e nel Calcolo delle Variazioni. Il corso è pensato come una continuazione naturale del corso di Analisi 3 ed è quindi un corso della Laurea Triennale che però può anche essere seguito dagli studenti della Laurea Magistrale, prima o dopo il corso di Istituzioni di Analisi.

Il corso ha una durata di 48 ore e si terrà nel secondo semestre.

Orario


Giovedì 09:00 - 11:00 (aula N1) e venerdì 16:00 - 18:00 (aula O1).

Esame


Esame orale classico.


Domande frequenti 2022-2023.

Programma


Capitolo 1. Gli spazi Lp come spazi di Banach.
Spazio duale e convergenza debole.

Operatori lineari continui su uno spazio di Banach. Teorema di Hahn-Banach. Norma di un operatore lineare continuo. Spazio duale di uno spazio di Banach. Spazio suale di Lp. Convergenza debole negli spazi Lp nel caso p>1. Le successioni limitate sono debolmente compatte. Le successioni debolmente convergenti sono limitate. Semicontinuità della norma rispetto alla convergenza debole.


Capitolo 2. Spazi di Sobolev di funzioni di una variabile

Derivate deboli e definizione degli spazi W1,p su intervalli. Gli spazi W1,p(I) come spazi di Banach. Teorema fondamentale del calcolo integrale in W1,p(I). Approssimazione con funzioni regolari. Somma, prodotto, modulo, inf e sup di funzioni di Sobolev. Teoremi di estensione. Limitatezza delle funzioni di Sobolev. Serie di Fourier. Applicazioni alla risoluzione di problemi ellittici e parabolici.


Capitolo 3. Spazi di Sobolev di funzioni di più variabili.

Derivate deboli e definizione degli spazi W1,p in dimensione N. Completezza degli spazi W1,p. Approssimazione con funzioni regolari. Teoremi di estensione. Disuguaglianza di Poincaré. Disuguaglianza di Poincaré-Wirtinger. Teorema di Rellich. Disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev. Immersioni di Sobolev nel caso critico p=d. Lemma di Morrey e immersioni di Sobolev nel caso p>d. Teorema di Gagliardo, disuguaglainza di Hardy integrale e disuguaglianza di Minkowski integrale. Formulazione debole di problemi ellittici. Equazione del calore su domini limitati. Operatori compatti su spazi di Hilbert. Teorema spettrale. Autovalori e autofunzioni del Laplaciano di Dirichlet.

Dispense


Capitolo 1. Parte 1. Lo spazio duale di Lp


          Capitolo 1. Parte 1.1. Disuguaglianze di Clarkson


          Capitolo 1. Parte 1.2. Lo spazio duale di uno spazio di Banach


Capitolo 1. Parte 2. Convergenza debole


          Capitolo 1. Parte 2.1. Teorema di Hahn-Banach


          Capitolo 1. Parte 2.2. Le successioni debolmente convergenti sono limitate


          Capitolo 1. Parte 2.3. Teorema di Banach-Steinhaus (non fatto a lezione)


Capitolo 2. Parte 1. Funzioni di Sobolev di una variabile e derivate deboli


Capitolo 2. Parte 2. W1,p(I) come uno spazio di Banach


Capitolo 2. Parte 3. Lo spazio duale di W1,p(I) e convergenza debole in W1,p(I)


Capitolo 2. Parte 4. Teorema fondamentale del calcolo integrale in W1,p(I)


Capitolo 2. Parte 5. Una caratterizzazione di W1,p(I)


Capitolo 2. Parte 6. Teoremi di estensione per funzioni in W1,p(I)


Capitolo 2. Parte 7. Teoremi di approssimazione per funzioni in W1,p(I)


Capitolo 2. Parte 8. Limitatezza delle funzioni di Sobolev di una variabile


          Capitolo 2. Parte 8.1. Prodotto tra funzioni in W1,p(I)


Capitolo 2. Parte 9. Composizione di funzioni W1,p(I) con funzioni C1. Parte positiva e modulo di una funzione in W1,p(I)


Capitolo 2. Parte 10. Gli spazi W01,p(I)


          Capitolo 2. Parte 10.1. Spazi di Banach: convergenza debole e sottospazi chiusi


Capitolo 2. Parte 11. Soluzioni deboli e soluzioni forti di problemi ellittici


Capitolo 2. Parte 12. Le soluzioni deboli come minimi di funzionali


          Capitolo 2. Parte 12.1. La costante di Poincaré su intervalli


          Capitolo 2. Parte 12.2. Esercizi


Capitolo 2. Parte 13. Principio del massimo debole


Capitolo 2. Parte 14. Successioni di soluzioni deboli


Capitolo 2. Parte 15. Serie di Fourier e spazi di Sobolev


Capitolo 2. Parte 16. Equazione del calore


Capitolo 3. Parte 1. Gradiente debole e funzioni di Sobolev su insiemi aperti


Capitolo 3. Parte 2. W1,p(Ω) come uno spazio di Banach


Capitolo 3. Parte 3. Convergenza debole in W1,p(Ω)


Capitolo 3. Parte 4. Convoluzione e teoremi di approssimazione


Capitolo 3. Parte 5. Teorema di Rellich


Capitolo 3. Parte 6. Gli spazi W01,p(Ω)


          Capitolo 3. Parte 6.1. Definizione puntuale di una funzione di Sobolev - il caso p < d


Capitolo 3. Parte 7. Equazioni ellittiche con condizioni di Dirichlet


          Capitolo 3. Parte 7.1. Definizione puntuale di una funzione di Sobolev - il caso p = d


Capitolo 3. Parte 8. Operatori compatti in spazi di Hilbert


          Capitolo 3. Parte 8.1. Operatore risolvente e autovalori del Laplaciano


Capitolo 3. Parte 9. Equazione del calore su aperti limitati


Capitolo 3. Parte 10. Teoremi di estensione ed immersione per spazi di Sobolev su palle


Capitolo 3. Parte 11. Teoremi di estensione ed immersione su insiemi regolari


Capitolo 3. Parte 12. Disuguaglianza di Poincaré-Wirtinger


          Capitolo 3. Parte 12.1. Disuguaglainza di Poincaré-Wirtinger su insiemi regolari


Capitolo 3. Parte 13. Teorema della traccia per funzioni di Sobolev su palle


Capitolo 3. Parte 14. Teorema della traccia in domini regolari


Capitolo 3. Parte 15. Disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev


          Capitolo 3. Parte 15.1. Teorema di Rellich in domini illimitati


Capitolo 3. Parte 16. Lemma di Morrey e le sue conseguenze


Capitolo 3. Parte 17. Teorema di Gagliardo

Registro
delle lezioni


Lezione 1 - giovedì 29/02/2024, dalle 09:00 alle 11:00.
Introduzione al corso. Funzionali lineari continui sugli spazi Lp. Disuguaglianza di Clarkson. Il duale di Lp è Lq; il caso 2>p.
Dispense: Capitolo 1. Parte 1, Parte 1.1.


Lezione 2 - venerdì 01/03/2024, dalle 16:00 alle 18:00.
Il duale di Lp è Lq; il caso p>2. Funzionali lineari continui su uno spazio di Banach. Spazio duale. Norma di un operatore. Lo spazio duale è uno spazio di Banach. Convergenza debole. Unicità del limite debole. Teorema di Hahn-Banach.
Dispense: Capitolo 1. Parti 1, 1.1, 1.2, 2, 2.1.


Lezione 3 - giovedì 07/03/2024, dalle 09:00 alle 11:00.
Esempi di successioni debolmente convergenti. Compattezza debole delle successioni limitate. Limitatezza delle successioni debolmente convergenti. Semicontinuità della norma e teorema di Radon-Riesz.
Dispense: Capitolo 1. Parte 2, parte 2.1.


Lezione 4 - venerdì 08/03/2024, dalle 16:00 alle 18:00.
Definizione dello spazio W1,p su un intervallo. Definizione e unicità della derivata debole. Norma e completezza dello spazio W1,p. Prodotto scalare nello spazio W1,2. Convergenza debole negli spazi W1,p. Esempi di funzioni in W1,p.
Dispense: Capitolo 2. Parti 1, 2, 3, 4.


Lezione 5 - giovedì 14/03/2024, dalle 09:00 alle 11:00.
Teorema fondamentale del calcolo integrale. Una caratterizzazione delle funzioni di Sobolev tramite traslazioni. Teorema di estensione per intervalli illimitati.


Lezione 6 - venerdì 15/03/2024, dalle 16:00 alle 18:00.
Teorema di estensione per intervalli limitati. Approssimazione di una funzione di Sobolev con funzioni regolari.


Lezione 7 - giovedì 21/03/2024, dalle 09:00 alle 11:00.
Limitatezza delle funzioni di Sobolev e le sue conseguenza - teoremi di immersione compatta. Prodotto tra funzioni di Sobolev. Composizione di funzioni regolari con funzioni di Sobolev.


Lezione 8 - venerdì 22/03/2024, dalle 16:00 alle 18:00.
Composizione di funzioni regolari con funzioni di Sobolev - teoremi di convergenza. Parte positiva e modulo di una funzione di Sobolev. Spazi W1,p0 - definizioni equivalenti. Soluzioni deboli di problemi ellittici su intervalli. Unicità delle soluzioni deboli.


Lezione 9 - giovedì 28/03/2024, dalle 09:00 alle 11:00.
Soluzioni deboli e soluzioni forti di problemi ellittici su intervalli. Formulazione variazionale. Esistenza di soluzioni deboli. Disuguaglianza di Poincaré.


Lezione 10 - giovedì 11/04/2024, dalle 09:00 alle 11:00.
Principio del massimo debole e principio del confrontro. Convergenza forte delle soluzioni di problemi ellittici. Esempio di una soluzione debole ma non forte. Spazi di Sobolev e serie di Fourier.


Lezione 11 - venerdì 12/04/2024, dalle 16:00 alle 18:00.
Equazione del calore - esistenza e unicità delle soluzioni. Funzioni di Sobolev in dimensione N - definizione, gradiente debole, esempi. Esempio di una funzione di Sobolev discontinua. Esempio di una funzione di Sobolev illimitata.


Lezione 12 - giovedì 18/04/2024, dalle 09:00 alle 11:00.
W1,p(Ω) come uno spazio di Banach. Convergenza forte e convergenza debole. Convoluzione e approssimazione di funzioni di Sobolev con funzioni di Sobolev regolari.


Lezione 13 - venerdì 19/04/2024, dalle 16:00 alle 18:00.
Approssimazione di funzioni di Sobolev con funzioni regolari a supporto compatto. Teorema di Rellich. Lo spazio W1,p0(Ω) - definizione e proprietà. Disuguaglianza di Poincaré su domini limitati.


Lezione 14 - giovedì 02/05/2024, dalle 09:00 alle 11:00.
Lo spazio W1,p0sulla palla e sulla palla meno l'origine - il caso p < dimensione dello spazio. Soluzioni deboli di equazioni ellittiche in domini aperti e limitati: formulazione variazionale, esistenza, unicità, esempi. Lo spazio W1,p0 sulla palla e sulla palla meno l'origine - il caso p = dimensione dello spazio.


Lezione 15 - venerdì 03/05/2024, dalle 16:00 alle 18:00.
L'operatore risolvente - definizione e proprietà. Autovalori e autofunzioni del laplaciano in domini limitati. Operatori compatti, autoaggiunti, definiti positivi su spazi di Hilbert separabili. Teorema spettrale.


Lezione 16 - giovedì 09/05/2024, dalle 09:00 alle 11:00.
Equazione del calore in domini aperti limitati: soluzioni deboli, esistenza e unicità. Approssimazione delle funzioni in W1,p di una palla con funzioni regolari.


Lezione 17 - venerdì 10/05/2024, dalle 16:00 alle 18:00.
Teoremi di estensione ed approssimazione delle funzioni W1,p su una palla. Domini di classe C1. Partizione dell'unità. Teoremi di estensione ed approssimazione delle funzioni W1,p su aperti regolari. Inclusione compatta di W1,p in Lp su domini di classe C1.


Lezione 18 - giovedì 16/05/2024, dalle 09:00 alle 11:00.
Disuguaglianza di Poincaré-Wirtinger - dimostrazione in una palla di n dimensioni via integrazione sui raggi. Disuguaglianza di Poincaré-Wirtinger in aperti regolari - dimostrazione per compattezza. Definizione della traccia di una funzione W1,p sul bordo di un dominio regolare.


Lezione 19 - venerdì 17/05/2024, dalle 16:00 alle 18:00.
Disuguaglianza della traccia su palle. L'operatore traccia è compatto. La traccia del modulo è il modulo della traccia. Funzioni con traccia nulla e lo spazio H10.


Lezione 20 - giovedì 23/05/2024, dalle 09:00 alle 11:00.
Disuguaglianza della traccia in un dominio regolare. Una funzione W1,p è in W1,p0 se e solo se la sua traccia è nulla. Inclusione compatta si W1,p in Lp del bordo.


Lezione 21 - venerdì 24/05/2024, dalle 16:00 alle 18:00.
Disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev. Inclusione compatta di W1,p0 in Lp di un aperto di misura finita.


Lezione 22 - giovedì 30/05/2024, dalle 09:00 alle 11:00.
Lemma di Morrey. Continuità e limitatezza delle funzioni di W1,p. Disuguaglianza di Hardy integrale. Disuguaglianza di Minkowski integrale.


Lezione 23 - venerdì 31/05/2024, dalle 16:00 alle 17:00.
Teorema di Gagliardo. Esempio di una funzione in L2 del bordo che non è la traccia di una funzione in W1,2.

Bozhidar Velichkov

bozhidar.velichkov[chiocciola]unipi.it